Theorem euendfunc 49531

Description: If there exists a unique endofunctor (a functor from a category to itself) for a non-empty category, then the category is terminal. This partially explains why two categories are sufficient in termc2 49523. (Contributed by Zhi Wang, 20-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
euendfunc.f	⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
euendfunc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
euendfunc.0	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
euendfunc	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ TermCat)

Distinct variable group:   𝐶,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem euendfunc

Dummy variables 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euendfunc.0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
2		n0 4304	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
3	1, 2	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
4		eqid 2729	. . 3 ⊢ (idfunc‘𝐶) = (idfunc‘𝐶)
5		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝐶Δfunc𝐶) = (𝐶Δfunc𝐶)
6		euendfunc.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
8		euex 2570	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
10		funcrcl 17770	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐶 ∈ Cat))
11	10	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
12	11	exlimiv 1930	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
13	9, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ Cat)
14		euendfunc.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
15		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
16		eqid 2729	. . 3 ⊢ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)
17	4	idfucl 17788	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶))
18	13, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶))
19	5, 13, 13, 14, 15, 16	diag1cl 18148	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ (𝐶 Func 𝐶))
20		eumo 2571	. . . . . . 7 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) → ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
21	7, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
22		eleq1w 2811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ↔ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶)))
23	22	mo4 2559	. . . . . 6 ⊢ (∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ↔ ∀𝑓∀𝑔((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → 𝑓 = 𝑔))
24	21, 23	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑓∀𝑔((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → 𝑓 = 𝑔))
25		fvex 6835	. . . . . 6 ⊢ (idfunc‘𝐶) ∈ V
26		fvex 6835	. . . . . 6 ⊢ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ V
27		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 = (idfunc‘𝐶) ∧ 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)) → 𝑓 = (idfunc‘𝐶))
28	27	eleq1d 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 = (idfunc‘𝐶) ∧ 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)) → (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ↔ (idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶)))
29		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 = (idfunc‘𝐶) ∧ 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)) → 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥))
30	29	eleq1d 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 = (idfunc‘𝐶) ∧ 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)) → (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ↔ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ (𝐶 Func 𝐶)))
31	28, 30	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 = (idfunc‘𝐶) ∧ 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)) → ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶)) ↔ ((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ (𝐶 Func 𝐶))))
32		eqeq12 2746	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 = (idfunc‘𝐶) ∧ 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (idfunc‘𝐶) = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)))
33	31, 32	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = (idfunc‘𝐶) ∧ 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)) → (((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → 𝑓 = 𝑔) ↔ (((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → (idfunc‘𝐶) = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥))))
34	33	spc2gv 3555	. . . . . 6 ⊢ (((idfunc‘𝐶) ∈ V ∧ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ V) → (∀𝑓∀𝑔((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → 𝑓 = 𝑔) → (((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → (idfunc‘𝐶) = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥))))
35	25, 26, 34	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (∀𝑓∀𝑔((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → 𝑓 = 𝑔) → (((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → (idfunc‘𝐶) = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)))
36	24, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → (idfunc‘𝐶) = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)))
37	18, 19, 36	mp2and 699	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (idfunc‘𝐶) = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥))
38	4, 5, 13, 14, 15, 16, 37	idfudiag1 49530	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ TermCat)
39	3, 38	exlimddv 1935	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ TermCat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∃*wmo 2531  ∃!weu 2561   ≠ wne 2925  Vcvv 3436  ∅c0 4284  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  1^st c1st 7922  Basecbs 17120  Catccat 17570   Func cfunc 17761  id_funccidfu 17762  Δ_funccdiag 18118  TermCatctermc 49477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-hom 17185  df-cco 17186  df-cat 17574  df-cid 17575  df-func 17765  df-idfu 17766  df-nat 17853  df-fuc 17854  df-xpc 18078  df-1stf 18079  df-curf 18120  df-diag 18122  df-thinc 49423  df-termc 49478

This theorem is referenced by:  euendfunc2  49532