Theorem fidomncyc 42894

Description: Version of odcl2 19506 for multiplicative groups of finite domains (that is, a finite monoid where nonzero elements are cancellable): one (1) is a multiple of any nonzero element. (Contributed by SN, 3-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fidomncyc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
fidomncyc.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
fidomncyc.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
fidomncyc.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
fidomncyc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
fidomncyc.f	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
fidomncyc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
fidomncyc	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ↑ 𝐴) = 1 )

Distinct variable groups:   1 ,𝑛   𝐴,𝑛   ↑ ,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝑅(𝑛)   0 (𝑛)

Proof of Theorem fidomncyc

Dummy variables 𝑜 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		fidomncyc.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 20092	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4		fidomncyc.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
5		fidomncyc.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
6		domnring 20652	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8	1	ringmgp 20186	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
10		mndmgm 18678	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
12		fidomncyc.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
13		fidomncyc.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
14	13	eldifad 3915	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
15	3, 4, 11, 12, 14	fimgmcyc 42893	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑜 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℕ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴))
16		simplrr 778	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → 𝑝 ∈ ℕ)
17		fidomncyc.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
18		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → 𝑅 ∈ Domn)
20		nnnn0 12420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑜 ∈ ℕ → 𝑜 ∈ ℕ0)
21	20	ad2antrl 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → 𝑜 ∈ ℕ0)
22	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
23	2, 17, 4, 19, 21, 22	domnexpgn0cl 42882	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → (𝑜 ↑ 𝐴) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → (𝑜 ↑ 𝐴) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
25	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
26		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
27	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
28	3, 4	mulgnncl 19031	. . . . . . . 8 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑝 ↑ 𝐴) ∈ 𝐵)
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → (𝑝 ↑ 𝐴) ∈ 𝐵)
30	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → (𝑝 ↑ 𝐴) ∈ 𝐵)
31		fidomncyc.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
32	2, 31	ringidcl 20212	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
33	7, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
34	33	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → 1 ∈ 𝐵)
35	5	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → 𝑅 ∈ Domn)
36	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → 𝑅 ∈ Ring)
37	23	eldifad 3915	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → (𝑜 ↑ 𝐴) ∈ 𝐵)
38	2, 18, 31, 36, 37	ringridmd 20220	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → ((𝑜 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅) 1 ) = (𝑜 ↑ 𝐴))
39	38	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → ((𝑜 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅) 1 ) = (𝑜 ↑ 𝐴))
40		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴))
41		mndsgrp 18677	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
42	9, 41	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
43	42	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
44		simplrl 777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → 𝑜 ∈ ℕ)
45	27	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
46	1, 18	mgpplusg 20091	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
47	3, 4, 46	mulgnndir 19045	. . . . . . . 8 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴) = ((𝑜 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅)(𝑝 ↑ 𝐴)))
48	43, 44, 16, 45, 47	syl13anc 1375	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴) = ((𝑜 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅)(𝑝 ↑ 𝐴)))
49	39, 40, 48	3eqtrrd 2777	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → ((𝑜 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅)(𝑝 ↑ 𝐴)) = ((𝑜 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅) 1 ))
50	2, 17, 18, 24, 30, 34, 35, 49	domnlcan 20666	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → (𝑝 ↑ 𝐴) = 1 )
51		oveq1 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → (𝑛 ↑ 𝐴) = (𝑝 ↑ 𝐴))
52	51	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → ((𝑛 ↑ 𝐴) = 1 ↔ (𝑝 ↑ 𝐴) = 1 ))
53	52	rspcev 3578	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ↑ 𝐴) = 1 ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ↑ 𝐴) = 1 )
54	16, 50, 53	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ↑ 𝐴) = 1 )
55	54	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → ((𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ↑ 𝐴) = 1 ))
56	55	rexlimdvva 3195	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑜 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℕ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ↑ 𝐴) = 1 ))
57	15, 56	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ↑ 𝐴) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3900  {csn 4582  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895   + caddc 11041  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  Basecbs 17148  ._rcmulr 17190  0_gc0g 17371  Mgmcmgm 18575  Smgrpcsgrp 18655  Mndcmnd 18671  ._gcmg 19009  mulGrpcmgp 20087  1_rcur 20128  Ringcrg 20180  Domncdomn 20637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-seq 13937  df-hash 14266  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-nzr 20458  df-domn 20640

This theorem is referenced by:  fiabv  42895