MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1fsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1fsupp 22088
Description: The coefficient vector of a univariate polynomial is a finitely supported mapping from the nonnegative integers to the elements of the coefficient class/ring for the polynomial. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1sfi.a 𝐴 = (coe1𝐹)
coe1sfi.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1sfi.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
coe1sfi.z 0 = (0g𝑅)
coe1fvalcl.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1fsupp (𝐹𝐵𝐴 ∈ {𝑔 ∈ (𝐾m0) ∣ 𝑔 finSupp 0 })
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑔,𝐾   0 ,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔)   𝑃(𝑔)   𝑅(𝑔)   𝐹(𝑔)

Proof of Theorem coe1fsupp
StepHypRef Expression
1 breq1 5144 . 2 (𝑔 = 𝐴 → (𝑔 finSupp 0𝐴 finSupp 0 ))
2 coe1sfi.a . . . 4 𝐴 = (coe1𝐹)
3 coe1sfi.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 coe1sfi.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 coe1fvalcl.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
62, 3, 4, 5coe1f 22085 . . 3 (𝐹𝐵𝐴:ℕ0𝐾)
75fvexi 6899 . . . . 5 𝐾 ∈ V
8 nn0ex 12482 . . . . 5 0 ∈ V
97, 8pm3.2i 470 . . . 4 (𝐾 ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V)
10 elmapg 8835 . . . 4 ((𝐾 ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐴 ∈ (𝐾m0) ↔ 𝐴:ℕ0𝐾))
119, 10mp1i 13 . . 3 (𝐹𝐵 → (𝐴 ∈ (𝐾m0) ↔ 𝐴:ℕ0𝐾))
126, 11mpbird 257 . 2 (𝐹𝐵𝐴 ∈ (𝐾m0))
13 coe1sfi.z . . 3 0 = (0g𝑅)
142, 3, 4, 13coe1sfi 22087 . 2 (𝐹𝐵𝐴 finSupp 0 )
151, 12, 14elrabd 3680 1 (𝐹𝐵𝐴 ∈ {𝑔 ∈ (𝐾m0) ∣ 𝑔 finSupp 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3426  Vcvv 3468   class class class wbr 5141  wf 6533  cfv 6537  (class class class)co 7405  m cmap 8822   finSupp cfsupp 9363  0cn0 12476  Basecbs 17153  0gc0g 17394  Poly1cpl1 22051  coe1cco1 22052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-tset 17225  df-ple 17226  df-psr 21803  df-mpl 21805  df-opsr 21807  df-psr1 22054  df-ply1 22056  df-coe1 22057
This theorem is referenced by:  mptcoe1fsupp  22089  coe1ae0  22090  pmatcoe1fsupp  22558  mptcoe1matfsupp  22659  mp2pm2mplem4  22666
  Copyright terms: Public domain W3C validator