Theorem wwlks2onsym 29988

Description: There is a walk of length 2 from one vertex to another vertex iff there is a walk of length 2 from the other vertex to the first vertex. (Contributed by AV, 7-Jan-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
elwwlks2on.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wwlks2onsym	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (𝐶(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴)))

Proof of Theorem wwlks2onsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elwwlks2on.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	umgrwwlks2on 29987	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ({𝐴, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ (Edg‘𝐺))))
4		3anrev 1100	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ↔ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
5	1, 2	umgrwwlks2on 29987	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (𝐶(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴) ↔ ({𝐶, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝐵, 𝐴} ∈ (Edg‘𝐺))))
6	4, 5	sylan2b 594	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (𝐶(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴) ↔ ({𝐶, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝐵, 𝐴} ∈ (Edg‘𝐺))))
7		prcom 4737	. . . . 5 ⊢ {𝐶, 𝐵} = {𝐵, 𝐶}
8	7	eleq1i 2830	. . . 4 ⊢ ({𝐶, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝐵, 𝐶} ∈ (Edg‘𝐺))
9		prcom 4737	. . . . 5 ⊢ {𝐵, 𝐴} = {𝐴, 𝐵}
10	9	eleq1i 2830	. . . 4 ⊢ ({𝐵, 𝐴} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺))
11	8, 10	anbi12ci 629	. . 3 ⊢ (({𝐶, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝐵, 𝐴} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ({𝐴, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ (Edg‘𝐺)))
12	6, 11	bitr2di 288	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (({𝐴, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (𝐶(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴)))
13	3, 12	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (𝐶(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {cpr 4633  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  2c2 12319  ⟨“cs3 14878  Vtxcvtx 29028  Edgcedg 29079  UMGraphcumgr 29113   WWalksNOn cwwlksnon 29857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-s3 14885  df-edg 29080  df-uhgr 29090  df-upgr 29114  df-umgr 29115  df-wlks 29632  df-wwlks 29860  df-wwlksn 29861  df-wwlksnon 29862

This theorem is referenced by:  frgr2wwlkeqm  30360