Theorem domnexpgn0cl 42511

Description: In a domain, a (nonnegative) power of a nonzero element is nonzero. (Contributed by SN, 6-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
domnexpgn0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domnexpgn0cl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
domnexpgn0cl.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
domnexpgn0cl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
domnexpgn0cl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
domnexpgn0cl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
domnexpgn0cl	⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Proof of Theorem domnexpgn0cl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		domnexpgn0cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 20054	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4		domnexpgn0cl.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
5		domnexpgn0cl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
6		domnring 20616	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
7	1	ringmgp 20148	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
8	5, 6, 7	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
9		domnexpgn0cl.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		domnexpgn0cl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
11	10	eldifad 3926	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	3, 4, 8, 9, 11	mulgnn0cld 19027	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
13		oveq1 7394	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
14	13	neeq1d 2984	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 ↑ 𝑋) ≠ 0 ↔ (0 ↑ 𝑋) ≠ 0 ))
15		oveq1 7394	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (𝑦 ↑ 𝑋))
16	15	neeq1d 2984	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ↑ 𝑋) ≠ 0 ↔ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ))
17		oveq1 7394	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ↑ 𝑋) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋))
18	17	neeq1d 2984	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 ↑ 𝑋) ≠ 0 ↔ ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) ≠ 0 ))
19		oveq1 7394	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋))
20	19	neeq1d 2984	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ↑ 𝑋) ≠ 0 ↔ (𝑁 ↑ 𝑋) ≠ 0 ))
21		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
22	1, 21	ringidval 20092	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
23	3, 22, 4	mulg0 19006	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
24	11, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
25		domnnzr 20615	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
26		domnexpgn0cl.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
27	21, 26	nzrnz 20424	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
28	5, 25, 27	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
29	24, 28	eqnetrd 2992	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) ≠ 0 )
30	8	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
31		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → 𝑦 ∈ ℕ0)
32	11	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
33		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
34	1, 33	mgpplusg 20053	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
35	3, 4, 34	mulgnn0p1 19017	. . . . . 6 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋))
36	30, 31, 32, 35	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋))
37	5	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Domn)
38	3, 4, 30, 31, 32	mulgnn0cld 19027	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
39		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 )
40		eldifsni 4754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
41	10, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
42	41	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → 𝑋 ≠ 0 )
43	2, 33, 26	domnmuln0 20618	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋) ≠ 0 )
44	37, 38, 39, 32, 42, 43	syl122anc 1381	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋) ≠ 0 )
45	36, 44	eqnetrd 2992	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ≠ 0 ) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) ≠ 0 )
46	14, 16, 18, 20, 29, 45	nn0indd 12631	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ↑ 𝑋) ≠ 0 )
47	9, 46	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ≠ 0 )
48	12, 47	eldifsnd 4751	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3911  {csn 4589  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071  ℕ₀cn0 12442  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402  Mndcmnd 18661  ._gcmg 18999  mulGrpcmgp 20049  1_rcur 20090  Ringcrg 20142  NzRingcnzr 20421  Domncdomn 20601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-seq 13967  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-mulg 19000  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-nzr 20422  df-domn 20604

This theorem is referenced by:  fidomncyc  42523