Theorem euendfunc2 49849

Description: If there exists a unique endofunctor (a functor from a category to itself) for a category, then it is either initial (empty) or terminal. (Contributed by Zhi Wang, 20-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
euendfunc2	⊢ ((𝐶 Func 𝐶) ≈ 1o → ((Base‘𝐶) = ∅ ∨ 𝐶 ∈ TermCat))

Proof of Theorem euendfunc2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euen1b 8970	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 Func 𝐶) ≈ 1o ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
2	1	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 Func 𝐶) ≈ 1o → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
3	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐶 Func 𝐶) ≈ 1o ∧ ¬ (Base‘𝐶) = ∅) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 Func 𝐶) ≈ 1o ∧ ¬ (Base‘𝐶) = ∅) → ¬ (Base‘𝐶) = ∅)
6	5	neqned 2940	. . . 4 ⊢ (((𝐶 Func 𝐶) ≈ 1o ∧ ¬ (Base‘𝐶) = ∅) → (Base‘𝐶) ≠ ∅)
7	3, 4, 6	euendfunc 49848	. . 3 ⊢ (((𝐶 Func 𝐶) ≈ 1o ∧ ¬ (Base‘𝐶) = ∅) → 𝐶 ∈ TermCat)
8	7	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐶 Func 𝐶) ≈ 1o → (¬ (Base‘𝐶) = ∅ → 𝐶 ∈ TermCat))
9	8	orrd 864	1 ⊢ ((𝐶 Func 𝐶) ≈ 1o → ((Base‘𝐶) = ∅ ∨ 𝐶 ∈ TermCat))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃!weu 2569  ∅c0 4286   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  1_oc1o 8393   ≈ cen 8885  Basecbs 17141   Func cfunc 17783  TermCatctermc 49794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-map 8770  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12407  df-z 12494  df-dec 12613  df-uz 12757  df-fz 13429  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-hom 17206  df-cco 17207  df-cat 17596  df-cid 17597  df-func 17787  df-idfu 17788  df-nat 17875  df-fuc 17876  df-xpc 18100  df-1stf 18101  df-curf 18142  df-diag 18144  df-thinc 49740  df-termc 49795

This theorem is referenced by: (None)