Theorem dvhopellsm 41136

Description: Ordered pair membership in a subspace sum. (Contributed by NM, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhopellsm.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhopellsm.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhopellsm.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
dvhopellsm.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dvhopellsm.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dvhopellsm	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (⟨𝐹, 𝑇⟩ ∈ (𝑋 ⊕ 𝑌) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧, +   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑤,𝑇,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑊,𝑦   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑌,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   ⊕ (𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑧,𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐻(𝑧,𝑤)   𝐾(𝑧,𝑤)   𝑊(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem dvhopellsm

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvhopellsm.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvhopellsm.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		id 22	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlmod 41129	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LMod)
5	4	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ LMod)
6		dvhopellsm.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
7	6	lsssssubg 20915	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑈))
8	5, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑈))
9		simp2 1137	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
10	8, 9	sseldd 3959	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈))
11		simp3 1138	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ∈ 𝑆)
12	8, 11	sseldd 3959	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝑈))
13		dvhopellsm.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑈)
14		dvhopellsm.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
15	13, 14	lsmelval 19630	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝑈)) → (⟨𝐹, 𝑇⟩ ∈ (𝑋 ⊕ 𝑌) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑋 ∃𝑣 ∈ 𝑌 ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + 𝑣)))
16	10, 12, 15	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (⟨𝐹, 𝑇⟩ ∈ (𝑋 ⊕ 𝑌) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑋 ∃𝑣 ∈ 𝑌 ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + 𝑣)))
17		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
18	17, 6	lssss 20893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑆 → 𝑌 ⊆ (Base‘𝑈))
19	18	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝑈))
20		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
21		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
22	1, 20, 21, 2, 17	dvhvbase 41106	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝑈) = (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
23	22	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (Base‘𝑈) = (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
24	19, 23	sseqtrd 3995	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
25		relxp 5672	. . . . 5 ⊢ Rel (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
26		relss 5760	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (Rel (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → Rel 𝑌))
27	24, 25, 26	mpisyl 21	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → Rel 𝑌)
28		oveq2 7413	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (𝑢 + 𝑣) = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩))
29	28	eqeq2d 2746	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + 𝑣) ↔ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩)))
30	29	exopxfr2 5824	. . . 4 ⊢ (Rel 𝑌 → (∃𝑣 ∈ 𝑌 ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + 𝑣) ↔ ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
31	27, 30	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (∃𝑣 ∈ 𝑌 ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + 𝑣) ↔ ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
32	31	rexbidv 3164	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (∃𝑢 ∈ 𝑋 ∃𝑣 ∈ 𝑌 ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + 𝑣) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑋 ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
33	17, 6	lssss 20893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 ⊆ (Base‘𝑈))
34	33	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝑈))
35	34, 23	sseqtrd 3995	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑋 ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
36		relss 5760	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (Rel (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → Rel 𝑋))
37	35, 25, 36	mpisyl 21	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → Rel 𝑋)
38		oveq1 7412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩) = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))
39	38	eqeq2d 2746	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩) ↔ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩)))
40	39	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩)) ↔ (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
41	40	2exbidv 1924	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩)) ↔ ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
42	41	exopxfr2 5824	. . . 4 ⊢ (Rel 𝑋 → (∃𝑢 ∈ 𝑋 ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩)) ↔ ∃𝑥∃𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩)))))
43	37, 42	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (∃𝑢 ∈ 𝑋 ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩)) ↔ ∃𝑥∃𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩)))))
44		19.42vv 1957	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧∃𝑤(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))) ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
45		anass 468	. . . . . . . 8 ⊢ (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩)) ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
46	45	2exbii 1849	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧∃𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩)) ↔ ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
47	46	bicomi 224	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧∃𝑤(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))) ↔ ∃𝑧∃𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩)))
48	47	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (∃𝑧∃𝑤(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))) ↔ ∃𝑧∃𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
49	44, 48	bitr3id 285	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))) ↔ ∃𝑧∃𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
50	49	2exbidv 1924	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (∃𝑥∃𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
51	43, 50	bitrd 279	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (∃𝑢 ∈ 𝑋 ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩)) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
52	16, 32, 51	3bitrd 305	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (⟨𝐹, 𝑇⟩ ∈ (𝑋 ⊕ 𝑌) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3926  ⟨cop 4607   × cxp 5652  Rel wrel 5659  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  SubGrpcsubg 19103  LSSumclsm 19615  LModclmod 20817  LSubSpclss 20888  HLchlt 39368  LHypclh 40003  LTrncltrn 40120  TEndoctendo 40771  DVecHcdvh 41097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-riotaBAD 38971

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-0g 17455  df-proset 18306  df-poset 18325  df-plt 18340  df-lub 18356  df-glb 18357  df-join 18358  df-meet 18359  df-p0 18435  df-p1 18436  df-lat 18442  df-clat 18509  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-subg 19106  df-lsm 19617  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-unit 20318  df-invr 20348  df-dvr 20361  df-drng 20691  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lvec 21061  df-oposet 39194  df-ol 39196  df-oml 39197  df-covers 39284  df-ats 39285  df-atl 39316  df-cvlat 39340  df-hlat 39369  df-llines 39517  df-lplanes 39518  df-lvols 39519  df-lines 39520  df-psubsp 39522  df-pmap 39523  df-padd 39815  df-lhyp 40007  df-laut 40008  df-ldil 40123  df-ltrn 40124  df-trl 40178  df-tendo 40774  df-edring 40776  df-dvech 41098

This theorem is referenced by:  diblsmopel  41190  dihopelvalcpre  41267  xihopellsmN  41273  dihopellsm  41274