Theorem coe1fsupp 22411

Description: The coefficient vector of a univariate polynomial is a finitely supported mapping from the nonnegative integers to the elements of the coefficient class/ring for the polynomial. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1sfi.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
coe1sfi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1sfi.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1sfi.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
coe1fvalcl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1fsupp	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ {𝑔 ∈ (𝐾 ↑m ℕ0) ∣ 𝑔 finSupp 0 })

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑔,𝐾   0 ,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔)   𝑃(𝑔)   𝑅(𝑔)   𝐹(𝑔)

Proof of Theorem coe1fsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5117	. 2 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → (𝑔 finSupp 0 ↔ 𝐴 finSupp 0 ))
2		coe1sfi.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
3		coe1sfi.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		coe1sfi.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		coe1fvalcl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
6	2, 3, 4, 5	coe1f 22408	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴:ℕ0⟶𝐾)
7	5	fvexi 6902	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ V
8		nn0ex 12528	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
9	7, 8	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V)
10		elmapg 8845	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐴 ∈ (𝐾 ↑m ℕ0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶𝐾))
11	9, 10	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ (𝐾 ↑m ℕ0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶𝐾))
12	6, 11	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m ℕ0))
13		coe1sfi.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
14	2, 3, 4, 13	coe1sfi 22410	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 finSupp 0 )
15	1, 12, 14	elrabd 3655	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ {𝑔 ∈ (𝐾 ↑m ℕ0) ∣ 𝑔 finSupp 0 })

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3419  Vcvv 3458   class class class wbr 5114  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ↑_m cmap 8833   finSupp cfsupp 9331  ℕ₀cn0 12522  Basecbs 17294  0_gc0g 17517  Poly₁cpl1 22374  coe₁cco1 22375

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-tset 17354  df-ple 17355  df-psr 22096  df-mpl 22098  df-opsr 22100  df-psr1 22377  df-ply1 22379  df-coe1 22380

This theorem is used by:  mptcoe1fsupp  22412  coe1ae0  22413  pmatcoe1fsupp  22895  mptcoe1matfsupp  22996  mp2pm2mplem4  23003