Theorem dvhopellsm 41116

Description: Ordered pair membership in a subspace sum. (Contributed by NM, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhopellsm.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhopellsm.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhopellsm.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
dvhopellsm.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dvhopellsm.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dvhopellsm	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (⟨𝐹, 𝑇⟩ ∈ (𝑋 ⊕ 𝑌) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧, +   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑤,𝑇,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑊,𝑦   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑌,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   ⊕ (𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑧,𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐻(𝑧,𝑤)   𝐾(𝑧,𝑤)   𝑊(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem dvhopellsm

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvhopellsm.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvhopellsm.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		id 22	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlmod 41109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LMod)
5	4	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ LMod)
6		dvhopellsm.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
7	6	lsssssubg 20861	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑈))
8	5, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑈))
9		simp2 1137	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
10	8, 9	sseldd 3936	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈))
11		simp3 1138	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ∈ 𝑆)
12	8, 11	sseldd 3936	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝑈))
13		dvhopellsm.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑈)
14		dvhopellsm.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
15	13, 14	lsmelval 19528	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝑈)) → (⟨𝐹, 𝑇⟩ ∈ (𝑋 ⊕ 𝑌) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑋 ∃𝑣 ∈ 𝑌 ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + 𝑣)))
16	10, 12, 15	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (⟨𝐹, 𝑇⟩ ∈ (𝑋 ⊕ 𝑌) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑋 ∃𝑣 ∈ 𝑌 ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + 𝑣)))
17		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
18	17, 6	lssss 20839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑆 → 𝑌 ⊆ (Base‘𝑈))
19	18	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝑈))
20		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
21		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
22	1, 20, 21, 2, 17	dvhvbase 41086	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝑈) = (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
23	22	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (Base‘𝑈) = (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
24	19, 23	sseqtrd 3972	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
25		relxp 5637	. . . . 5 ⊢ Rel (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
26		relss 5725	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (Rel (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → Rel 𝑌))
27	24, 25, 26	mpisyl 21	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → Rel 𝑌)
28		oveq2 7357	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (𝑢 + 𝑣) = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩))
29	28	eqeq2d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + 𝑣) ↔ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩)))
30	29	exopxfr2 5787	. . . 4 ⊢ (Rel 𝑌 → (∃𝑣 ∈ 𝑌 ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + 𝑣) ↔ ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
31	27, 30	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (∃𝑣 ∈ 𝑌 ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + 𝑣) ↔ ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
32	31	rexbidv 3153	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (∃𝑢 ∈ 𝑋 ∃𝑣 ∈ 𝑌 ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + 𝑣) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑋 ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
33	17, 6	lssss 20839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 ⊆ (Base‘𝑈))
34	33	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝑈))
35	34, 23	sseqtrd 3972	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑋 ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
36		relss 5725	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (Rel (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → Rel 𝑋))
37	35, 25, 36	mpisyl 21	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → Rel 𝑋)
38		oveq1 7356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩) = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))
39	38	eqeq2d 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩) ↔ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩)))
40	39	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩)) ↔ (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
41	40	2exbidv 1924	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩)) ↔ ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
42	41	exopxfr2 5787	. . . 4 ⊢ (Rel 𝑋 → (∃𝑢 ∈ 𝑋 ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩)) ↔ ∃𝑥∃𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩)))))
43	37, 42	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (∃𝑢 ∈ 𝑋 ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩)) ↔ ∃𝑥∃𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩)))))
44		19.42vv 1957	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧∃𝑤(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))) ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
45		anass 468	. . . . . . . 8 ⊢ (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩)) ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
46	45	2exbii 1849	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧∃𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩)) ↔ ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
47	46	bicomi 224	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧∃𝑤(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))) ↔ ∃𝑧∃𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩)))
48	47	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (∃𝑧∃𝑤(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))) ↔ ∃𝑧∃𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
49	44, 48	bitr3id 285	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))) ↔ ∃𝑧∃𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
50	49	2exbidv 1924	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (∃𝑥∃𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
51	43, 50	bitrd 279	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (∃𝑢 ∈ 𝑋 ∃𝑧∃𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + ⟨𝑧, 𝑤⟩)) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))
52	16, 32, 51	3bitrd 305	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (⟨𝐹, 𝑇⟩ ∈ (𝑋 ⊕ 𝑌) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3903  ⟨cop 4583   × cxp 5617  Rel wrel 5624  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  SubGrpcsubg 18999  LSSumclsm 19513  LModclmod 20763  LSubSpclss 20834  HLchlt 39349  LHypclh 39983  LTrncltrn 40100  TEndoctendo 40751  DVecHcdvh 41077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-riotaBAD 38952

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-undef 8206  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-0g 17345  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-p1 18330  df-lat 18338  df-clat 18405  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-subg 19002  df-lsm 19515  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-dvr 20286  df-drng 20616  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-lvec 21007  df-oposet 39175  df-ol 39177  df-oml 39178  df-covers 39265  df-ats 39266  df-atl 39297  df-cvlat 39321  df-hlat 39350  df-llines 39497  df-lplanes 39498  df-lvols 39499  df-lines 39500  df-psubsp 39502  df-pmap 39503  df-padd 39795  df-lhyp 39987  df-laut 39988  df-ldil 40103  df-ltrn 40104  df-trl 40158  df-tendo 40754  df-edring 40756  df-dvech 41078

This theorem is referenced by:  diblsmopel  41170  dihopelvalcpre  41247  xihopellsmN  41253  dihopellsm  41254