Theorem euendfunc 50138

Description: If there exists a unique endofunctor (a functor from a category to itself) for a non-empty category, then the category is terminal. This partially explains why two categories are sufficient in termc2 50130. (Contributed by Zhi Wang, 20-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
euendfunc.f	⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
euendfunc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
euendfunc.0	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
euendfunc	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ TermCat)

Distinct variable group:   𝐶,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem euendfunc

Dummy variables 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euendfunc.0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
2		n0 4306	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
3	1, 2	sylib 220	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (idfunc‘𝐶) = (idfunc‘𝐶)
5		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝐶Δfunc𝐶) = (𝐶Δfunc𝐶)
6		euendfunc.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
7	6	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
8		euex 2605	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
10		funcrcl 17906	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐶 ∈ Cat))
11	10	simpld 498	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
12	11	exlimiv 1951	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
13	9, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ Cat)
14		euendfunc.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
15		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
16		eqid 2763	. . 3 ⊢ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)
17	4	idfucl 17924	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶))
18	13, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶))
19	5, 13, 13, 14, 15, 16	diag1cl 18284	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ (𝐶 Func 𝐶))
20		eumo 2606	. . . . . . 7 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) → ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
21	7, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
22		eleq1w 2846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ↔ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶)))
23	22	mo4 2594	. . . . . 6 ⊢ (∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ↔ ∀𝑓∀𝑔((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → 𝑓 = 𝑔))
24	21, 23	sylib 220	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑓∀𝑔((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → 𝑓 = 𝑔))
25		fvex 6880	. . . . . 6 ⊢ (idfunc‘𝐶) ∈ V
26		fvex 6880	. . . . . 6 ⊢ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ V
27		simpl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 = (idfunc‘𝐶) ∧ 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)) → 𝑓 = (idfunc‘𝐶))
28	27	eleq1d 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 = (idfunc‘𝐶) ∧ 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)) → (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ↔ (idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶)))
29		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 = (idfunc‘𝐶) ∧ 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)) → 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥))
30	29	eleq1d 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 = (idfunc‘𝐶) ∧ 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)) → (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ↔ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ (𝐶 Func 𝐶)))
31	28, 30	anbi12d 641	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 = (idfunc‘𝐶) ∧ 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)) → ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶)) ↔ ((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ (𝐶 Func 𝐶))))
32		eqeq12 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 = (idfunc‘𝐶) ∧ 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (idfunc‘𝐶) = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)))
33	31, 32	imbi12d 346	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = (idfunc‘𝐶) ∧ 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)) → (((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → 𝑓 = 𝑔) ↔ (((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → (idfunc‘𝐶) = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥))))
34	33	spc2gv 3560	. . . . . 6 ⊢ (((idfunc‘𝐶) ∈ V ∧ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ V) → (∀𝑓∀𝑔((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → 𝑓 = 𝑔) → (((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → (idfunc‘𝐶) = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥))))
35	25, 26, 34	mp2an 702	. . . . 5 ⊢ (∀𝑓∀𝑔((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → 𝑓 = 𝑔) → (((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → (idfunc‘𝐶) = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)))
36	24, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → (idfunc‘𝐶) = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)))
37	18, 19, 36	mp2and 709	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (idfunc‘𝐶) = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥))
38	4, 5, 13, 14, 15, 16, 37	idfudiag1 50137	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ TermCat)
39	3, 38	exlimddv 1956	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ TermCat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399  ∀wal 1559   = wceq 1561  ∃wex 1800   ∈ wcel 2143  ∃*wmo 2565  ∃!weu 2596   ≠ wne 2958  Vcvv 3455  ∅c0 4286  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  1^st c1st 7968  Basecbs 17255  Catccat 17706   Func cfunc 17897  id_funccidfu 17898  Δ_funccdiag 18254  TermCatctermc 50084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-5 12293  df-6 12294  df-7 12295  df-8 12296  df-9 12297  df-n0 12492  df-z 12579  df-dec 12699  df-uz 12850  df-fz 13523  df-struct 17193  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-hom 17320  df-cco 17321  df-cat 17710  df-cid 17711  df-func 17901  df-idfu 17902  df-nat 17989  df-fuc 17990  df-xpc 18214  df-1stf 18215  df-curf 18256  df-diag 18258  df-thinc 50030  df-termc 50085

This theorem is referenced by:  euendfunc2  50139