Theorem domnexpgn0cl 43392

Description: In a domain, a (nonnegative) power of a nonzero element is nonzero. (Contributed by SN, 6-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
domnexpgn0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domnexpgn0cl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
domnexpgn0cl.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
domnexpgn0cl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
domnexpgn0cl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
domnexpgn0cl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
domnexpgn0cl	⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Proof of Theorem domnexpgn0cl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		domnexpgn0cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 20279	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4		domnexpgn0cl.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
5		domnexpgn0cl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
6		domnring 20870	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
7	1	ringmgp 20379	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
8	5, 6, 7	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
9		domnexpgn0cl.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		domnexpgn0cl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
11	10	eldifad 3914	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	3, 4, 8, 9, 11	mulgnn0cld 19219	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
13		oveq1 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
14	13	neeq1d 3016	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 ↑ 𝑋) ≠ 0 ↔ (0 ↑ 𝑋) ≠ 0 ))
15		oveq1 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (𝑦 ↑ 𝑋))
16	15	neeq1d 3016	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ↑ 𝑋) ≠ 0 ↔ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ))
17		oveq1 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ↑ 𝑋) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋))
18	17	neeq1d 3016	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 ↑ 𝑋) ≠ 0 ↔ ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) ≠ 0 ))
19		oveq1 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋))
20	19	neeq1d 3016	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ↑ 𝑋) ≠ 0 ↔ (𝑁 ↑ 𝑋) ≠ 0 ))
21		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
22	1, 21	ringidval 20323	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
23	3, 22, 4	mulg0 19198	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
24	11, 23	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
25		domnnzr 20869	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
26		domnexpgn0cl.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
27	21, 26	nzrnz 20676	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
28	5, 25, 27	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
29	24, 28	eqnetrd 3024	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) ≠ 0 )
30	8	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
31		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → 𝑦 ∈ ℕ0)
32	11	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
33		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
34	1, 33	mgpplusg 20278	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
35	3, 4, 34	mulgnn0p1 19209	. . . . . 6 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋))
36	30, 31, 32, 35	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋))
37	5	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Domn)
38	3, 4, 30, 31, 32	mulgnn0cld 19219	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
39		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 )
40		eldifsni 4756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
41	10, 40	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
42	41	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → 𝑋 ≠ 0 )
43	2, 33, 26	domnmuln0 20872	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋) ≠ 0 )
44	37, 38, 39, 32, 42, 43	syl122anc 1406	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋) ≠ 0 )
45	36, 44	eqnetrd 3024	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) ≠ 0 )
46	14, 16, 18, 20, 29, 45	nn0indd 12721	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ↑ 𝑋) ≠ 0 )
47	9, 46	mpdan 700	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ≠ 0 )
48	12, 47	eldifsnd 4753	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ∖ cdif 3899  {csn 4587  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130  ℕ₀cn0 12531  Basecbs 17305  ._rcmulr 17347  0_gc0g 17528  Mndcmnd 18838  ._gcmg 19191  mulGrpcmgp 20274  1_rcur 20321  Ringcrg 20373  NzRingcnzr 20673  Domncdomn 20855

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-seq 14068  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-plusg 17359  df-0g 17530  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-mulg 19192  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-nzr 20674  df-domn 20858

This theorem is used by:  fidomncyc  43404