Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhopellsm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvhopellsm 37797
Description: Ordered pair membership in a subspace sum. (Contributed by NM, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhopellsm.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhopellsm.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhopellsm.a + = (+g𝑈)
dvhopellsm.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dvhopellsm.p = (LSSum‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
dvhopellsm (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (⟨𝐹, 𝑇⟩ ∈ (𝑋 𝑌) ↔ ∃𝑥𝑦𝑧𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧, +   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑤,𝑇,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑊,𝑦   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑌,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   (𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑧,𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐻(𝑧,𝑤)   𝐾(𝑧,𝑤)   𝑊(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem dvhopellsm
Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvhopellsm.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dvhopellsm.u . . . . . . 7 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 id 22 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3dvhlmod 37790 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ LMod)
543ad2ant1 1126 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑈 ∈ LMod)
6 dvhopellsm.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
76lsssssubg 19420 . . . . 5 (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑈))
85, 7syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑈))
9 simp2 1130 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑋𝑆)
108, 9sseldd 3892 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈))
11 simp3 1131 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑌𝑆)
128, 11sseldd 3892 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝑈))
13 dvhopellsm.a . . . 4 + = (+g𝑈)
14 dvhopellsm.p . . . 4 = (LSSum‘𝑈)
1513, 14lsmelval 18504 . . 3 ((𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝑈)) → (⟨𝐹, 𝑇⟩ ∈ (𝑋 𝑌) ↔ ∃𝑢𝑋𝑣𝑌𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + 𝑣)))
1610, 12, 15syl2anc 584 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (⟨𝐹, 𝑇⟩ ∈ (𝑋 𝑌) ↔ ∃𝑢𝑋𝑣𝑌𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + 𝑣)))
17 eqid 2794 . . . . . . . 8 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
1817, 6lssss 19398 . . . . . . 7 (𝑌𝑆𝑌 ⊆ (Base‘𝑈))
19183ad2ant3 1128 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝑈))
20 eqid 2794 . . . . . . . 8 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
21 eqid 2794 . . . . . . . 8 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
221, 20, 21, 2, 17dvhvbase 37767 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝑈) = (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
23223ad2ant1 1126 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (Base‘𝑈) = (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
2419, 23sseqtrd 3930 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑌 ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
25 relxp 5464 . . . . 5 Rel (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
26 relss 5545 . . . . 5 (𝑌 ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (Rel (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → Rel 𝑌))
2724, 25, 26mpisyl 21 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → Rel 𝑌)
28 oveq2 7027 . . . . . 6 (𝑣 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (𝑢 + 𝑣) = (𝑢 +𝑧, 𝑤⟩))
2928eqeq2d 2804 . . . . 5 (𝑣 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + 𝑣) ↔ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 +𝑧, 𝑤⟩)))
3029exopxfr2 5604 . . . 4 (Rel 𝑌 → (∃𝑣𝑌𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + 𝑣) ↔ ∃𝑧𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 +𝑧, 𝑤⟩))))
3127, 30syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (∃𝑣𝑌𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + 𝑣) ↔ ∃𝑧𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 +𝑧, 𝑤⟩))))
3231rexbidv 3259 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (∃𝑢𝑋𝑣𝑌𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + 𝑣) ↔ ∃𝑢𝑋𝑧𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 +𝑧, 𝑤⟩))))
3317, 6lssss 19398 . . . . . . 7 (𝑋𝑆𝑋 ⊆ (Base‘𝑈))
34333ad2ant2 1127 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝑈))
3534, 23sseqtrd 3930 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑋 ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
36 relss 5545 . . . . 5 (𝑋 ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (Rel (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → Rel 𝑋))
