Theorem domnexpgn0cl 42518

Description: In a domain, a (nonnegative) power of a nonzero element is nonzero. (Contributed by SN, 6-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
domnexpgn0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domnexpgn0cl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
domnexpgn0cl.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
domnexpgn0cl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
domnexpgn0cl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
domnexpgn0cl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
domnexpgn0cl	⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Proof of Theorem domnexpgn0cl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		domnexpgn0cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 20061	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4		domnexpgn0cl.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
5		domnexpgn0cl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
6		domnring 20623	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
7	1	ringmgp 20155	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
8	5, 6, 7	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
9		domnexpgn0cl.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		domnexpgn0cl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
11	10	eldifad 3929	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	3, 4, 8, 9, 11	mulgnn0cld 19034	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
13		oveq1 7397	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
14	13	neeq1d 2985	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 ↑ 𝑋) ≠ 0 ↔ (0 ↑ 𝑋) ≠ 0 ))
15		oveq1 7397	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (𝑦 ↑ 𝑋))
16	15	neeq1d 2985	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ↑ 𝑋) ≠ 0 ↔ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ))
17		oveq1 7397	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ↑ 𝑋) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋))
18	17	neeq1d 2985	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 ↑ 𝑋) ≠ 0 ↔ ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) ≠ 0 ))
19		oveq1 7397	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋))
20	19	neeq1d 2985	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ↑ 𝑋) ≠ 0 ↔ (𝑁 ↑ 𝑋) ≠ 0 ))
21		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
22	1, 21	ringidval 20099	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
23	3, 22, 4	mulg0 19013	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
24	11, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
25		domnnzr 20622	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
26		domnexpgn0cl.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
27	21, 26	nzrnz 20431	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
28	5, 25, 27	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
29	24, 28	eqnetrd 2993	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) ≠ 0 )
30	8	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
31		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → 𝑦 ∈ ℕ0)
32	11	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
33		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
34	1, 33	mgpplusg 20060	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
35	3, 4, 34	mulgnn0p1 19024	. . . . . 6 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋))
36	30, 31, 32, 35	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋))
37	5	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Domn)
38	3, 4, 30, 31, 32	mulgnn0cld 19034	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
39		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 )
40		eldifsni 4757	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
41	10, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
42	41	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → 𝑋 ≠ 0 )
43	2, 33, 26	domnmuln0 20625	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋) ≠ 0 )
44	37, 38, 39, 32, 42, 43	syl122anc 1381	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋) ≠ 0 )
45	36, 44	eqnetrd 2993	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) ≠ 0 )
46	14, 16, 18, 20, 29, 45	nn0indd 12638	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ↑ 𝑋) ≠ 0 )
47	9, 46	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ≠ 0 )
48	12, 47	eldifsnd 4754	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∖ cdif 3914  {csn 4592  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078  ℕ₀cn0 12449  Basecbs 17186  ._rcmulr 17228  0_gc0g 17409  Mndcmnd 18668  ._gcmg 19006  mulGrpcmgp 20056  1_rcur 20097  Ringcrg 20149  NzRingcnzr 20428  Domncdomn 20608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-seq 13974  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-mulg 19007  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-nzr 20429  df-domn 20611

This theorem is referenced by:  fidomncyc  42530