MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcphcphlem3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tcphcphlem3 25116
Description: Lemma for tcphcph 25120: real closure of an inner product of a vector with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
tcphcph.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
tcphcph.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
tcphcph.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
tcphcph.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
tcphcph.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
tcphcphlem3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
Proof of Theorem tcphcphlem3
StepHypRef Expression
1 tcphval.n . . . . . 6 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
2 tcphcph.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 tcphcph.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
4 tcphcph.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
5 tcphcph.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
61, 2, 3, 4, 5phclm 25115 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
76adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
8 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
93, 8clmsscn 24961 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (Baseβ€˜πΉ) βŠ† β„‚)
107, 9syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (Baseβ€˜πΉ) βŠ† β„‚)
11 tcphcph.h . . . . . 6 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
123, 11, 2, 8ipcl 21526 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
13123anidm23 1418 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
144, 13sylan 579 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
1510, 14sseldd 3978 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ β„‚)
163clmcj 24958 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜πΉ))
177, 16syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜πΉ))
1817fveq1d 6887 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (βˆ—β€˜(𝑋 , 𝑋)) = ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝑋 , 𝑋)))
194adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ PreHil)
20 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
21 eqid 2726 . . . . 5 (*π‘Ÿβ€˜πΉ) = (*π‘Ÿβ€˜πΉ)
223, 11, 2, 21ipcj 21527 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝑋 , 𝑋)) = (𝑋 , 𝑋))
2319, 20, 20, 22syl3anc 1368 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝑋 , 𝑋)) = (𝑋 , 𝑋))
2418, 23eqtrd 2766 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (βˆ—β€˜(𝑋 , 𝑋)) = (𝑋 , 𝑋))
2515, 24cjrebd 15155 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  βˆ—ccj 15049  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  *π‘Ÿcstv 17208  Scalarcsca 17209  Β·π‘–cip 17211  β„‚fldccnfld 21240  PreHilcphl 21517  β„‚Modcclm 24944  toβ„‚PreHilctcph 25050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-lmhm 20870  df-lvec 20951  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-cnfld 21241  df-phl 21519  df-clm 24945
This theorem is referenced by:  ipcau2  25117  tcphcphlem1  25118  tcphcphlem2  25119  tcphcph  25120
  Copyright terms: Public domain W3C validator