Theorem ellpi 33401

Description: Elementhood in a left principal ideal in terms of the "divides" relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellpi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ellpi.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
ellpi.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
ellpi.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ellpi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ellpi	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ 𝑋 ∥ 𝑌))

Proof of Theorem ellpi

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3501	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) → 𝑌 ∈ V)
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → 𝑌 ∈ V)
3		ellpi.d	. . . . 5 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
4	3	reldvdsr 20360	. . . 4 ⊢ Rel ∥
5	4	brrelex2i 5742	. . 3 ⊢ (𝑋 ∥ 𝑌 → 𝑌 ∈ V)
6	5	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∥ 𝑌) → 𝑌 ∈ V)
7		ellpi.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		ellpi.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		ellpi.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		ellpi.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
11	9, 10, 3	rspsn 21343	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝑋}) = {𝑦 ∣ 𝑋 ∥ 𝑦})
12	7, 8, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) = {𝑦 ∣ 𝑋 ∥ 𝑦})
13	12	eleq2d 2827	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ 𝑌 ∈ {𝑦 ∣ 𝑋 ∥ 𝑦}))
14		breq2 5147	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 ∥ 𝑦 ↔ 𝑋 ∥ 𝑌))
15	14	elabg 3676	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑌 ∈ {𝑦 ∣ 𝑋 ∥ 𝑦} ↔ 𝑋 ∥ 𝑌))
16	13, 15	sylan9bb 509	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ 𝑋 ∥ 𝑌))
17	2, 6, 16	bibiad 840	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ 𝑋 ∥ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {cab 2714  Vcvv 3480  {csn 4626   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  Ringcrg 20230  ∥_rcdsr 20354  RSpancrsp 21217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-dvdsr 20357  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-rsp 21219

This theorem is referenced by:  rsprprmprmidl  33550  rsprprmprmidlb  33551  rprmirredb  33560