Theorem coe1fsupp 22188

Description: The coefficient vector of a univariate polynomial is a finitely supported mapping from the nonnegative integers to the elements of the coefficient class/ring for the polynomial. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1sfi.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
coe1sfi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1sfi.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1sfi.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
coe1fvalcl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1fsupp	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ {𝑔 ∈ (𝐾 ↑m ℕ0) ∣ 𝑔 finSupp 0 })

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑔,𝐾   0 ,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔)   𝑃(𝑔)   𝑅(𝑔)   𝐹(𝑔)

Proof of Theorem coe1fsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5089	. 2 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → (𝑔 finSupp 0 ↔ 𝐴 finSupp 0 ))
2		coe1sfi.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
3		coe1sfi.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		coe1sfi.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		coe1fvalcl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
6	2, 3, 4, 5	coe1f 22185	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴:ℕ0⟶𝐾)
7	5	fvexi 6848	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ V
8		nn0ex 12434	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
9	7, 8	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V)
10		elmapg 8779	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐴 ∈ (𝐾 ↑m ℕ0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶𝐾))
11	9, 10	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ (𝐾 ↑m ℕ0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶𝐾))
12	6, 11	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m ℕ0))
13		coe1sfi.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
14	2, 3, 4, 13	coe1sfi 22187	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 finSupp 0 )
15	1, 12, 14	elrabd 3637	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ {𝑔 ∈ (𝐾 ↑m ℕ0) ∣ 𝑔 finSupp 0 })

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390  Vcvv 3430   class class class wbr 5086  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8766   finSupp cfsupp 9267  ℕ₀cn0 12428  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  Poly₁cpl1 22150  coe₁cco1 22151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-tset 17230  df-ple 17231  df-psr 21899  df-mpl 21901  df-opsr 21903  df-psr1 22153  df-ply1 22155  df-coe1 22156

This theorem is referenced by:  mptcoe1fsupp  22189  coe1ae0  22190  pmatcoe1fsupp  22676  mptcoe1matfsupp  22777  mp2pm2mplem4  22784