Theorem euendfunc2 49185

Description: If there exists a unique endofunctor (a functor from a category to itself) for a category, then it is either initial (empty) or terminal. (Contributed by Zhi Wang, 20-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
euendfunc2	⊢ ((𝐶 Func 𝐶) ≈ 1o → ((Base‘𝐶) = ∅ ∨ 𝐶 ∈ TermCat))

Proof of Theorem euendfunc2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euen1b 9069	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 Func 𝐶) ≈ 1o ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
2	1	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 Func 𝐶) ≈ 1o → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
3	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐶 Func 𝐶) ≈ 1o ∧ ¬ (Base‘𝐶) = ∅) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 Func 𝐶) ≈ 1o ∧ ¬ (Base‘𝐶) = ∅) → ¬ (Base‘𝐶) = ∅)
6	5	neqned 2946	. . . 4 ⊢ (((𝐶 Func 𝐶) ≈ 1o ∧ ¬ (Base‘𝐶) = ∅) → (Base‘𝐶) ≠ ∅)
7	3, 4, 6	euendfunc 49184	. . 3 ⊢ (((𝐶 Func 𝐶) ≈ 1o ∧ ¬ (Base‘𝐶) = ∅) → 𝐶 ∈ TermCat)
8	7	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐶 Func 𝐶) ≈ 1o → (¬ (Base‘𝐶) = ∅ → 𝐶 ∈ TermCat))
9	8	orrd 863	1 ⊢ ((𝐶 Func 𝐶) ≈ 1o → ((Base‘𝐶) = ∅ ∨ 𝐶 ∈ TermCat))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃!weu 2567  ∅c0 4332   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  1_oc1o 8500   ≈ cen 8983  Basecbs 17248   Func cfunc 17900  TermCatctermc 49144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-hom 17322  df-cco 17323  df-cat 17712  df-cid 17713  df-func 17904  df-idfu 17905  df-nat 17992  df-fuc 17993  df-xpc 18218  df-1stf 18219  df-curf 18260  df-diag 18262  df-thinc 49092  df-termc 49145

This theorem is referenced by: (None)