Theorem dvhopellsm 39976

Description: Ordered pair membership in a subspace sum. (Contributed by NM, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhopellsm.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhopellsm.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhopellsm.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
dvhopellsm.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dvhopellsm.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dvhopellsm	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (⟨𝐹, 𝑇⟩ ∈ (𝑋 ⊕ 𝑌) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧, +   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑤,𝑇,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑊,𝑦   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑌,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   ⊕ (𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑧,𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐻(𝑧,𝑤)   𝐾(𝑧,𝑤)   𝑊(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem dvhopellsm

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvhopellsm.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvhopellsm.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		id 22	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlmod 39969	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LMod)
5	4	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ LMod)
6		dvhopellsm.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
7	6	lsssssubg 20561	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑈))
8	5, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑈))
9		simp2 1137	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
10	8, 9	sseldd 3982	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈))
11		simp3 1138	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ∈ 𝑆)
12	8, 11	sseldd 3982	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝑈))
13		dvhopellsm.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑈)
14		dvhopellsm.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
15	13, 14	lsmelval 19511	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝑈)) → (⟨𝐹, 𝑇⟩ ∈ (𝑋 ⊕ 𝑌) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑋 ∃𝑣 ∈ 𝑌 ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + 𝑣)))
16	10, 12, 15	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (⟨𝐹, 𝑇⟩ ∈ (𝑋 ⊕ 𝑌) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑋 ∃𝑣 ∈ 𝑌 ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + 𝑣)))
17		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
18	17, 6	lssss 20539	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑆 → 𝑌 ⊆ (Base‘𝑈))
19	18	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝑈))
20		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
21		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
22	1, 20, 21, 2, 17	dvhvbase 39946	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝑈) = (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
23	22	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (Base‘𝑈) = (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
24	19, 23	sseqtrd 4021	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
25		relxp 5693	. . . . 5 ⊢ Rel (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
26		relss 5779	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (Rel (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → Rel 𝑌))
27	24, 25, 26	mpisyl 21	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → Rel 𝑌)
28		oveq2 7413	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (𝑢 + 𝑣) = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩))
29	28	eqeq2d 2743	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + 𝑣) ↔ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩)))
30	29	exopxfr2 5842	. . . 4 ⊢ (Rel 𝑌 → (∃𝑣 ∈ 𝑌 ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + 𝑣) ↔ ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
31	27, 30	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (∃𝑣 ∈ 𝑌 ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + 𝑣) ↔ ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
32	31	rexbidv 3178	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (∃𝑢 ∈ 𝑋 ∃𝑣 ∈ 𝑌 ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + 𝑣) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑋 ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
33	17, 6	lssss 20539	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 ⊆ (Base‘𝑈))
34	33	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝑈))
35	34, 23	sseqtrd 4021	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑋 ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
36		relss 5779	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (Rel (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → Rel 𝑋))
37	35, 25, 36	mpisyl 21	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → Rel 𝑋)
38		oveq1 7412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩) = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))
39	38	eqeq2d 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩) ↔ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩)))
40	39	anbi2d 629	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩)) ↔ (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
41	40	2exbidv 1927	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩)) ↔ ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
42	41	exopxfr2 5842	. . . 4 ⊢ (Rel 𝑋 → (∃𝑢 ∈ 𝑋 ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩)) ↔ ∃𝑥∃𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩)))))
43	37, 42	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (∃𝑢 ∈ 𝑋 ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩)) ↔ ∃𝑥∃𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩)))))
44		19.42vv 1961	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧∃𝑤(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))) ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
45		anass 469	. . . . . . . 8 ⊢ (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩)) ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
46	45	2exbii 1851	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧∃𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩)) ↔ ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
47	46	bicomi 223	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧∃𝑤(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))) ↔ ∃𝑧∃𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩)))
48	47	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (∃𝑧∃𝑤(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))) ↔ ∃𝑧∃𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
49	44, 48	bitr3id 284	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))) ↔ ∃𝑧∃𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
50	49	2exbidv 1927	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (∃𝑥∃𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
51	43, 50	bitrd 278	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (∃𝑢 ∈ 𝑋 ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩)) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
52	16, 32, 51	3bitrd 304	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (⟨𝐹, 𝑇⟩ ∈ (𝑋 ⊕ 𝑌) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3947  ⟨cop 4633   × cxp 5673  Rel wrel 5680  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  SubGrpcsubg 18994  LSSumclsm 19496  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  HLchlt 38208  LHypclh 38843  LTrncltrn 38960  TEndoctendo 39611  DVecHcdvh 39937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 37811

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-lsm 19498  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-drng 20309  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lvec 20706  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-lplanes 38358  df-lvols 38359  df-lines 38360  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-padd 38655  df-lhyp 38847  df-laut 38848  df-ldil 38963  df-ltrn 38964  df-trl 39018  df-tendo 39614  df-edring 39616  df-dvech 39938

This theorem is referenced by:  diblsmopel  40030  dihopelvalcpre  40107  xihopellsmN  40113  dihopellsm  40114