Theorem tcphcphlem3 25429

Description: Lemma for tcphcph 25433: real closure of an inner product of a vector with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphcph.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
tcphcph.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
tcphcph.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
tcphcph.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
tcphcph.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tcphcphlem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)

Proof of Theorem tcphcphlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tcphval.n	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
2		tcphcph.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		tcphcph.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		tcphcph.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
5		tcphcph.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
6	1, 2, 3, 4, 5	phclm 25428	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
8		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
9	3, 8	clmsscn 25275	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (Base‘𝐹) ⊆ ℂ)
10	7, 9	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (Base‘𝐹) ⊆ ℂ)
11		tcphcph.h	. . . . . 6 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
12	3, 11, 2, 8	ipcl 21820	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ (Base‘𝐹))
13	12	3anidm23 1448	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ (Base‘𝐹))
14	4, 13	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ (Base‘𝐹))
15	10, 14	sseldd 3941	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℂ)
16	3	clmcj 25272	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ∗ = (*𝑟‘𝐹))
17	7, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ∗ = (*𝑟‘𝐹))
18	17	fveq1d 6890	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (∗‘(𝑋 , 𝑋)) = ((*𝑟‘𝐹)‘(𝑋 , 𝑋)))
19	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ PreHil)
20		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
21		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘𝐹) = (*𝑟‘𝐹)
22	3, 11, 2, 21	ipcj 21821	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘(𝑋 , 𝑋)) = (𝑋 , 𝑋))
23	19, 20, 20, 22	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘(𝑋 , 𝑋)) = (𝑋 , 𝑋))
24	18, 23	eqtrd 2801	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (∗‘(𝑋 , 𝑋)) = (𝑋 , 𝑋))
25	15, 24	cjrebd 15279	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3908  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  ℝcr 11117  ∗ccj 15173  Basecbs 17294   ↾_s cress 17315  *_𝑟cstv 17337  Scalarcsca 17338  ·_𝑖cip 17340  ℂ_fldccnfld 21559  PreHilcphl 21811  ℂModcclm 25258  toℂPreHilctcph 25363

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-addf 11197  ax-mulf 11198

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-subg 19220  df-ghm 19315  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-cring 20349  df-oppr 20452  df-dvdsr 20472  df-unit 20473  df-subrg 20706  df-drng 20866  df-lmhm 21180  df-lvec 21261  df-sra 21331  df-rgmod 21332  df-cnfld 21560  df-phl 21813  df-clm 25259

This theorem is used by:  ipcau2  25430  tcphcphlem1  25431  tcphcphlem2  25432  tcphcph  25433