Theorem elwwlks2on 30251

Description: A walk of length 2 between two vertices as length 3 string. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Feb-2018.) (Revised by AV, 12-May-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
elwwlks2on.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
elwwlks2on	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑊 ∧ (♯‘𝑓) = 2))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑓   𝐶,𝑏,𝑓   𝐺,𝑏,𝑓   𝑉,𝑏   𝑊,𝑏,𝑓

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem elwwlks2on

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elwwlks2on.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	elwwlks2ons3 30245	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)))
3	1	s3wwlks2on 30246	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
4		breq2 5115	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ = 𝑊 → (𝑓(Walks‘𝐺)⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ↔ 𝑓(Walks‘𝐺)𝑊))
5	4	eqcoms 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ → (𝑓(Walks‘𝐺)⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ↔ 𝑓(Walks‘𝐺)𝑊))
6	5	anbi1d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ → ((𝑓(Walks‘𝐺)⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ (♯‘𝑓) = 2) ↔ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑊 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
7	6	exbidv 1948	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ → (∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ (♯‘𝑓) = 2) ↔ ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑊 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
8	3, 7	sylan9bb 518	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩) → (⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑊 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
9	8	pm5.32da 589	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑊 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ↔ (𝑊 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑊 ∧ (♯‘𝑓) = 2))))
10	9	rexbidv 3195	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑊 ∧ (♯‘𝑓) = 2))))
11	2, 10	bitrid 286	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑊 ∧ (♯‘𝑓) = 2))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095   class class class wbr 5111  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  2c2 12295  ♯chash 14366  ⟨“cs3 14879  Vtxcvtx 29287  UPGraphcupgr 29371  Walkscwlks 29887   WWalksNOn cwwlksnon 30117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-ac2 10447  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9887  df-card 9925  df-ac 10100  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-hash 14367  df-word 14551  df-concat 14608  df-s1 14634  df-s2 14885  df-s3 14886  df-edg 29339  df-uhgr 29349  df-upgr 29373  df-wlks 29890  df-wwlks 30120  df-wwlksn 30121  df-wwlksnon 30122

This theorem is referenced by:  elwspths2on  30252  elwwlks2  30259