Theorem tcphcphlem3 25373

Description: Lemma for tcphcph 25377: real closure of an inner product of a vector with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphcph.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
tcphcph.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
tcphcph.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
tcphcph.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
tcphcph.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tcphcphlem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)

Proof of Theorem tcphcphlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tcphval.n	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
2		tcphcph.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		tcphcph.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		tcphcph.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
5		tcphcph.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
6	1, 2, 3, 4, 5	phclm 25372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
7	6	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
8		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
9	3, 8	clmsscn 25219	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (Base‘𝐹) ⊆ ℂ)
10	7, 9	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (Base‘𝐹) ⊆ ℂ)
11		tcphcph.h	. . . . . 6 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
12	3, 11, 2, 8	ipcl 21764	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ (Base‘𝐹))
13	12	3anidm23 1448	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ (Base‘𝐹))
14	4, 13	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ (Base‘𝐹))
15	10, 14	sseldd 3939	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℂ)
16	3	clmcj 25216	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ∗ = (*𝑟‘𝐹))
17	7, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ∗ = (*𝑟‘𝐹))
18	17	fveq1d 6885	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (∗‘(𝑋 , 𝑋)) = ((*𝑟‘𝐹)‘(𝑋 , 𝑋)))
19	4	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ PreHil)
20		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
21		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘𝐹) = (*𝑟‘𝐹)
22	3, 11, 2, 21	ipcj 21765	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘(𝑋 , 𝑋)) = (𝑋 , 𝑋))
23	19, 20, 20, 22	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘(𝑋 , 𝑋)) = (𝑋 , 𝑋))
24	18, 23	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (∗‘(𝑋 , 𝑋)) = (𝑋 , 𝑋))
25	15, 24	cjrebd 15255	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  ∗ccj 15149  Basecbs 17270   ↾_s cress 17291  *_𝑟cstv 17313  Scalarcsca 17314  ·_𝑖cip 17316  ℂ_fldccnfld 21503  PreHilcphl 21755  ℂModcclm 25202  toℂPreHilctcph 25307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-addf 11180  ax-mulf 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8223  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-fz 13537  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-subg 19190  df-ghm 19285  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-cring 20319  df-oppr 20420  df-dvdsr 20440  df-unit 20441  df-subrg 20656  df-drng 20816  df-lmhm 21124  df-lvec 21205  df-sra 21275  df-rgmod 21276  df-cnfld 21504  df-phl 21757  df-clm 25203

This theorem is referenced by:  ipcau2  25374  tcphcphlem1  25375  tcphcphlem2  25376  tcphcph  25377