Theorem coe1fsupp 22150

Description: The coefficient vector of a univariate polynomial is a finitely supported mapping from the nonnegative integers to the elements of the coefficient class/ring for the polynomial. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1sfi.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
coe1sfi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1sfi.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1sfi.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
coe1fvalcl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1fsupp	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ {𝑔 ∈ (𝐾 ↑m ℕ0) ∣ 𝑔 finSupp 0 })

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑔,𝐾   0 ,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔)   𝑃(𝑔)   𝑅(𝑔)   𝐹(𝑔)

Proof of Theorem coe1fsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5122	. 2 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → (𝑔 finSupp 0 ↔ 𝐴 finSupp 0 ))
2		coe1sfi.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
3		coe1sfi.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		coe1sfi.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		coe1fvalcl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
6	2, 3, 4, 5	coe1f 22147	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴:ℕ0⟶𝐾)
7	5	fvexi 6890	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ V
8		nn0ex 12507	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
9	7, 8	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V)
10		elmapg 8853	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐴 ∈ (𝐾 ↑m ℕ0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶𝐾))
11	9, 10	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ (𝐾 ↑m ℕ0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶𝐾))
12	6, 11	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m ℕ0))
13		coe1sfi.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
14	2, 3, 4, 13	coe1sfi 22149	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 finSupp 0 )
15	1, 12, 14	elrabd 3673	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ {𝑔 ∈ (𝐾 ↑m ℕ0) ∣ 𝑔 finSupp 0 })

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3415  Vcvv 3459   class class class wbr 5119  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8840   finSupp cfsupp 9373  ℕ₀cn0 12501  Basecbs 17228  0_gc0g 17453  Poly₁cpl1 22112  coe₁cco1 22113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-tset 17290  df-ple 17291  df-psr 21869  df-mpl 21871  df-opsr 21873  df-psr1 22115  df-ply1 22117  df-coe1 22118

This theorem is referenced by:  mptcoe1fsupp  22151  coe1ae0  22152  pmatcoe1fsupp  22639  mptcoe1matfsupp  22740  mp2pm2mplem4  22747