Theorem elwwlks2on 29001

Description: A walk of length 2 between two vertices as length 3 string. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Feb-2018.) (Revised by AV, 12-May-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
elwwlks2on.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
elwwlks2on	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑊 ∧ (♯‘𝑓) = 2))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑓   𝐶,𝑏,𝑓   𝐺,𝑏,𝑓   𝑉,𝑏   𝑊,𝑏,𝑓

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem elwwlks2on

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elwwlks2on.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	elwwlks2ons3 28997	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)))
3	1	s3wwlks2on 28998	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
4		breq2 5129	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ = 𝑊 → (𝑓(Walks‘𝐺)⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ↔ 𝑓(Walks‘𝐺)𝑊))
5	4	eqcoms 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ → (𝑓(Walks‘𝐺)⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ↔ 𝑓(Walks‘𝐺)𝑊))
6	5	anbi1d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ → ((𝑓(Walks‘𝐺)⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ (♯‘𝑓) = 2) ↔ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑊 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
7	6	exbidv 1924	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ → (∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ (♯‘𝑓) = 2) ↔ ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑊 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
8	3, 7	sylan9bb 510	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩) → (⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑊 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
9	8	pm5.32da 579	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑊 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ↔ (𝑊 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑊 ∧ (♯‘𝑓) = 2))))
10	9	rexbidv 3177	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑊 ∧ (♯‘𝑓) = 2))))
11	2, 10	bitrid 282	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑊 ∧ (♯‘𝑓) = 2))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3069   class class class wbr 5125  ‘cfv 6516  (class class class)co 7377  2c2 12232  ♯chash 14255  ⟨“cs3 14758  Vtxcvtx 28044  UPGraphcupgr 28128  Walkscwlks 28641   WWalksNOn cwwlksnon 28869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-ac2 10423  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-oadd 8436  df-er 8670  df-map 8789  df-pm 8790  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-dju 9861  df-card 9899  df-ac 10076  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-n0 12438  df-xnn0 12510  df-z 12524  df-uz 12788  df-fz 13450  df-fzo 13593  df-hash 14256  df-word 14430  df-concat 14486  df-s1 14511  df-s2 14764  df-s3 14765  df-edg 28096  df-uhgr 28106  df-upgr 28130  df-wlks 28644  df-wwlks 28872  df-wwlksn 28873  df-wwlksnon 28874

This theorem is referenced by:  elwspths2on  29002  elwwlks2  29008