MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlks2onsym Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlks2onsym 29000
Description: There is a walk of length 2 from one vertex to another vertex iff there is a walk of length 2 from the other vertex to the first vertex. (Contributed by AV, 7-Jan-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
elwwlks2on.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wwlks2onsym ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (𝐶(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴)))

Proof of Theorem wwlks2onsym
StepHypRef Expression
1 elwwlks2on.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2731 . . 3 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
31, 2umgrwwlks2on 28999 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ({𝐴, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ (Edg‘𝐺))))
4 3anrev 1101 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ↔ (𝐶𝑉𝐵𝑉𝐴𝑉))
51, 2umgrwwlks2on 28999 . . . 4 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐶𝑉𝐵𝑉𝐴𝑉)) → (⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (𝐶(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴) ↔ ({𝐶, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝐵, 𝐴} ∈ (Edg‘𝐺))))
64, 5sylan2b 594 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (𝐶(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴) ↔ ({𝐶, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝐵, 𝐴} ∈ (Edg‘𝐺))))
7 prcom 4713 . . . . 5 {𝐶, 𝐵} = {𝐵, 𝐶}
87eleq1i 2823 . . . 4 ({𝐶, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝐵, 𝐶} ∈ (Edg‘𝐺))
9 prcom 4713 . . . . 5 {𝐵, 𝐴} = {𝐴, 𝐵}
109eleq1i 2823 . . . 4 ({𝐵, 𝐴} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺))
118, 10anbi12ci 628 . . 3 (({𝐶, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝐵, 𝐴} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ({𝐴, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ (Edg‘𝐺)))
126, 11bitr2di 287 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (({𝐴, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (𝐶(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴)))
133, 12bitrd 278 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (𝐶(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  {cpr 4608  cfv 6516  (class class class)co 7377  2c2 12232  ⟨“cs3 14758  Vtxcvtx 28044  Edgcedg 28095  UMGraphcumgr 28129   WWalksNOn cwwlksnon 28869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-ac2 10423  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-oadd 8436  df-er 8670  df-map 8789  df-pm 8790  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-dju 9861  df-card 9899  df-ac 10076  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-n0 12438  df-xnn0 12510  df-z 12524  df-uz 12788  df-fz 13450  df-fzo 13593  df-hash 14256  df-word 14430  df-concat 14486  df-s1 14511  df-s2 14764  df-s3 14765  df-edg 28096  df-uhgr 28106  df-upgr 28130  df-umgr 28131  df-wlks 28644  df-wwlks 28872  df-wwlksn 28873  df-wwlksnon 28874
This theorem is referenced by:  frgr2wwlkeqm  29372
  Copyright terms: Public domain W3C validator