Theorem euendfunc2 49273

Description: If there exists a unique endofunctor (a functor from a category to itself) for a category, then it is either initial (empty) or terminal. (Contributed by Zhi Wang, 20-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
euendfunc2	⊢ ((𝐶 Func 𝐶) ≈ 1o → ((Base‘𝐶) = ∅ ∨ 𝐶 ∈ TermCat))

Proof of Theorem euendfunc2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euen1b 9037	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 Func 𝐶) ≈ 1o ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
2	1	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 Func 𝐶) ≈ 1o → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
3	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐶 Func 𝐶) ≈ 1o ∧ ¬ (Base‘𝐶) = ∅) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
4		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 Func 𝐶) ≈ 1o ∧ ¬ (Base‘𝐶) = ∅) → ¬ (Base‘𝐶) = ∅)
6	5	neqned 2938	. . . 4 ⊢ (((𝐶 Func 𝐶) ≈ 1o ∧ ¬ (Base‘𝐶) = ∅) → (Base‘𝐶) ≠ ∅)
7	3, 4, 6	euendfunc 49272	. . 3 ⊢ (((𝐶 Func 𝐶) ≈ 1o ∧ ¬ (Base‘𝐶) = ∅) → 𝐶 ∈ TermCat)
8	7	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐶 Func 𝐶) ≈ 1o → (¬ (Base‘𝐶) = ∅ → 𝐶 ∈ TermCat))
9	8	orrd 863	1 ⊢ ((𝐶 Func 𝐶) ≈ 1o → ((Base‘𝐶) = ∅ ∨ 𝐶 ∈ TermCat))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃!weu 2566  ∅c0 4306   class class class wbr 5117  ‘cfv 6528  (class class class)co 7400  1_oc1o 8468   ≈ cen 8951  Basecbs 17215   Func cfunc 17854  TermCatctermc 49219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5247  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724  ax-cnex 11178  ax-resscn 11179  ax-1cn 11180  ax-icn 11181  ax-addcl 11182  ax-addrcl 11183  ax-mulcl 11184  ax-mulrcl 11185  ax-mulcom 11186  ax-addass 11187  ax-mulass 11188  ax-distr 11189  ax-i2m1 11190  ax-1ne0 11191  ax-1rid 11192  ax-rnegex 11193  ax-rrecex 11194  ax-cnre 11195  ax-pre-lttri 11196  ax-pre-lttrn 11197  ax-pre-ltadd 11198  ax-pre-mulgt0 11199

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-uni 4882  df-iun 4967  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-tr 5228  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6288  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7857  df-1st 7983  df-2nd 7984  df-frecs 8275  df-wrecs 8306  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8475  df-er 8714  df-map 8837  df-ixp 8907  df-en 8955  df-dom 8956  df-sdom 8957  df-fin 8958  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12234  df-2 12296  df-3 12297  df-4 12298  df-5 12299  df-6 12300  df-7 12301  df-8 12302  df-9 12303  df-n0 12495  df-z 12582  df-dec 12702  df-uz 12846  df-fz 13515  df-struct 17153  df-slot 17188  df-ndx 17200  df-base 17216  df-hom 17282  df-cco 17283  df-cat 17667  df-cid 17668  df-func 17858  df-idfu 17859  df-nat 17946  df-fuc 17947  df-xpc 18171  df-1stf 18172  df-curf 18213  df-diag 18215  df-thinc 49167  df-termc 49220

This theorem is referenced by: (None)