Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  domnexpgn0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domnexpgn0cl 42509
Description: In a domain, a (nonnegative) power of a nonzero element is nonzero. (Contributed by SN, 6-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
domnexpgn0cl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
domnexpgn0cl.0 0 = (0g𝑅)
domnexpgn0cl.e = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
domnexpgn0cl.r (𝜑𝑅 ∈ Domn)
domnexpgn0cl.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
domnexpgn0cl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
domnexpgn0cl (𝜑 → (𝑁 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Proof of Theorem domnexpgn0cl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2734 . . . 4 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2 domnexpgn0cl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
31, 2mgpbas 20157 . . 3 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4 domnexpgn0cl.e . . 3 = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
5 domnexpgn0cl.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Domn)
6 domnring 20723 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
71ringmgp 20256 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
85, 6, 73syl 18 . . 3 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
9 domnexpgn0cl.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
10 domnexpgn0cl.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
1110eldifad 3974 . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
123, 4, 8, 9, 11mulgnn0cld 19125 . 2 (𝜑 → (𝑁 𝑋) ∈ 𝐵)
13 oveq1 7437 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝑥 𝑋) = (0 𝑋))
1413neeq1d 2997 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((𝑥 𝑋) ≠ 0 ↔ (0 𝑋) ≠ 0 ))
15 oveq1 7437 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 𝑋) = (𝑦 𝑋))
1615neeq1d 2997 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 𝑋) ≠ 0 ↔ (𝑦 𝑋) ≠ 0 ))
17 oveq1 7437 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 𝑋) = ((𝑦 + 1) 𝑋))
1817neeq1d 2997 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 𝑋) ≠ 0 ↔ ((𝑦 + 1) 𝑋) ≠ 0 ))
19 oveq1 7437 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 𝑋) = (𝑁 𝑋))
2019neeq1d 2997 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 𝑋) ≠ 0 ↔ (𝑁 𝑋) ≠ 0 ))
21 eqid 2734 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
221, 21ringidval 20200 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
233, 22, 4mulg0 19104 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → (0 𝑋) = (1r𝑅))
2411, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0 𝑋) = (1r𝑅))
25 domnnzr 20722 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
26 domnexpgn0cl.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
2721, 26nzrnz 20531 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ≠ 0 )
285, 25, 273syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (1r𝑅) ≠ 0 )
2924, 28eqnetrd 3005 . . . 4 (𝜑 → (0 𝑋) ≠ 0 )
308ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ≠ 0 ) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
31 simplr 769 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ≠ 0 ) → 𝑦 ∈ ℕ0)
3211ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ≠ 0 ) → 𝑋𝐵)
33 eqid 2734 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
341, 33mgpplusg 20155 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
353, 4, 34mulgnn0p1 19115 . . . . . 6 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑦 + 1) 𝑋) = ((𝑦 𝑋)(.r𝑅)𝑋))
3630, 31, 32, 35syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ≠ 0 ) → ((𝑦 + 1) 𝑋) = ((𝑦 𝑋)(.r𝑅)𝑋))
375ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Domn)
383, 4, 30, 31, 32mulgnn0cld 19125 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ≠ 0 ) → (𝑦 𝑋) ∈ 𝐵)
39 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ≠ 0 ) → (𝑦 𝑋) ≠ 0 )
40 eldifsni 4794 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑋0 )
4110, 40syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑋0 )
4241ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ≠ 0 ) → 𝑋0 )
432, 33, 26domnmuln0 20725 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((𝑦 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 𝑋) ≠ 0 ) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → ((𝑦 𝑋)(.r𝑅)𝑋) ≠ 0 )
4437, 38, 39, 32, 42, 43syl122anc 1378 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ≠ 0 ) → ((𝑦 𝑋)(.r𝑅)𝑋) ≠ 0 )
4536, 44eqnetrd 3005 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ≠ 0 ) → ((𝑦 + 1) 𝑋) ≠ 0 )
4614, 16, 18, 20, 29, 45nn0indd 12712 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 𝑋) ≠ 0 )
479, 46mpdan 687 . 2 (𝜑 → (𝑁 𝑋) ≠ 0 )
4812, 47eldifsnd 4791 1 (𝜑 → (𝑁 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  cdif 3959  {csn 4630  cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155  0cn0 12523  Basecbs 17244  .rcmulr 17298  0gc0g 17485  Mndcmnd 18759  .gcmg 19097  mulGrpcmgp 20151  1rcur 20198  Ringcrg 20250  NzRingcnzr 20528  Domncdomn 20708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-seq 14039  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-mulg 19098  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-nzr 20529  df-domn 20711
This theorem is referenced by:  fidomncyc  42521
  Copyright terms: Public domain W3C validator