3735, 25, 36mpisyl 21 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → Rel 𝑋)
38 oveq1 7026 . . . . . . . 8 (𝑢 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑢 +𝑧, 𝑤⟩) = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩))
3938eqeq2d 2804 . . . . . . 7 (𝑢 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 +𝑧, 𝑤⟩) ↔ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩)))
4039anbi2d 628 . . . . . 6 (𝑢 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 +𝑧, 𝑤⟩)) ↔ (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩))))
41402exbidv 1903 . . . . 5 (𝑢 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (∃𝑧𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 +𝑧, 𝑤⟩)) ↔ ∃𝑧𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩))))
4241exopxfr2 5604 . . . 4 (Rel 𝑋 → (∃𝑢𝑋𝑧𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 +𝑧, 𝑤⟩)) ↔ ∃𝑥𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩)))))
4337, 42syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (∃𝑢𝑋𝑧𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 +𝑧, 𝑤⟩)) ↔ ∃𝑥𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩)))))
44 19.42vv 1936 . . . . 5 (∃𝑧𝑤(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩))) ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩))))
45 anass 469 . . . . . . . 8 (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩)) ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩))))
46452exbii 1831 . . . . . . 7 (∃𝑧𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩)) ↔ ∃𝑧𝑤(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩))))
4746bicomi 225 . . . . . 6 (∃𝑧𝑤(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩))) ↔ ∃𝑧𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩)))
4847a1i 11 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (∃𝑧𝑤(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩))) ↔ ∃𝑧𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩))))
4944, 48syl5bbr 286 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩))) ↔ ∃𝑧𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩))))
50492exbidv 1903 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (∃𝑥𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩))) ↔ ∃𝑥𝑦𝑧𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩))))
5143, 50bitrd 280 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (∃𝑢𝑋𝑧𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 +𝑧, 𝑤⟩)) ↔ ∃𝑥𝑦𝑧𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩))))
5216, 32, 513bitrd 306 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (⟨𝐹, 𝑇⟩ ∈ (𝑋 𝑌) ↔ ∃𝑥𝑦𝑧𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wex 1762  wcel 2080  wrex 3105  wss 3861  cop 4480   × cxp 5444  Rel wrel 5451  cfv 6228  (class class class)co 7019  Basecbs 16312  +gcplusg 16394  SubGrpcsubg 18027  LSSumclsm 18489  LModclmod 19324  LSubSpclss 19393  HLchlt 36030  LHypclh 36664  LTrncltrn 36781  TEndoctendo 37432  DVecHcdvh 37758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-rep 5084  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463  ax-riotaBAD 35633
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-int 4785  df-iun 4829  df-iin 4830  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-om 7440  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-tpos 7746  df-undef 7793  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-1o 7956  df-oadd 7960  df-er 8142  df-map 8261  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-fin 8364  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-nn 11489  df-2 11550  df-3 11551  df-4 11552  df-5 11553  df-6 11554  df-n0 11748  df-z 11832  df-uz 12094  df-fz 12743  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-0g 16544  df-proset 17367  df-poset 17385  df-plt 17397  df-lub 17413  df-glb 17414  df-join 17415  df-meet 17416  df-p0 17478  df-p1 17479  df-lat 17485  df-clat 17547  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-sbg 17866  df-subg 18030  df-lsm 18491  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-oppr 19063  df-dvdsr 19081  df-unit 19082  df-invr 19112  df-dvr 19123  df-drng 19194  df-lmod 19326  df-lss 19394  df-lvec 19565  df-oposet 35856  df-ol 35858  df-oml 35859  df-covers 35946  df-ats 35947  df-atl 35978  df-cvlat 36002  df-hlat 36031  df-llines 36178  df-lplanes 36179  df-lvols 36180  df-lines 36181  df-psubsp 36183  df-pmap 36184  df-padd 36476  df-lhyp 36668  df-laut 36669  df-ldil 36784  df-ltrn 36785  df-trl 36839  df-tendo 37435  df-edring 37437  df-dvech 37759
This theorem is referenced by:  diblsmopel  37851  dihopelvalcpre  37928  xihopellsmN  37934  dihopellsm  37935
  Copyright terms: Public domain W3C validator