Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhopellsm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvhopellsm 40074
Description: Ordered pair membership in a subspace sum. (Contributed by NM, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhopellsm.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dvhopellsm.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhopellsm.a + = (+gβ€˜π‘ˆ)
dvhopellsm.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
dvhopellsm.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dvhopellsm (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) β†’ (⟨𝐹, π‘‡βŸ© ∈ (𝑋 βŠ• π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘₯βˆƒπ‘¦βˆƒπ‘§βˆƒπ‘€((⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ 𝑋 ∧ βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ π‘Œ) ∧ ⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀,𝑦,𝑧, +   𝑀,𝐹,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐻,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   𝑀,𝑇,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,π‘Š,𝑦   𝑀,𝑋,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,π‘Œ,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   βŠ• (π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀)   𝑆(𝑧,𝑀)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀)   𝐻(𝑧,𝑀)   𝐾(𝑧,𝑀)   π‘Š(𝑧,𝑀)

Proof of Theorem dvhopellsm
Dummy variables 𝑣 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvhopellsm.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 dvhopellsm.u . . . . . . 7 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 id 22 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
41, 2, 3dvhlmod 40067 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
543ad2ant1 1133 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
6 dvhopellsm.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
76lsssssubg 20574 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
85, 7syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
9 simp2 1137 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
108, 9sseldd 3983 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
11 simp3 1138 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
128, 11sseldd 3983 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) β†’ π‘Œ ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
13 dvhopellsm.a . . . 4 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
14 dvhopellsm.p . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
1513, 14lsmelval 19519 . . 3 ((𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Œ ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ)) β†’ (⟨𝐹, π‘‡βŸ© ∈ (𝑋 βŠ• π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘£ ∈ π‘Œ ⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (𝑒 + 𝑣)))
1610, 12, 15syl2anc 584 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) β†’ (⟨𝐹, π‘‡βŸ© ∈ (𝑋 βŠ• π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘£ ∈ π‘Œ ⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (𝑒 + 𝑣)))
17 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
1817, 6lssss 20552 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ 𝑆 β†’ π‘Œ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ))
19183ad2ant3 1135 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) β†’ π‘Œ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ))
20 eqid 2732 . . . . . . . 8 ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
21 eqid 2732 . . . . . . . 8 ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
221, 20, 21, 2, 17dvhvbase 40044 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) = (((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) Γ— ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
23223ad2ant1 1133 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) = (((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) Γ— ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
2419, 23sseqtrd 4022 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) β†’ π‘Œ βŠ† (((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) Γ— ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
25 relxp 5694 . . . . 5 Rel (((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) Γ— ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
26 relss 5781 . . . . 5 (π‘Œ βŠ† (((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) Γ— ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (Rel (((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) Γ— ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ Rel π‘Œ))
2724, 25, 26mpisyl 21 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) β†’ Rel π‘Œ)
28 oveq2 7419 . . . . . 6 (𝑣 = βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© β†’ (𝑒 + 𝑣) = (𝑒 + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©))
2928eqeq2d 2743 . . . . 5 (𝑣 = βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© β†’ (⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (𝑒 + 𝑣) ↔ ⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (𝑒 + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©)))
3029exopxfr2 5844 . . . 4 (Rel π‘Œ β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ π‘Œ ⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (𝑒 + 𝑣) ↔ βˆƒπ‘§βˆƒπ‘€(βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ π‘Œ ∧ ⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (𝑒 + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©))))
3127, 30syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ π‘Œ ⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (𝑒 + 𝑣) ↔ βˆƒπ‘§βˆƒπ‘€(βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ π‘Œ ∧ ⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (𝑒 + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©))))
3231rexbidv 3178 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘£ ∈ π‘Œ ⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (𝑒 + 𝑣) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘§βˆƒπ‘€(βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ π‘Œ ∧ ⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (𝑒 + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©))))
3317, 6lssss 20552 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝑆 β†’ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ))
34333ad2ant2 1134 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ))
3534, 23sseqtrd 4022 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 βŠ† (((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) Γ— ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
36 relss 5781 . . . . 5 (𝑋 βŠ† (((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) Γ— ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (Rel (((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) Γ— ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ Rel 𝑋))
3735, 25, 36mpisyl 21 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) β†’ Rel 𝑋)
38 oveq1 7418 . . . . . . . 8 (𝑒 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ (𝑒 + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©) = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©))
