Theorem tcphcphlem3 25282

Description: Lemma for tcphcph 25286: real closure of an inner product of a vector with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphcph.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
tcphcph.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
tcphcph.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
tcphcph.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
tcphcph.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tcphcphlem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)

Proof of Theorem tcphcphlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tcphval.n	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
2		tcphcph.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		tcphcph.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		tcphcph.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
5		tcphcph.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
6	1, 2, 3, 4, 5	phclm 25281	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
7	6	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
8		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
9	3, 8	clmsscn 25128	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (Base‘𝐹) ⊆ ℂ)
10	7, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (Base‘𝐹) ⊆ ℂ)
11		tcphcph.h	. . . . . 6 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
12	3, 11, 2, 8	ipcl 21672	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ (Base‘𝐹))
13	12	3anidm23 1439	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ (Base‘𝐹))
14	4, 13	sylan 589	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ (Base‘𝐹))
15	10, 14	sseldd 3935	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℂ)
16	3	clmcj 25125	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ∗ = (*𝑟‘𝐹))
17	7, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ∗ = (*𝑟‘𝐹))
18	17	fveq1d 6863	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (∗‘(𝑋 , 𝑋)) = ((*𝑟‘𝐹)‘(𝑋 , 𝑋)))
19	4	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ PreHil)
20		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
21		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘𝐹) = (*𝑟‘𝐹)
22	3, 11, 2, 21	ipcj 21673	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘(𝑋 , 𝑋)) = (𝑋 , 𝑋))
23	19, 20, 20, 22	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘(𝑋 , 𝑋)) = (𝑋 , 𝑋))
24	18, 23	eqtrd 2796	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (∗‘(𝑋 , 𝑋)) = (𝑋 , 𝑋))
25	15, 24	cjrebd 15219	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  ℂcc 11064  ℝcr 11065  ∗ccj 15113  Basecbs 17235   ↾_s cress 17256  *_𝑟cstv 17278  Scalarcsca 17279  ·_𝑖cip 17281  ℂ_fldccnfld 21411  PreHilcphl 21663  ℂModcclm 25111  toℂPreHilctcph 25216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-addf 11145  ax-mulf 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-tpos 8199  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12475  df-z 12562  df-dec 12682  df-uz 12833  df-fz 13506  df-seq 14008  df-exp 14068  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-struct 17173  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-0g 17460  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-grp 18968  df-minusg 18969  df-subg 19155  df-ghm 19244  df-cmn 19812  df-abl 19813  df-mgp 20177  df-rng 20189  df-ur 20218  df-ring 20271  df-cring 20272  df-oppr 20372  df-dvdsr 20392  df-unit 20393  df-subrg 20606  df-drng 20767  df-lmhm 21076  df-lvec 21157  df-sra 21227  df-rgmod 21228  df-cnfld 21412  df-phl 21665  df-clm 25112

This theorem is referenced by:  ipcau2  25283  tcphcphlem1  25284  tcphcphlem2  25285  tcphcph  25286