Theorem domnexpgn0cl 43024

Description: In a domain, a (nonnegative) power of a nonzero element is nonzero. (Contributed by SN, 6-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
domnexpgn0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domnexpgn0cl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
domnexpgn0cl.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
domnexpgn0cl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
domnexpgn0cl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
domnexpgn0cl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
domnexpgn0cl	⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Proof of Theorem domnexpgn0cl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		domnexpgn0cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 20121	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4		domnexpgn0cl.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
5		domnexpgn0cl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
6		domnring 20683	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
7	1	ringmgp 20215	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
8	5, 6, 7	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
9		domnexpgn0cl.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		domnexpgn0cl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
11	10	eldifad 3897	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	3, 4, 8, 9, 11	mulgnn0cld 19066	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
13		oveq1 7367	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
14	13	neeq1d 2995	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 ↑ 𝑋) ≠ 0 ↔ (0 ↑ 𝑋) ≠ 0 ))
15		oveq1 7367	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (𝑦 ↑ 𝑋))
16	15	neeq1d 2995	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ↑ 𝑋) ≠ 0 ↔ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ))
17		oveq1 7367	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ↑ 𝑋) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋))
18	17	neeq1d 2995	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 ↑ 𝑋) ≠ 0 ↔ ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) ≠ 0 ))
19		oveq1 7367	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋))
20	19	neeq1d 2995	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ↑ 𝑋) ≠ 0 ↔ (𝑁 ↑ 𝑋) ≠ 0 ))
21		eqid 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
22	1, 21	ringidval 20159	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
23	3, 22, 4	mulg0 19045	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
24	11, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
25		domnnzr 20682	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
26		domnexpgn0cl.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
27	21, 26	nzrnz 20491	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
28	5, 25, 27	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
29	24, 28	eqnetrd 3003	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) ≠ 0 )
30	8	ad2antrr 733	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
31		simplr 775	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → 𝑦 ∈ ℕ0)
32	11	ad2antrr 733	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
33		eqid 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
34	1, 33	mgpplusg 20120	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
35	3, 4, 34	mulgnn0p1 19056	. . . . . 6 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋))
36	30, 31, 32, 35	syl3anc 1380	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋))
37	5	ad2antrr 733	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Domn)
38	3, 4, 30, 31, 32	mulgnn0cld 19066	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
39		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 )
40		eldifsni 4726	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
41	10, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
42	41	ad2antrr 733	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → 𝑋 ≠ 0 )
43	2, 33, 26	domnmuln0 20685	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋) ≠ 0 )
44	37, 38, 39, 32, 42, 43	syl122anc 1388	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋) ≠ 0 )
45	36, 44	eqnetrd 3003	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) ≠ 0 )
46	14, 16, 18, 20, 29, 45	nn0indd 12621	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ↑ 𝑋) ≠ 0 )
47	9, 46	mpdan 694	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ≠ 0 )
48	12, 47	eldifsnd 4723	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936   ∖ cdif 3882  {csn 4558  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036  ℕ₀cn0 12432  Basecbs 17174  ._rcmulr 17216  0_gc0g 17397  Mndcmnd 18697  ._gcmg 19038  mulGrpcmgp 20116  1_rcur 20157  Ringcrg 20209  NzRingcnzr 20488  Domncdomn 20668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-seq 13959  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-mulg 19039  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-nzr 20489  df-domn 20671

This theorem is referenced by:  fidomncyc  43036