Theorem tcphcphlem3 25200

Description: Lemma for tcphcph 25204: real closure of an inner product of a vector with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphcph.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
tcphcph.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
tcphcph.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
tcphcph.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
tcphcph.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tcphcphlem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)

Proof of Theorem tcphcphlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tcphval.n	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
2		tcphcph.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		tcphcph.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		tcphcph.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
5		tcphcph.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
6	1, 2, 3, 4, 5	phclm 25199	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
8		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
9	3, 8	clmsscn 25046	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (Base‘𝐹) ⊆ ℂ)
10	7, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (Base‘𝐹) ⊆ ℂ)
11		tcphcph.h	. . . . . 6 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
12	3, 11, 2, 8	ipcl 21613	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ (Base‘𝐹))
13	12	3anidm23 1424	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ (Base‘𝐹))
14	4, 13	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ (Base‘𝐹))
15	10, 14	sseldd 3922	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℂ)
16	3	clmcj 25043	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ∗ = (*𝑟‘𝐹))
17	7, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ∗ = (*𝑟‘𝐹))
18	17	fveq1d 6842	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (∗‘(𝑋 , 𝑋)) = ((*𝑟‘𝐹)‘(𝑋 , 𝑋)))
19	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ PreHil)
20		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
21		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘𝐹) = (*𝑟‘𝐹)
22	3, 11, 2, 21	ipcj 21614	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘(𝑋 , 𝑋)) = (𝑋 , 𝑋))
23	19, 20, 20, 22	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘(𝑋 , 𝑋)) = (𝑋 , 𝑋))
24	18, 23	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (∗‘(𝑋 , 𝑋)) = (𝑋 , 𝑋))
25	15, 24	cjrebd 15164	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  ∗ccj 15058  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  *_𝑟cstv 17222  Scalarcsca 17223  ·_𝑖cip 17225  ℂ_fldccnfld 21352  PreHilcphl 21604  ℂModcclm 25029  toℂPreHilctcph 25134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-subrg 20547  df-drng 20708  df-lmhm 21017  df-lvec 21098  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-cnfld 21353  df-phl 21606  df-clm 25030

This theorem is referenced by:  ipcau2  25201  tcphcphlem1  25202  tcphcphlem2  25203  tcphcph  25204