Theorem elwwlks2on 30550

Description: A walk of length 2 between two vertices as length 3 string. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Feb-2018.) (Revised by AV, 12-May-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
elwwlks2on.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
elwwlks2on	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑊 ∧ (♯‘𝑓) = 2))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑓   𝐶,𝑏,𝑓   𝐺,𝑏,𝑓   𝑉,𝑏   𝑊,𝑏,𝑓

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem elwwlks2on

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elwwlks2on.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	elwwlks2ons3 30544	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)))
3	1	s3wwlks2on 30545	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
4		breq2 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ = 𝑊 → (𝑓(Walks‘𝐺)⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ↔ 𝑓(Walks‘𝐺)𝑊))
5	4	eqcoms 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ → (𝑓(Walks‘𝐺)⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ↔ 𝑓(Walks‘𝐺)𝑊))
6	5	anbi1d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ → ((𝑓(Walks‘𝐺)⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ (♯‘𝑓) = 2) ↔ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑊 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
7	6	exbidv 1953	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ → (∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ (♯‘𝑓) = 2) ↔ ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑊 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
8	3, 7	sylan9bb 519	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩) → (⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑊 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
9	8	pm5.32da 590	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑊 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ↔ (𝑊 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑊 ∧ (♯‘𝑓) = 2))))
10	9	rexbidv 3186	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑊 ∧ (♯‘𝑓) = 2))))
11	2, 10	bitrid 286	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑊 ∧ (♯‘𝑓) = 2))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  2c2 12397  ♯chash 14474  ⟨“cs3 14993  Vtxcvtx 29574  UPGraphcupgr 29658  Walkscwlks 30177   WWalksNOn cwwlksnon 30416

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-ac2 10541  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-dju 9982  df-card 10020  df-ac 10195  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-concat 14716  df-s1 14743  df-s2 14999  df-s3 15000  df-edg 29626  df-uhgr 29636  df-upgr 29660  df-wlks 30180  df-wwlks 30419  df-wwlksn 30420  df-wwlksnon 30421

This theorem is used by:  elwspths2on  30551  elwwlks2  30558