MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1fsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1fsupp 22140
Description: The coefficient vector of a univariate polynomial is a finitely supported mapping from the nonnegative integers to the elements of the coefficient class/ring for the polynomial. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1sfi.a 𝐴 = (coe1𝐹)
coe1sfi.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1sfi.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
coe1sfi.z 0 = (0g𝑅)
coe1fvalcl.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1fsupp (𝐹𝐵𝐴 ∈ {𝑔 ∈ (𝐾m0) ∣ 𝑔 finSupp 0 })
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑔,𝐾   0 ,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔)   𝑃(𝑔)   𝑅(𝑔)   𝐹(𝑔)

Proof of Theorem coe1fsupp
StepHypRef Expression
1 breq1 5155 . 2 (𝑔 = 𝐴 → (𝑔 finSupp 0𝐴 finSupp 0 ))
2 coe1sfi.a . . . 4 𝐴 = (coe1𝐹)
3 coe1sfi.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 coe1sfi.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 coe1fvalcl.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
62, 3, 4, 5coe1f 22137 . . 3 (𝐹𝐵𝐴:ℕ0𝐾)
75fvexi 6916 . . . . 5 𝐾 ∈ V
8 nn0ex 12516 . . . . 5 0 ∈ V
97, 8pm3.2i 469 . . . 4 (𝐾 ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V)
10 elmapg 8864 . . . 4 ((𝐾 ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐴 ∈ (𝐾m0) ↔ 𝐴:ℕ0𝐾))
119, 10mp1i 13 . . 3 (𝐹𝐵 → (𝐴 ∈ (𝐾m0) ↔ 𝐴:ℕ0𝐾))
126, 11mpbird 256 . 2 (𝐹𝐵𝐴 ∈ (𝐾m0))
13 coe1sfi.z . . 3 0 = (0g𝑅)
142, 3, 4, 13coe1sfi 22139 . 2 (𝐹𝐵𝐴 finSupp 0 )
151, 12, 14elrabd 3686 1 (𝐹𝐵𝐴 ∈ {𝑔 ∈ (𝐾m0) ∣ 𝑔 finSupp 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3430  Vcvv 3473   class class class wbr 5152  wf 6549  cfv 6553  (class class class)co 7426  m cmap 8851   finSupp cfsupp 9393  0cn0 12510  Basecbs 17187  0gc0g 17428  Poly1cpl1 22103  coe1cco1 22104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-tset 17259  df-ple 17260  df-psr 21849  df-mpl 21851  df-opsr 21853  df-psr1 22106  df-ply1 22108  df-coe1 22109
This theorem is referenced by:  mptcoe1fsupp  22141  coe1ae0  22142  pmatcoe1fsupp  22623  mptcoe1matfsupp  22724  mp2pm2mplem4  22731
  Copyright terms: Public domain W3C validator