Theorem fidomncyc 43792

Description: Version of odcl2 19809 for multiplicative groups of finite domains (that is, a finite monoid where nonzero elements are cancellable): one (1) is a multiple of any nonzero element. (Contributed by SN, 3-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fidomncyc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
fidomncyc.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
fidomncyc.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
fidomncyc.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
fidomncyc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
fidomncyc.f	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
fidomncyc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
fidomncyc	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ↑ 𝐴) = 1 )

Distinct variable groups:   1 ,𝑛   𝐴,𝑛   ↑ ,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝑅(𝑛)   0 (𝑛)

Proof of Theorem fidomncyc

Dummy variables 𝑜 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		fidomncyc.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 20395	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4		fidomncyc.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
5		fidomncyc.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
6		domnring 20989	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8	1	ringmgp 20495	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
10		mndmgm 18959	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
12		fidomncyc.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
13		fidomncyc.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
14	13	eldifad 4054	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
15	3, 4, 11, 12, 14	fimgmcyc 43791	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑜 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℕ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴))
16		simplrr 790	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → 𝑝 ∈ ℕ)
17		fidomncyc.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
18		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → 𝑅 ∈ Domn)
20		nnnn0 12640	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑜 ∈ ℕ → 𝑜 ∈ ℕ0)
21	20	ad2antrl 741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → 𝑜 ∈ ℕ0)
22	13	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
23	2, 17, 4, 19, 21, 22	domnexpgn0cl 43777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → (𝑜 ↑ 𝐴) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
24	23	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → (𝑜 ↑ 𝐴) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
25	11	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
26		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
27	14	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
28	3, 4	mulgnncl 19328	. . . . . . . 8 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑝 ↑ 𝐴) ∈ 𝐵)
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → (𝑝 ↑ 𝐴) ∈ 𝐵)
30	29	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → (𝑝 ↑ 𝐴) ∈ 𝐵)
31		fidomncyc.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
32	2, 31	ringidcl 20524	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
33	7, 32	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
34	33	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → 1 ∈ 𝐵)
35	5	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → 𝑅 ∈ Domn)
36	7	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → 𝑅 ∈ Ring)
37	23	eldifad 4054	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → (𝑜 ↑ 𝐴) ∈ 𝐵)
38	2, 18, 31, 36, 37	ringridmd 20532	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → ((𝑜 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅) 1 ) = (𝑜 ↑ 𝐴))
39	38	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → ((𝑜 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅) 1 ) = (𝑜 ↑ 𝐴))
40		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴))
41		mndsgrp 18958	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
42	9, 41	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
43	42	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
44		simplrl 789	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → 𝑜 ∈ ℕ)
45	27	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
46	1, 18	mgpplusg 20394	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
47	3, 4, 46	mulgnndir 19342	. . . . . . . 8 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴) = ((𝑜 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅)(𝑝 ↑ 𝐴)))
48	43, 44, 16, 45, 47	syl13anc 1400	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴) = ((𝑜 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅)(𝑝 ↑ 𝐴)))
49	39, 40, 48	3eqtrrd 2803	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → ((𝑜 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅)(𝑝 ↑ 𝐴)) = ((𝑜 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅) 1 ))
50	2, 17, 18, 24, 30, 34, 35, 49	domnlcan 21002	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → (𝑝 ↑ 𝐴) = 1 )
51		oveq1 7450	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → (𝑛 ↑ 𝐴) = (𝑝 ↑ 𝐴))
52	51	eqeq1d 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → ((𝑛 ↑ 𝐴) = 1 ↔ (𝑝 ↑ 𝐴) = 1 ))
53	52	rspcev 3580	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ↑ 𝐴) = 1 ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ↑ 𝐴) = 1 )
54	16, 50, 53	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ↑ 𝐴) = 1 )
55	54	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → ((𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ↑ 𝐴) = 1 ))
56	55	rexlimdvva 3223	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑜 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℕ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ↑ 𝐴) = 1 ))
57	15, 56	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ↑ 𝐴) = 1 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   ∖ cdif 4048  {csn 4588  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Fincfn 9001   + caddc 11230  ℕcn 12362  ℕ₀cn0 12633  Basecbs 17416  ._rcmulr 17458  0_gc0g 17639  Mgmcmgm 18843  Smgrpcsgrp 18936  Mndcmnd 18952  ._gcmg 19306  mulGrpcmgp 20390  1_rcur 20437  Ringcrg 20489  Domncdomn 20974

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-seq 14172  df-hash 14502  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-plusg 17470  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-mulg 19307  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-nzr 20793  df-domn 20977

This theorem is used by:  fiabv  43793