Theorem wwlks2onsym 29892

Description: There is a walk of length 2 from one vertex to another vertex iff there is a walk of length 2 from the other vertex to the first vertex. (Contributed by AV, 7-Jan-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
elwwlks2on.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wwlks2onsym	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (𝐶(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴)))

Proof of Theorem wwlks2onsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elwwlks2on.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2726	. . 3 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	umgrwwlks2on 29891	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ({𝐴, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ (Edg‘𝐺))))
4		3anrev 1098	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ↔ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
5	1, 2	umgrwwlks2on 29891	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (𝐶(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴) ↔ ({𝐶, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝐵, 𝐴} ∈ (Edg‘𝐺))))
6	4, 5	sylan2b 592	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (𝐶(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴) ↔ ({𝐶, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝐵, 𝐴} ∈ (Edg‘𝐺))))
7		prcom 4741	. . . . 5 ⊢ {𝐶, 𝐵} = {𝐵, 𝐶}
8	7	eleq1i 2817	. . . 4 ⊢ ({𝐶, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝐵, 𝐶} ∈ (Edg‘𝐺))
9		prcom 4741	. . . . 5 ⊢ {𝐵, 𝐴} = {𝐴, 𝐵}
10	9	eleq1i 2817	. . . 4 ⊢ ({𝐵, 𝐴} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺))
11	8, 10	anbi12ci 627	. . 3 ⊢ (({𝐶, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝐵, 𝐴} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ({𝐴, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ (Edg‘𝐺)))
12	6, 11	bitr2di 287	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (({𝐴, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (𝐶(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴)))
13	3, 12	bitrd 278	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (𝐶(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {cpr 4635  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  2c2 12319  ⟨“cs3 14851  Vtxcvtx 28932  Edgcedg 28983  UMGraphcumgr 29017   WWalksNOn cwwlksnon 29761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-ac2 10506  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-oadd 8500  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-dju 9944  df-card 9982  df-ac 10159  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-hash 14348  df-word 14523  df-concat 14579  df-s1 14604  df-s2 14857  df-s3 14858  df-edg 28984  df-uhgr 28994  df-upgr 29018  df-umgr 29019  df-wlks 29536  df-wwlks 29764  df-wwlksn 29765  df-wwlksnon 29766

This theorem is referenced by:  frgr2wwlkeqm  30264