Theorem tcphcphlem3 25201

Description: Lemma for tcphcph 25205: real closure of an inner product of a vector with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphcph.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
tcphcph.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
tcphcph.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
tcphcph.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
tcphcph.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tcphcphlem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)

Proof of Theorem tcphcphlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tcphval.n	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
2		tcphcph.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		tcphcph.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		tcphcph.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
5		tcphcph.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
6	1, 2, 3, 4, 5	phclm 25200	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
9	3, 8	clmsscn 25047	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (Base‘𝐹) ⊆ ℂ)
10	7, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (Base‘𝐹) ⊆ ℂ)
11		tcphcph.h	. . . . . 6 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
12	3, 11, 2, 8	ipcl 21600	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ (Base‘𝐹))
13	12	3anidm23 1424	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ (Base‘𝐹))
14	4, 13	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ (Base‘𝐹))
15	10, 14	sseldd 3936	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℂ)
16	3	clmcj 25044	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ∗ = (*𝑟‘𝐹))
17	7, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ∗ = (*𝑟‘𝐹))
18	17	fveq1d 6844	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (∗‘(𝑋 , 𝑋)) = ((*𝑟‘𝐹)‘(𝑋 , 𝑋)))
19	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ PreHil)
20		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
21		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘𝐹) = (*𝑟‘𝐹)
22	3, 11, 2, 21	ipcj 21601	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘(𝑋 , 𝑋)) = (𝑋 , 𝑋))
23	19, 20, 20, 22	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘(𝑋 , 𝑋)) = (𝑋 , 𝑋))
24	18, 23	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (∗‘(𝑋 , 𝑋)) = (𝑋 , 𝑋))
25	15, 24	cjrebd 15137	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  ∗ccj 15031  Basecbs 17148   ↾_s cress 17169  *_𝑟cstv 17191  Scalarcsca 17192  ·_𝑖cip 17194  ℂ_fldccnfld 21321  PreHilcphl 21591  ℂModcclm 25030  toℂPreHilctcph 25135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-subg 19065  df-ghm 19154  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-subrg 20515  df-drng 20676  df-lmhm 20986  df-lvec 21067  df-sra 21137  df-rgmod 21138  df-cnfld 21322  df-phl 21593  df-clm 25031

This theorem is referenced by:  ipcau2  25202  tcphcphlem1  25203  tcphcphlem2  25204  tcphcph  25205