Theorem fidomncyc 43331

Description: Version of odcl2 19641 for multiplicative groups of finite domains (that is, a finite monoid where nonzero elements are cancellable): one (1) is a multiple of any nonzero element. (Contributed by SN, 3-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fidomncyc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
fidomncyc.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
fidomncyc.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
fidomncyc.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
fidomncyc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
fidomncyc.f	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
fidomncyc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
fidomncyc	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ↑ 𝐴) = 1 )

Distinct variable groups:   1 ,𝑛   𝐴,𝑛   ↑ ,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝑅(𝑛)   0 (𝑛)

Proof of Theorem fidomncyc

Dummy variables 𝑜 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		fidomncyc.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 20227	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4		fidomncyc.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
5		fidomncyc.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
6		domnring 20817	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8	1	ringmgp 20327	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
10		mndmgm 18805	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
12		fidomncyc.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
13		fidomncyc.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
14	13	eldifad 3916	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
15	3, 4, 11, 12, 14	fimgmcyc 43330	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑜 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℕ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴))
16		simplrr 789	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → 𝑝 ∈ ℕ)
17		fidomncyc.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
18		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19	5	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → 𝑅 ∈ Domn)
20		nnnn0 12517	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑜 ∈ ℕ → 𝑜 ∈ ℕ0)
21	20	ad2antrl 740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → 𝑜 ∈ ℕ0)
22	13	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
23	2, 17, 4, 19, 21, 22	domnexpgn0cl 43319	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → (𝑜 ↑ 𝐴) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
24	23	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → (𝑜 ↑ 𝐴) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
25	11	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
26		simprr 784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
27	14	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
28	3, 4	mulgnncl 19161	. . . . . . . 8 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑝 ↑ 𝐴) ∈ 𝐵)
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1397	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → (𝑝 ↑ 𝐴) ∈ 𝐵)
30	29	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → (𝑝 ↑ 𝐴) ∈ 𝐵)
31		fidomncyc.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
32	2, 31	ringidcl 20355	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
33	7, 32	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
34	33	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → 1 ∈ 𝐵)
35	5	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → 𝑅 ∈ Domn)
36	7	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → 𝑅 ∈ Ring)
37	23	eldifad 3916	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → (𝑜 ↑ 𝐴) ∈ 𝐵)
38	2, 18, 31, 36, 37	ringridmd 20363	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → ((𝑜 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅) 1 ) = (𝑜 ↑ 𝐴))
39	38	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → ((𝑜 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅) 1 ) = (𝑜 ↑ 𝐴))
40		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴))
41		mndsgrp 18804	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
42	9, 41	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
43	42	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
44		simplrl 788	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → 𝑜 ∈ ℕ)
45	27	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
46	1, 18	mgpplusg 20226	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
47	3, 4, 46	mulgnndir 19175	. . . . . . . 8 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴) = ((𝑜 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅)(𝑝 ↑ 𝐴)))
48	43, 44, 16, 45, 47	syl13anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴) = ((𝑜 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅)(𝑝 ↑ 𝐴)))
49	39, 40, 48	3eqtrrd 2802	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → ((𝑜 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅)(𝑝 ↑ 𝐴)) = ((𝑜 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅) 1 ))
50	2, 17, 18, 24, 30, 34, 35, 49	domnlcan 20830	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → (𝑝 ↑ 𝐴) = 1 )
51		oveq1 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → (𝑛 ↑ 𝐴) = (𝑝 ↑ 𝐴))
52	51	eqeq1d 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → ((𝑛 ↑ 𝐴) = 1 ↔ (𝑝 ↑ 𝐴) = 1 ))
53	52	rspcev 3580	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ↑ 𝐴) = 1 ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ↑ 𝐴) = 1 )
54	16, 50, 53	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) ∧ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ↑ 𝐴) = 1 )
55	54	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑜 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → ((𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ↑ 𝐴) = 1 ))
56	55	rexlimdvva 3221	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑜 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℕ (𝑜 ↑ 𝐴) = ((𝑜 + 𝑝) ↑ 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ↑ 𝐴) = 1 ))
57	15, 56	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ↑ 𝐴) = 1 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∃wrex 3088   ∖ cdif 3901  {csn 4588  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Fincfn 8941   + caddc 11109  ℕcn 12239  ℕ₀cn0 12510  Basecbs 17275  ._rcmulr 17317  0_gc0g 17498  Mgmcmgm 18702  Smgrpcsgrp 18782  Mndcmnd 18798  ._gcmg 19139  mulGrpcmgp 20222  1_rcur 20269  Ringcrg 20321  Domncdomn 20802

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-seq 14045  df-hash 14374  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-plusg 17329  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-mulg 19140  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-nzr 20621  df-domn 20805

This theorem is used by:  fiabv  43332