MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlks2onsym Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlks2onsym 27747
Description: There is a walk of length 2 from one vertex to another vertex iff there is a walk of length 2 from the other vertex to the first vertex. (Contributed by AV, 7-Jan-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
elwwlks2on.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wwlks2onsym ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (𝐶(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴)))

Proof of Theorem wwlks2onsym
StepHypRef Expression
1 elwwlks2on.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2824 . . 3 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
31, 2umgrwwlks2on 27746 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ({𝐴, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ (Edg‘𝐺))))
4 3anrev 1098 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ↔ (𝐶𝑉𝐵𝑉𝐴𝑉))
51, 2umgrwwlks2on 27746 . . . 4 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐶𝑉𝐵𝑉𝐴𝑉)) → (⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (𝐶(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴) ↔ ({𝐶, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝐵, 𝐴} ∈ (Edg‘𝐺))))
64, 5sylan2b 596 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (𝐶(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴) ↔ ({𝐶, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝐵, 𝐴} ∈ (Edg‘𝐺))))
7 prcom 4653 . . . . 5 {𝐶, 𝐵} = {𝐵, 𝐶}
87eleq1i 2906 . . . 4 ({𝐶, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝐵, 𝐶} ∈ (Edg‘𝐺))
9 prcom 4653 . . . . 5 {𝐵, 𝐴} = {𝐴, 𝐵}
109eleq1i 2906 . . . 4 ({𝐵, 𝐴} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺))
118, 10anbi12ci 630 . . 3 (({𝐶, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝐵, 𝐴} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ({𝐴, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ (Edg‘𝐺)))
126, 11syl6rbb 291 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (({𝐴, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (𝐶(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴)))
133, 12bitrd 282 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (𝐶(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  {cpr 4552  cfv 6343  (class class class)co 7149  2c2 11689  ⟨“cs3 14204  Vtxcvtx 26792  Edgcedg 26843  UMGraphcumgr 26877   WWalksNOn cwwlksnon 27616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-ac2 9883  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-dju 9327  df-card 9365  df-ac 9540  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-xnn0 11965  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-hash 13696  df-word 13867  df-concat 13923  df-s1 13950  df-s2 14210  df-s3 14211  df-edg 26844  df-uhgr 26854  df-upgr 26878  df-umgr 26879  df-wlks 27392  df-wwlks 27619  df-wwlksn 27620  df-wwlksnon 27621
This theorem is referenced by:  frgr2wwlkeqm  28119
  Copyright terms: Public domain W3C validator