Theorem ellpi 33347

Description: Elementhood in a left principal ideal in terms of the "divides" relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellpi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ellpi.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
ellpi.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
ellpi.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ellpi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ellpi	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ 𝑋 ∥ 𝑌))

Proof of Theorem ellpi

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3458	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) → 𝑌 ∈ V)
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → 𝑌 ∈ V)
3		ellpi.d	. . . . 5 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
4	3	reldvdsr 20282	. . . 4 ⊢ Rel ∥
5	4	brrelex2i 5678	. . 3 ⊢ (𝑋 ∥ 𝑌 → 𝑌 ∈ V)
6	5	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∥ 𝑌) → 𝑌 ∈ V)
7		ellpi.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		ellpi.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		ellpi.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		ellpi.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
11	9, 10, 3	rspsn 21274	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝑋}) = {𝑦 ∣ 𝑋 ∥ 𝑦})
12	7, 8, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) = {𝑦 ∣ 𝑋 ∥ 𝑦})
13	12	eleq2d 2819	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ 𝑌 ∈ {𝑦 ∣ 𝑋 ∥ 𝑦}))
14		breq2 5099	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 ∥ 𝑦 ↔ 𝑋 ∥ 𝑌))
15	14	elabg 3628	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑌 ∈ {𝑦 ∣ 𝑋 ∥ 𝑦} ↔ 𝑋 ∥ 𝑌))
16	13, 15	sylan9bb 509	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ 𝑋 ∥ 𝑌))
17	2, 6, 16	bibiad 839	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ 𝑋 ∥ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {cab 2711  Vcvv 3437  {csn 4577   class class class wbr 5095  ‘cfv 6488  Basecbs 17124  Ringcrg 20155  ∥_rcdsr 20276  RSpancrsp 21148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-mulr 17179  df-sca 17181  df-vsca 17182  df-ip 17183  df-0g 17349  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-subg 19040  df-mgp 20063  df-ur 20104  df-ring 20157  df-dvdsr 20279  df-subrg 20489  df-lmod 20799  df-lss 20869  df-lsp 20909  df-sra 21111  df-rgmod 21112  df-rsp 21150

This theorem is referenced by:  rsprprmprmidl  33496  rsprprmprmidlb  33497  rprmirredb  33506