Theorem dvhopellsm 39580

Description: Ordered pair membership in a subspace sum. (Contributed by NM, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhopellsm.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhopellsm.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhopellsm.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
dvhopellsm.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dvhopellsm.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dvhopellsm	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (⟨𝐹, 𝑇⟩ ∈ (𝑋 ⊕ 𝑌) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧, +   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑤,𝑇,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑊,𝑦   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑌,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   ⊕ (𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑧,𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐻(𝑧,𝑤)   𝐾(𝑧,𝑤)   𝑊(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem dvhopellsm

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvhopellsm.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvhopellsm.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		id 22	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlmod 39573	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LMod)
5	4	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ LMod)
6		dvhopellsm.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
7	6	lsssssubg 20419	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑈))
8	5, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑈))
9		simp2 1137	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
10	8, 9	sseldd 3945	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈))
11		simp3 1138	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ∈ 𝑆)
12	8, 11	sseldd 3945	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝑈))
13		dvhopellsm.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑈)
14		dvhopellsm.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
15	13, 14	lsmelval 19431	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝑈)) → (⟨𝐹, 𝑇⟩ ∈ (𝑋 ⊕ 𝑌) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑋 ∃𝑣 ∈ 𝑌 ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + 𝑣)))
16	10, 12, 15	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (⟨𝐹, 𝑇⟩ ∈ (𝑋 ⊕ 𝑌) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑋 ∃𝑣 ∈ 𝑌 ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + 𝑣)))
17		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
18	17, 6	lssss 20397	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑆 → 𝑌 ⊆ (Base‘𝑈))
19	18	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝑈))
20		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
21		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
22	1, 20, 21, 2, 17	dvhvbase 39550	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝑈) = (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
23	22	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (Base‘𝑈) = (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
24	19, 23	sseqtrd 3984	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
25		relxp 5651	. . . . 5 ⊢ Rel (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
26		relss 5737	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (Rel (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → Rel 𝑌))
27	24, 25, 26	mpisyl 21	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → Rel 𝑌)
28		oveq2 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (𝑢 + 𝑣) = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩))
29	28	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + 𝑣) ↔ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩)))
30	29	exopxfr2 5800	. . . 4 ⊢ (Rel 𝑌 → (∃𝑣 ∈ 𝑌 ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + 𝑣) ↔ ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
31	27, 30	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (∃𝑣 ∈ 𝑌 ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + 𝑣) ↔ ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
32	31	rexbidv 3175	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (∃𝑢 ∈ 𝑋 ∃𝑣 ∈ 𝑌 ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + 𝑣) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑋 ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
33	17, 6	lssss 20397	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 ⊆ (Base‘𝑈))
34	33	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝑈))
35	34, 23	sseqtrd 3984	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑋 ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
36		relss 5737	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (Rel (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → Rel 𝑋))
37	35, 25, 36	mpisyl 21	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → Rel 𝑋)
38		oveq1 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩) = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))
39	38	eqeq2d 2747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩) ↔ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩)))
40	39	anbi2d 629	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩)) ↔ (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
41	40	2exbidv 1927	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩)) ↔ ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
42	41	exopxfr2 5800	. . . 4 ⊢ (Rel 𝑋 → (∃𝑢 ∈ 𝑋 ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩)) ↔ ∃𝑥∃𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩)))))
43	37, 42	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (∃𝑢 ∈ 𝑋 ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩)) ↔ ∃𝑥∃𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩)))))
44		19.42vv 1961	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧∃𝑤(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))) ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
45		anass 469	. . . . . . . 8 ⊢ (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩)) ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
46	45	2exbii 1851	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧∃𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩)) ↔ ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
47	46	bicomi 223	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧∃𝑤(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))) ↔ ∃𝑧∃𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩)))
48	47	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (∃𝑧∃𝑤(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))) ↔ ∃𝑧∃𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
49	44, 48	bitr3id 284	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))) ↔ ∃𝑧∃𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
50	49	2exbidv 1927	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (∃𝑥∃𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
51	43, 50	bitrd 278	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (∃𝑢 ∈ 𝑋 ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩)) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
52	16, 32, 51	3bitrd 304	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (⟨𝐹, 𝑇⟩ ∈ (𝑋 ⊕ 𝑌) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3073   ⊆ wss 3910  ⟨cop 4592   × cxp 5631  Rel wrel 5638  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  +_gcplusg 17133  SubGrpcsubg 18922  LSSumclsm 19416  LModclmod 20322  LSubSpclss 20392  HLchlt 37812  LHypclh 38447  LTrncltrn 38564  TEndoctendo 39215  DVecHcdvh 39541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-riotaBAD 37415

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-undef 8204  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-0g 17323  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-p1 18315  df-lat 18321  df-clat 18388  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-lsm 19418  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-drng 20187  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lvec 20564  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-llines 37961  df-lplanes 37962  df-lvols 37963  df-lines 37964  df-psubsp 37966  df-pmap 37967  df-padd 38259  df-lhyp 38451  df-laut 38452  df-ldil 38567  df-ltrn 38568  df-trl 38622  df-tendo 39218  df-edring 39220  df-dvech 39542

This theorem is referenced by:  diblsmopel  39634  dihopelvalcpre  39711  xihopellsmN  39717  dihopellsm  39718