Theorem fidomncyc 43521

Description: Version of odcl2 19741 for multiplicative groups of finite domains (that is, a finite monoid where nonzero elements are cancellable): one (1) is a multiple of any nonzero element. (Contributed by SN, 3-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fidomncyc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
fidomncyc.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
fidomncyc.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
fidomncyc.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
fidomncyc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
fidomncyc.f	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
fidomncyc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
fidomncyc	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ↑ 𝐴) = 1 )

Distinct variable groups:   1 ,𝑛   𝐴,𝑛   ↑ ,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝑅(𝑛)   0 (𝑛)

Proof of Theorem fidomncyc

Dummy variables 𝑜 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		fidomncyc.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 20327	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4		fidomncyc.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
5		fidomncyc.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
6		domnring 20921	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8	1	ringmgp 20427	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
10		mndmgm 18892	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
12		fidomncyc.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
13		fidomncyc.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
14	13	eldifad 3910	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
15	3, 4, 11, 12, 14	fimgmcyc 43520	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑜 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℕ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴))
16		simplrr 790	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → 𝑝 ∈ ℕ)
17		fidomncyc.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
18		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → 𝑅 ∈ Domn)
20		nnnn0 12583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑜 ∈ ℕ → 𝑜 ∈ ℕ0)
21	20	ad2antrl 741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → 𝑜 ∈ ℕ0)
22	13	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
23	2, 17, 4, 19, 21, 22	domnexpgn0cl 43509	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → (𝑜 ↑ 𝐴) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
24	23	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → (𝑜 ↑ 𝐴) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
25	11	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
26		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
27	14	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
28	3, 4	mulgnncl 19261	. . . . . . . 8 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑝 ↑ 𝐴) ∈ 𝐵)
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → (𝑝 ↑ 𝐴) ∈ 𝐵)
30	29	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → (𝑝 ↑ 𝐴) ∈ 𝐵)
31		fidomncyc.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
32	2, 31	ringidcl 20456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
33	7, 32	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
34	33	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → 1 ∈ 𝐵)
35	5	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → 𝑅 ∈ Domn)
36	7	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → 𝑅 ∈ Ring)
37	23	eldifad 3910	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → (𝑜 ↑ 𝐴) ∈ 𝐵)
38	2, 18, 31, 36, 37	ringridmd 20464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → ((𝑜 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅) 1 ) = (𝑜 ↑ 𝐴))
39	38	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → ((𝑜 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅) 1 ) = (𝑜 ↑ 𝐴))
40		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴))
41		mndsgrp 18891	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
42	9, 41	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
43	42	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
44		simplrl 789	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → 𝑜 ∈ ℕ)
45	27	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
46	1, 18	mgpplusg 20326	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
47	3, 4, 46	mulgnndir 19275	. . . . . . . 8 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴) = ((𝑜 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅)(𝑝 ↑ 𝐴)))
48	43, 44, 16, 45, 47	syl13anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴) = ((𝑜 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅)(𝑝 ↑ 𝐴)))
49	39, 40, 48	3eqtrrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → ((𝑜 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅)(𝑝 ↑ 𝐴)) = ((𝑜 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅) 1 ))
50	2, 17, 18, 24, 30, 34, 35, 49	domnlcan 20934	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → (𝑝 ↑ 𝐴) = 1 )
51		oveq1 7415	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → (𝑛 ↑ 𝐴) = (𝑝 ↑ 𝐴))
52	51	eqeq1d 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → ((𝑛 ↑ 𝐴) = 1 ↔ (𝑝 ↑ 𝐴) = 1 ))
53	52	rspcev 3576	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ↑ 𝐴) = 1 ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ↑ 𝐴) = 1 )
54	16, 50, 53	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ↑ 𝐴) = 1 )
55	54	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → ((𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ↑ 𝐴) = 1 ))
56	55	rexlimdvva 3219	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑜 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℕ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ↑ 𝐴) = 1 ))
57	15, 56	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ↑ 𝐴) = 1 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   ∖ cdif 3895  {csn 4583  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Fincfn 8951   + caddc 11175  ℕcn 12305  ℕ₀cn0 12576  Basecbs 17349  ._rcmulr 17391  0_gc0g 17572  Mgmcmgm 18776  Smgrpcsgrp 18869  Mndcmnd 18885  ._gcmg 19239  mulGrpcmgp 20322  1_rcur 20369  Ringcrg 20421  Domncdomn 20906

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-card 9992  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-fz 13610  df-seq 14114  df-hash 14443  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-plusg 17403  df-0g 17574  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-grp 19109  df-minusg 19110  df-sbg 19111  df-mulg 19240  df-cmn 19958  df-abl 19959  df-mgp 20323  df-rng 20337  df-ur 20370  df-ring 20423  df-nzr 20725  df-domn 20909

This theorem is used by:  fiabv  43522