Theorem coe1fsupp 22565

Description: The coefficient vector of a univariate polynomial is a finitely supported mapping from the nonnegative integers to the elements of the coefficient class/ring for the polynomial. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1sfi.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
coe1sfi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1sfi.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1sfi.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
coe1fvalcl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1fsupp	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ {𝑔 ∈ (𝐾 ↑m ℕ0) ∣ 𝑔 finSupp 0 })

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑔,𝐾   0 ,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔)   𝑃(𝑔)   𝑅(𝑔)   𝐹(𝑔)

Proof of Theorem coe1fsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5109	. 2 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → (𝑔 finSupp 0 ↔ 𝐴 finSupp 0 ))
2		coe1sfi.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
3		coe1sfi.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		coe1sfi.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		coe1fvalcl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
6	2, 3, 4, 5	coe1f 22562	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴:ℕ0⟶𝐾)
7	5	fvexi 6925	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ V
8		nn0ex 12642	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
9	7, 8	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V)
10		elmapg 8890	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐴 ∈ (𝐾 ↑m ℕ0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶𝐾))
11	9, 10	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ (𝐾 ↑m ℕ0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶𝐾))
12	6, 11	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m ℕ0))
13		coe1sfi.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
14	2, 3, 4, 13	coe1sfi 22564	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 finSupp 0 )
15	1, 12, 14	elrabd 3650	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ {𝑔 ∈ (𝐾 ↑m ℕ0) ∣ 𝑔 finSupp 0 })

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  Vcvv 3454   class class class wbr 5106  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446   ↑_m cmap 8878   finSupp cfsupp 9384  ℕ₀cn0 12636  Basecbs 17419  0_gc0g 17642  Poly₁cpl1 22528  coe₁cco1 22529

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-map 8880  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-fz 13670  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-tset 17479  df-ple 17480  df-psr 22250  df-mpl 22252  df-opsr 22254  df-psr1 22531  df-ply1 22533  df-coe1 22534

This theorem is used by:  mptcoe1fsupp  22566  coe1ae0  22567  pmatcoe1fsupp  23052  mptcoe1matfsupp  23153  mp2pm2mplem4  23160