Theorem fidomncyc 42550

Description: Version of odcl2 19584 for multiplicative groups of finite domains (that is, a finite monoid where nonzero elements are cancellable): one (1) is a multiple of any nonzero element. (Contributed by SN, 3-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fidomncyc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
fidomncyc.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
fidomncyc.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
fidomncyc.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
fidomncyc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
fidomncyc.f	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
fidomncyc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
fidomncyc	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ↑ 𝐴) = 1 )

Distinct variable groups:   1 ,𝑛   𝐴,𝑛   ↑ ,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝑅(𝑛)   0 (𝑛)

Proof of Theorem fidomncyc

Dummy variables 𝑜 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		fidomncyc.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 20143	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4		fidomncyc.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
5		fidomncyc.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
6		domnring 20708	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8	1	ringmgp 20237	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
10		mndmgm 18755	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
12		fidomncyc.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
13		fidomncyc.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
14	13	eldifad 3962	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
15	3, 4, 11, 12, 14	fimgmcyc 42549	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑜 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℕ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴))
16		simplrr 777	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → 𝑝 ∈ ℕ)
17		fidomncyc.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
18		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → 𝑅 ∈ Domn)
20		nnnn0 12535	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑜 ∈ ℕ → 𝑜 ∈ ℕ0)
21	20	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → 𝑜 ∈ ℕ0)
22	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
23	2, 17, 4, 19, 21, 22	domnexpgn0cl 42538	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → (𝑜 ↑ 𝐴) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → (𝑜 ↑ 𝐴) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
25	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
26		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
27	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
28	3, 4	mulgnncl 19108	. . . . . . . 8 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑝 ↑ 𝐴) ∈ 𝐵)
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → (𝑝 ↑ 𝐴) ∈ 𝐵)
30	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → (𝑝 ↑ 𝐴) ∈ 𝐵)
31		fidomncyc.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
32	2, 31	ringidcl 20263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
33	7, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
34	33	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → 1 ∈ 𝐵)
35	5	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → 𝑅 ∈ Domn)
36	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → 𝑅 ∈ Ring)
37	23	eldifad 3962	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → (𝑜 ↑ 𝐴) ∈ 𝐵)
38	2, 18, 31, 36, 37	ringridmd 20271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → ((𝑜 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅) 1 ) = (𝑜 ↑ 𝐴))
39	38	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → ((𝑜 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅) 1 ) = (𝑜 ↑ 𝐴))
40		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴))
41		mndsgrp 18754	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
42	9, 41	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
43	42	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
44		simplrl 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → 𝑜 ∈ ℕ)
45	27	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
46	1, 18	mgpplusg 20142	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
47	3, 4, 46	mulgnndir 19122	. . . . . . . 8 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴) = ((𝑜 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅)(𝑝 ↑ 𝐴)))
48	43, 44, 16, 45, 47	syl13anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴) = ((𝑜 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅)(𝑝 ↑ 𝐴)))
49	39, 40, 48	3eqtrrd 2781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → ((𝑜 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅)(𝑝 ↑ 𝐴)) = ((𝑜 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅) 1 ))
50	2, 17, 18, 24, 30, 34, 35, 49	domnlcan 20722	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → (𝑝 ↑ 𝐴) = 1 )
51		oveq1 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → (𝑛 ↑ 𝐴) = (𝑝 ↑ 𝐴))
52	51	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → ((𝑛 ↑ 𝐴) = 1 ↔ (𝑝 ↑ 𝐴) = 1 ))
53	52	rspcev 3621	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ↑ 𝐴) = 1 ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ↑ 𝐴) = 1 )
54	16, 50, 53	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ↑ 𝐴) = 1 )
55	54	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → ((𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ↑ 𝐴) = 1 ))
56	55	rexlimdvva 3212	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑜 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℕ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ↑ 𝐴) = 1 ))
57	15, 56	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ↑ 𝐴) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3069   ∖ cdif 3947  {csn 4625  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Fincfn 8986   + caddc 11159  ℕcn 12267  ℕ₀cn0 12528  Basecbs 17248  ._rcmulr 17299  0_gc0g 17485  Mgmcmgm 18652  Smgrpcsgrp 18732  Mndcmnd 18748  ._gcmg 19086  mulGrpcmgp 20138  1_rcur 20179  Ringcrg 20231  Domncdomn 20693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-seq 14044  df-hash 14371  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-nzr 20514  df-domn 20696

This theorem is referenced by:  fiabv  42551