3938eqeq2d 2743 . . . . . . 7 (𝑒 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ (⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (𝑒 + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©) ↔ ⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©)))
4039anbi2d 629 . . . . . 6 (𝑒 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ ((βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ π‘Œ ∧ ⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (𝑒 + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©)) ↔ (βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ π‘Œ ∧ ⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©))))
41402exbidv 1927 . . . . 5 (𝑒 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ (βˆƒπ‘§βˆƒπ‘€(βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ π‘Œ ∧ ⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (𝑒 + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©)) ↔ βˆƒπ‘§βˆƒπ‘€(βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ π‘Œ ∧ ⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©))))
4241exopxfr2 5844 . . . 4 (Rel 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘§βˆƒπ‘€(βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ π‘Œ ∧ ⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (𝑒 + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©)) ↔ βˆƒπ‘₯βˆƒπ‘¦(⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘§βˆƒπ‘€(βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ π‘Œ ∧ ⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©)))))
4337, 42syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘§βˆƒπ‘€(βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ π‘Œ ∧ ⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (𝑒 + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©)) ↔ βˆƒπ‘₯βˆƒπ‘¦(⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘§βˆƒπ‘€(βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ π‘Œ ∧ ⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©)))))
44 19.42vv 1961 . . . . 5 (βˆƒπ‘§βˆƒπ‘€(⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ 𝑋 ∧ (βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ π‘Œ ∧ ⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©))) ↔ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘§βˆƒπ‘€(βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ π‘Œ ∧ ⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©))))
45 anass 469 . . . . . . . 8 (((⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ 𝑋 ∧ βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ π‘Œ) ∧ ⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©)) ↔ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ 𝑋 ∧ (βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ π‘Œ ∧ ⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©))))
46452exbii 1851 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘§βˆƒπ‘€((⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ 𝑋 ∧ βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ π‘Œ) ∧ ⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©)) ↔ βˆƒπ‘§βˆƒπ‘€(⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ 𝑋 ∧ (βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ π‘Œ ∧ ⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©))))
4746bicomi 223 . . . . . 6 (βˆƒπ‘§βˆƒπ‘€(⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ 𝑋 ∧ (βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ π‘Œ ∧ ⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©))) ↔ βˆƒπ‘§βˆƒπ‘€((⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ 𝑋 ∧ βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ π‘Œ) ∧ ⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©)))
4847a1i 11 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) β†’ (βˆƒπ‘§βˆƒπ‘€(⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ 𝑋 ∧ (βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ π‘Œ ∧ ⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©))) ↔ βˆƒπ‘§βˆƒπ‘€((⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ 𝑋 ∧ βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ π‘Œ) ∧ ⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©))))
4944, 48bitr3id 284 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) β†’ ((⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘§βˆƒπ‘€(βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ π‘Œ ∧ ⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©))) ↔ βˆƒπ‘§βˆƒπ‘€((⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ 𝑋 ∧ βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ π‘Œ) ∧ ⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©))))
50492exbidv 1927 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) β†’ (βˆƒπ‘₯βˆƒπ‘¦(⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘§βˆƒπ‘€(βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ π‘Œ ∧ ⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©))) ↔ βˆƒπ‘₯βˆƒπ‘¦βˆƒπ‘§βˆƒπ‘€((⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ 𝑋 ∧ βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ π‘Œ) ∧ ⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©))))
5143, 50bitrd 278 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘§βˆƒπ‘€(βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ π‘Œ ∧ ⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (𝑒 + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©)) ↔ βˆƒπ‘₯βˆƒπ‘¦βˆƒπ‘§βˆƒπ‘€((⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ 𝑋 ∧ βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ π‘Œ) ∧ ⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©))))
5216, 32, 513bitrd 304 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) β†’ (⟨𝐹, π‘‡βŸ© ∈ (𝑋 βŠ• π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘₯βˆƒπ‘¦βˆƒπ‘§βˆƒπ‘€((⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ 𝑋 ∧ βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ π‘Œ) ∧ ⟨𝐹, π‘‡βŸ© = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948  βŸ¨cop 4634   Γ— cxp 5674  Rel wrel 5681  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  +gcplusg 17199  SubGrpcsubg 19002  LSSumclsm 19504  LModclmod 20475  LSubSpclss 20547  HLchlt 38306  LHypclh 38941  LTrncltrn 39058  TEndoctendo 39709  DVecHcdvh 40035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 37909
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-undef 8260  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-0g 17389  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-subg 19005  df-lsm 19506  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-dvr 20219  df-drng 20363  df-lmod 20477  df-lss 20548  df-lvec 20719  df-oposet 38132  df-ol 38134  df-oml 38135  df-covers 38222  df-ats 38223  df-atl 38254  df-cvlat 38278  df-hlat 38307  df-llines 38455  df-lplanes 38456  df-lvols 38457  df-lines 38458  df-psubsp 38460  df-pmap 38461  df-padd 38753  df-lhyp 38945  df-laut 38946  df-ldil 39061  df-ltrn 39062  df-trl 39116  df-tendo 39712  df-edring 39714  df-dvech 40036
This theorem is referenced by:  diblsmopel  40128  dihopelvalcpre  40205  xihopellsmN  40211  dihopellsm  40212
  Copyright terms: Public domain W3C validator