Theorem euendfunc 49184

Description: If there exists a unique endofunctor (a functor from a category to itself) for a non-empty category, then the category is terminal. This partially explains why two categories are sufficient in termc2 49176. (Contributed by Zhi Wang, 20-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
euendfunc.f	⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
euendfunc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
euendfunc.0	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
euendfunc	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ TermCat)

Distinct variable group:   𝐶,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem euendfunc

Dummy variables 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euendfunc.0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
2		n0 4352	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
3	1, 2	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ (idfunc‘𝐶) = (idfunc‘𝐶)
5		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝐶Δfunc𝐶) = (𝐶Δfunc𝐶)
6		euendfunc.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
8		euex 2576	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
10		funcrcl 17909	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐶 ∈ Cat))
11	10	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
12	11	exlimiv 1929	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
13	9, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ Cat)
14		euendfunc.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
15		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
16		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)
17	4	idfucl 17927	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶))
18	13, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶))
19	5, 13, 13, 14, 15, 16	diag1cl 18288	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ (𝐶 Func 𝐶))
20		eumo 2577	. . . . . . 7 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) → ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
21	7, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
22		eleq1w 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ↔ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶)))
23	22	mo4 2565	. . . . . 6 ⊢ (∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ↔ ∀𝑓∀𝑔((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → 𝑓 = 𝑔))
24	21, 23	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑓∀𝑔((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → 𝑓 = 𝑔))
25		fvex 6918	. . . . . 6 ⊢ (idfunc‘𝐶) ∈ V
26		fvex 6918	. . . . . 6 ⊢ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ V
27		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 = (idfunc‘𝐶) ∧ 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)) → 𝑓 = (idfunc‘𝐶))
28	27	eleq1d 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 = (idfunc‘𝐶) ∧ 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)) → (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ↔ (idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶)))
29		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 = (idfunc‘𝐶) ∧ 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)) → 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥))
30	29	eleq1d 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 = (idfunc‘𝐶) ∧ 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)) → (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ↔ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ (𝐶 Func 𝐶)))
31	28, 30	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 = (idfunc‘𝐶) ∧ 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)) → ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶)) ↔ ((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ (𝐶 Func 𝐶))))
32		eqeq12 2753	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 = (idfunc‘𝐶) ∧ 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (idfunc‘𝐶) = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)))
33	31, 32	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = (idfunc‘𝐶) ∧ 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)) → (((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → 𝑓 = 𝑔) ↔ (((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → (idfunc‘𝐶) = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥))))
34	33	spc2gv 3599	. . . . . 6 ⊢ (((idfunc‘𝐶) ∈ V ∧ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ V) → (∀𝑓∀𝑔((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → 𝑓 = 𝑔) → (((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → (idfunc‘𝐶) = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥))))
35	25, 26, 34	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (∀𝑓∀𝑔((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → 𝑓 = 𝑔) → (((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → (idfunc‘𝐶) = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)))
36	24, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → (idfunc‘𝐶) = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)))
37	18, 19, 36	mp2and 699	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (idfunc‘𝐶) = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥))
38	4, 5, 13, 14, 15, 16, 37	idfudiag1 49183	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ TermCat)
39	3, 38	exlimddv 1934	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ TermCat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1537   = wceq 1539  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107  ∃*wmo 2537  ∃!weu 2567   ≠ wne 2939  Vcvv 3479  ∅c0 4332  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  1^st c1st 8013  Basecbs 17248  Catccat 17708   Func cfunc 17900  id_funccidfu 17901  Δ_funccdiag 18258  TermCatctermc 49144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-hom 17322  df-cco 17323  df-cat 17712  df-cid 17713  df-func 17904  df-idfu 17905  df-nat 17992  df-fuc 17993  df-xpc 18218  df-1stf 18219  df-curf 18260  df-diag 18262  df-thinc 49092  df-termc 49145

This theorem is referenced by:  euendfunc2  49185