MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1fsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1fsupp 20992
Description: The coefficient vector of a univariate polynomial is a finitely supported mapping from the nonnegative integers to the elements of the coefficient class/ring for the polynomial. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1sfi.a 𝐴 = (coe1𝐹)
coe1sfi.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1sfi.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
coe1sfi.z 0 = (0g𝑅)
coe1fvalcl.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1fsupp (𝐹𝐵𝐴 ∈ {𝑔 ∈ (𝐾m0) ∣ 𝑔 finSupp 0 })
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑔,𝐾   0 ,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔)   𝑃(𝑔)   𝑅(𝑔)   𝐹(𝑔)

Proof of Theorem coe1fsupp
StepHypRef Expression
1 breq1 5034 . 2 (𝑔 = 𝐴 → (𝑔 finSupp 0𝐴 finSupp 0 ))
2 coe1sfi.a . . . 4 𝐴 = (coe1𝐹)
3 coe1sfi.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 coe1sfi.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 coe1fvalcl.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
62, 3, 4, 5coe1f 20989 . . 3 (𝐹𝐵𝐴:ℕ0𝐾)
75fvexi 6691 . . . . 5 𝐾 ∈ V
8 nn0ex 11985 . . . . 5 0 ∈ V
97, 8pm3.2i 474 . . . 4 (𝐾 ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V)
10 elmapg 8453 . . . 4 ((𝐾 ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐴 ∈ (𝐾m0) ↔ 𝐴:ℕ0𝐾))
119, 10mp1i 13 . . 3 (𝐹𝐵 → (𝐴 ∈ (𝐾m0) ↔ 𝐴:ℕ0𝐾))
126, 11mpbird 260 . 2 (𝐹𝐵𝐴 ∈ (𝐾m0))
13 coe1sfi.z . . 3 0 = (0g𝑅)
142, 3, 4, 13coe1sfi 20991 . 2 (𝐹𝐵𝐴 finSupp 0 )
151, 12, 14elrabd 3591 1 (𝐹𝐵𝐴 ∈ {𝑔 ∈ (𝐾m0) ∣ 𝑔 finSupp 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  {crab 3058  Vcvv 3399   class class class wbr 5031  wf 6336  cfv 6340  (class class class)co 7173  m cmap 8440   finSupp cfsupp 8909  0cn0 11979  Basecbs 16589  0gc0g 16819  Poly1cpl1 20955  coe1cco1 20956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-of 7428  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-supp 7860  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-1o 8134  df-er 8323  df-map 8442  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-fin 8562  df-fsupp 8910  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-nn 11720  df-2 11782  df-3 11783  df-4 11784  df-5 11785  df-6 11786  df-7 11787  df-8 11788  df-9 11789  df-n0 11980  df-z 12066  df-dec 12183  df-uz 12328  df-fz 12985  df-struct 16591  df-ndx 16592  df-slot 16593  df-base 16595  df-sets 16596  df-ress 16597  df-plusg 16684  df-mulr 16685  df-sca 16687  df-vsca 16688  df-tset 16690  df-ple 16691  df-psr 20725  df-mpl 20727  df-opsr 20729  df-psr1 20958  df-ply1 20960  df-coe1 20961
This theorem is referenced by:  mptcoe1fsupp  20993  coe1ae0  20994  pmatcoe1fsupp  21455  mptcoe1matfsupp  21556  mp2pm2mplem4  21563
  Copyright terms: Public domain W3C validator