MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcphcphlem3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tcphcphlem3 24750
Description: Lemma for tcphcph 24754: real closure of an inner product of a vector with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
tcphcph.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
tcphcph.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
tcphcph.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
tcphcph.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
tcphcph.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
tcphcphlem3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
Proof of Theorem tcphcphlem3
StepHypRef Expression
1 tcphval.n . . . . . 6 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
2 tcphcph.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 tcphcph.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
4 tcphcph.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
5 tcphcph.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
61, 2, 3, 4, 5phclm 24749 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
76adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
8 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
93, 8clmsscn 24595 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (Baseβ€˜πΉ) βŠ† β„‚)
107, 9syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (Baseβ€˜πΉ) βŠ† β„‚)
11 tcphcph.h . . . . . 6 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
123, 11, 2, 8ipcl 21186 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
13123anidm23 1422 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
144, 13sylan 581 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
1510, 14sseldd 3984 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ β„‚)
163clmcj 24592 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜πΉ))
177, 16syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜πΉ))
1817fveq1d 6894 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (βˆ—β€˜(𝑋 , 𝑋)) = ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝑋 , 𝑋)))
194adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ PreHil)
20 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
21 eqid 2733 . . . . 5 (*π‘Ÿβ€˜πΉ) = (*π‘Ÿβ€˜πΉ)
223, 11, 2, 21ipcj 21187 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝑋 , 𝑋)) = (𝑋 , 𝑋))
2319, 20, 20, 22syl3anc 1372 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝑋 , 𝑋)) = (𝑋 , 𝑋))
2418, 23eqtrd 2773 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (βˆ—β€˜(𝑋 , 𝑋)) = (𝑋 , 𝑋))
2515, 24cjrebd 15149 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3949  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  βˆ—ccj 15043  Basecbs 17144   β†Ύs cress 17173  *π‘Ÿcstv 17199  Scalarcsca 17200  Β·π‘–cip 17202  β„‚fldccnfld 20944  PreHilcphl 21177  β„‚Modcclm 24578  toβ„‚PreHilctcph 24684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cmn 19650  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-lmhm 20633  df-lvec 20714  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-cnfld 20945  df-phl 21179  df-clm 24579
This theorem is referenced by:  ipcau2  24751  tcphcphlem1  24752  tcphcphlem2  24753  tcphcph  24754
  Copyright terms: Public domain W3C validator