Theorem euendfunc 49848

Description: If there exists a unique endofunctor (a functor from a category to itself) for a non-empty category, then the category is terminal. This partially explains why two categories are sufficient in termc2 49840. (Contributed by Zhi Wang, 20-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
euendfunc.f	⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
euendfunc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
euendfunc.0	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
euendfunc	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ TermCat)

Distinct variable group:   𝐶,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem euendfunc

Dummy variables 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euendfunc.0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
2		n0 4306	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
3	1, 2	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (idfunc‘𝐶) = (idfunc‘𝐶)
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝐶Δfunc𝐶) = (𝐶Δfunc𝐶)
6		euendfunc.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
8		euex 2578	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
10		funcrcl 17792	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐶 ∈ Cat))
11	10	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
12	11	exlimiv 1932	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
13	9, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ Cat)
14		euendfunc.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
15		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
16		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)
17	4	idfucl 17810	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶))
18	13, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶))
19	5, 13, 13, 14, 15, 16	diag1cl 18170	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ (𝐶 Func 𝐶))
20		eumo 2579	. . . . . . 7 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) → ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
21	7, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
22		eleq1w 2820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ↔ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶)))
23	22	mo4 2567	. . . . . 6 ⊢ (∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ↔ ∀𝑓∀𝑔((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → 𝑓 = 𝑔))
24	21, 23	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑓∀𝑔((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → 𝑓 = 𝑔))
25		fvex 6848	. . . . . 6 ⊢ (idfunc‘𝐶) ∈ V
26		fvex 6848	. . . . . 6 ⊢ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ V
27		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 = (idfunc‘𝐶) ∧ 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)) → 𝑓 = (idfunc‘𝐶))
28	27	eleq1d 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 = (idfunc‘𝐶) ∧ 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)) → (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ↔ (idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶)))
29		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 = (idfunc‘𝐶) ∧ 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)) → 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥))
30	29	eleq1d 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 = (idfunc‘𝐶) ∧ 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)) → (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ↔ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ (𝐶 Func 𝐶)))
31	28, 30	anbi12d 633	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 = (idfunc‘𝐶) ∧ 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)) → ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶)) ↔ ((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ (𝐶 Func 𝐶))))
32		eqeq12 2754	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 = (idfunc‘𝐶) ∧ 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (idfunc‘𝐶) = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)))
33	31, 32	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = (idfunc‘𝐶) ∧ 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)) → (((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → 𝑓 = 𝑔) ↔ (((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → (idfunc‘𝐶) = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥))))
34	33	spc2gv 3555	. . . . . 6 ⊢ (((idfunc‘𝐶) ∈ V ∧ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ V) → (∀𝑓∀𝑔((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → 𝑓 = 𝑔) → (((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → (idfunc‘𝐶) = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥))))
35	25, 26, 34	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ (∀𝑓∀𝑔((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → 𝑓 = 𝑔) → (((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → (idfunc‘𝐶) = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)))
36	24, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → (idfunc‘𝐶) = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)))
37	18, 19, 36	mp2and 700	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (idfunc‘𝐶) = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥))
38	4, 5, 13, 14, 15, 16, 37	idfudiag1 49847	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ TermCat)
39	3, 38	exlimddv 1937	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ TermCat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1540   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∃*wmo 2538  ∃!weu 2569   ≠ wne 2933  Vcvv 3441  ∅c0 4286  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  1^st c1st 7934  Basecbs 17141  Catccat 17592   Func cfunc 17783  id_funccidfu 17784  Δ_funccdiag 18140  TermCatctermc 49794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-map 8770  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12407  df-z 12494  df-dec 12613  df-uz 12757  df-fz 13429  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-hom 17206  df-cco 17207  df-cat 17596  df-cid 17597  df-func 17787  df-idfu 17788  df-nat 17875  df-fuc 17876  df-xpc 18100  df-1stf 18101  df-curf 18142  df-diag 18144  df-thinc 49740  df-termc 49795

This theorem is referenced by:  euendfunc2  49849