Theorem ellpi 33380

Description: Elementhood in a left principal ideal in terms of the "divides" relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellpi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ellpi.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
ellpi.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
ellpi.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ellpi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ellpi	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ 𝑋 ∥ 𝑌))

Proof of Theorem ellpi

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3498	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) → 𝑌 ∈ V)
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → 𝑌 ∈ V)
3		ellpi.d	. . . . 5 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
4	3	reldvdsr 20376	. . . 4 ⊢ Rel ∥
5	4	brrelex2i 5745	. . 3 ⊢ (𝑋 ∥ 𝑌 → 𝑌 ∈ V)
6	5	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∥ 𝑌) → 𝑌 ∈ V)
7		ellpi.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		ellpi.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		ellpi.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		ellpi.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
11	9, 10, 3	rspsn 21360	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝑋}) = {𝑦 ∣ 𝑋 ∥ 𝑦})
12	7, 8, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) = {𝑦 ∣ 𝑋 ∥ 𝑦})
13	12	eleq2d 2824	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ 𝑌 ∈ {𝑦 ∣ 𝑋 ∥ 𝑦}))
14		breq2 5151	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 ∥ 𝑦 ↔ 𝑋 ∥ 𝑌))
15	14	elabg 3676	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑌 ∈ {𝑦 ∣ 𝑋 ∥ 𝑦} ↔ 𝑋 ∥ 𝑌))
16	13, 15	sylan9bb 509	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ 𝑋 ∥ 𝑌))
17	2, 6, 16	bibiad 32485	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ 𝑋 ∥ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  {cab 2711  Vcvv 3477  {csn 4630   class class class wbr 5147  ‘cfv 6562  Basecbs 17244  Ringcrg 20250  ∥_rcdsr 20370  RSpancrsp 21234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-subg 19153  df-mgp 20152  df-ur 20199  df-ring 20252  df-dvdsr 20373  df-subrg 20586  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-rsp 21236

This theorem is referenced by:  rsprprmprmidl  33529  rsprprmprmidlb  33530  rprmirredb  33539