Theorem domnexpgn0cl 42533

Description: In a domain, a (nonnegative) power of a nonzero element is nonzero. (Contributed by SN, 6-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
domnexpgn0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domnexpgn0cl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
domnexpgn0cl.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
domnexpgn0cl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
domnexpgn0cl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
domnexpgn0cl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
domnexpgn0cl	⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Proof of Theorem domnexpgn0cl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		domnexpgn0cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 20142	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4		domnexpgn0cl.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
5		domnexpgn0cl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
6		domnring 20707	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
7	1	ringmgp 20236	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
8	5, 6, 7	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
9		domnexpgn0cl.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		domnexpgn0cl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
11	10	eldifad 3963	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	3, 4, 8, 9, 11	mulgnn0cld 19113	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
13		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
14	13	neeq1d 3000	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 ↑ 𝑋) ≠ 0 ↔ (0 ↑ 𝑋) ≠ 0 ))
15		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (𝑦 ↑ 𝑋))
16	15	neeq1d 3000	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ↑ 𝑋) ≠ 0 ↔ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ))
17		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ↑ 𝑋) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋))
18	17	neeq1d 3000	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 ↑ 𝑋) ≠ 0 ↔ ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) ≠ 0 ))
19		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋))
20	19	neeq1d 3000	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ↑ 𝑋) ≠ 0 ↔ (𝑁 ↑ 𝑋) ≠ 0 ))
21		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
22	1, 21	ringidval 20180	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
23	3, 22, 4	mulg0 19092	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
24	11, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
25		domnnzr 20706	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
26		domnexpgn0cl.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
27	21, 26	nzrnz 20515	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
28	5, 25, 27	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
29	24, 28	eqnetrd 3008	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) ≠ 0 )
30	8	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
31		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → 𝑦 ∈ ℕ0)
32	11	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
33		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
34	1, 33	mgpplusg 20141	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
35	3, 4, 34	mulgnn0p1 19103	. . . . . 6 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋))
36	30, 31, 32, 35	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋))
37	5	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Domn)
38	3, 4, 30, 31, 32	mulgnn0cld 19113	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
39		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 )
40		eldifsni 4790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
41	10, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
42	41	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → 𝑋 ≠ 0 )
43	2, 33, 26	domnmuln0 20709	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋) ≠ 0 )
44	37, 38, 39, 32, 42, 43	syl122anc 1381	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋) ≠ 0 )
45	36, 44	eqnetrd 3008	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) ≠ 0 )
46	14, 16, 18, 20, 29, 45	nn0indd 12715	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ↑ 𝑋) ≠ 0 )
47	9, 46	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ≠ 0 )
48	12, 47	eldifsnd 4787	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3948  {csn 4626  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  ℕ₀cn0 12526  Basecbs 17247  ._rcmulr 17298  0_gc0g 17484  Mndcmnd 18747  ._gcmg 19085  mulGrpcmgp 20137  1_rcur 20178  Ringcrg 20230  NzRingcnzr 20512  Domncdomn 20692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-nzr 20513  df-domn 20695

This theorem is referenced by:  fidomncyc  42545