MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcphcphlem3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tcphcphlem3 25181
Description: Lemma for tcphcph 25185: real closure of an inner product of a vector with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
tcphcph.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
tcphcph.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
tcphcph.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
tcphcph.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
tcphcph.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
tcphcphlem3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
Proof of Theorem tcphcphlem3
StepHypRef Expression
1 tcphval.n . . . . . 6 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
2 tcphcph.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 tcphcph.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
4 tcphcph.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
5 tcphcph.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
61, 2, 3, 4, 5phclm 25180 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
76adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
8 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
93, 8clmsscn 25026 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (Baseβ€˜πΉ) βŠ† β„‚)
107, 9syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (Baseβ€˜πΉ) βŠ† β„‚)
11 tcphcph.h . . . . . 6 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
123, 11, 2, 8ipcl 21572 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
13123anidm23 1418 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
144, 13sylan 578 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
1510, 14sseldd 3983 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ β„‚)
163clmcj 25023 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜πΉ))
177, 16syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜πΉ))
1817fveq1d 6904 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (βˆ—β€˜(𝑋 , 𝑋)) = ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝑋 , 𝑋)))
194adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ PreHil)
20 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
21 eqid 2728 . . . . 5 (*π‘Ÿβ€˜πΉ) = (*π‘Ÿβ€˜πΉ)
223, 11, 2, 21ipcj 21573 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝑋 , 𝑋)) = (𝑋 , 𝑋))
2319, 20, 20, 22syl3anc 1368 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝑋 , 𝑋)) = (𝑋 , 𝑋))
2418, 23eqtrd 2768 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (βˆ—β€˜(𝑋 , 𝑋)) = (𝑋 , 𝑋))
2515, 24cjrebd 15189 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3949  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144  β„cr 11145  βˆ—ccj 15083  Basecbs 17187   β†Ύs cress 17216  *π‘Ÿcstv 17242  Scalarcsca 17243  Β·π‘–cip 17245  β„‚fldccnfld 21286  PreHilcphl 21563  β„‚Modcclm 25009  toβ„‚PreHilctcph 25115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-addf 11225  ax-mulf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-subrg 20515  df-drng 20633  df-lmhm 20914  df-lvec 20995  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-cnfld 21287  df-phl 21565  df-clm 25010
This theorem is referenced by:  ipcau2  25182  tcphcphlem1  25183  tcphcphlem2  25184  tcphcph  25185
  Copyright terms: Public domain W3C validator