Theorem ellpi 33454

Description: Elementhood in a left principal ideal in terms of the "divides" relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellpi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ellpi.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
ellpi.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
ellpi.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ellpi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ellpi	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ 𝑋 ∥ 𝑌))

Proof of Theorem ellpi

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3461	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) → 𝑌 ∈ V)
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → 𝑌 ∈ V)
3		ellpi.d	. . . . 5 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
4	3	reldvdsr 20296	. . . 4 ⊢ Rel ∥
5	4	brrelex2i 5681	. . 3 ⊢ (𝑋 ∥ 𝑌 → 𝑌 ∈ V)
6	5	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∥ 𝑌) → 𝑌 ∈ V)
7		ellpi.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		ellpi.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		ellpi.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		ellpi.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
11	9, 10, 3	rspsn 21288	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝑋}) = {𝑦 ∣ 𝑋 ∥ 𝑦})
12	7, 8, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) = {𝑦 ∣ 𝑋 ∥ 𝑦})
13	12	eleq2d 2822	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ 𝑌 ∈ {𝑦 ∣ 𝑋 ∥ 𝑦}))
14		breq2 5102	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 ∥ 𝑦 ↔ 𝑋 ∥ 𝑌))
15	14	elabg 3631	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑌 ∈ {𝑦 ∣ 𝑋 ∥ 𝑦} ↔ 𝑋 ∥ 𝑌))
16	13, 15	sylan9bb 509	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ 𝑋 ∥ 𝑌))
17	2, 6, 16	bibiad 839	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ 𝑋 ∥ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {cab 2714  Vcvv 3440  {csn 4580   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  Ringcrg 20168  ∥_rcdsr 20290  RSpancrsp 21162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19053  df-mgp 20076  df-ur 20117  df-ring 20170  df-dvdsr 20293  df-subrg 20503  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-rsp 21164

This theorem is referenced by:  rsprprmprmidl  33603  rsprprmprmidlb  33604  rprmirredb  33613