Theorem euendfunc 50556

Description: If there exists a unique endofunctor (a functor from a category to itself) for a non-empty category, then the category is terminal. This partially explains why two categories are sufficient in termc2 50548. (Contributed by Zhi Wang, 20-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
euendfunc.f	⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
euendfunc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
euendfunc.0	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
euendfunc	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ TermCat)

Distinct variable group:   𝐶,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem euendfunc

Dummy variables 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euendfunc.0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
2		n0 4299	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
3	1, 2	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (idfunc‘𝐶) = (idfunc‘𝐶)
5		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝐶Δfunc𝐶) = (𝐶Δfunc𝐶)
6		euendfunc.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
8		euex 2602	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
10		funcrcl 17999	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐶 ∈ Cat))
11	10	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
12	11	exlimiv 1963	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
13	9, 12	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ Cat)
14		euendfunc.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
15		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
16		eqid 2760	. . 3 ⊢ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)
17	4	idfucl 18017	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶))
18	13, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶))
19	5, 13, 13, 14, 15, 16	diag1cl 18377	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ (𝐶 Func 𝐶))
20		eumo 2603	. . . . . . 7 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) → ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
21	7, 20	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
22		eleq1w 2843	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ↔ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶)))
23	22	mo4 2591	. . . . . 6 ⊢ (∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ↔ ∀𝑓∀𝑔((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → 𝑓 = 𝑔))
24	21, 23	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑓∀𝑔((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → 𝑓 = 𝑔))
25		fvex 6886	. . . . . 6 ⊢ (idfunc‘𝐶) ∈ V
26		fvex 6886	. . . . . 6 ⊢ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ V
27		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 = (idfunc‘𝐶) ∧ 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)) → 𝑓 = (idfunc‘𝐶))
28	27	eleq1d 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 = (idfunc‘𝐶) ∧ 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)) → (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ↔ (idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶)))
29		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 = (idfunc‘𝐶) ∧ 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)) → 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥))
30	29	eleq1d 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 = (idfunc‘𝐶) ∧ 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)) → (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ↔ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ (𝐶 Func 𝐶)))
31	28, 30	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 = (idfunc‘𝐶) ∧ 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)) → ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶)) ↔ ((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ (𝐶 Func 𝐶))))
32		eqeq12 2777	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 = (idfunc‘𝐶) ∧ 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (idfunc‘𝐶) = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)))
33	31, 32	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = (idfunc‘𝐶) ∧ 𝑔 = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)) → (((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → 𝑓 = 𝑔) ↔ (((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → (idfunc‘𝐶) = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥))))
34	33	spc2gv 3554	. . . . . 6 ⊢ (((idfunc‘𝐶) ∈ V ∧ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ V) → (∀𝑓∀𝑔((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → 𝑓 = 𝑔) → (((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → (idfunc‘𝐶) = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥))))
35	25, 26, 34	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (∀𝑓∀𝑔((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → 𝑓 = 𝑔) → (((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → (idfunc‘𝐶) = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)))
36	24, 35	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐶 Func 𝐶) ∧ ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥) ∈ (𝐶 Func 𝐶)) → (idfunc‘𝐶) = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥)))
37	18, 19, 36	mp2and 712	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (idfunc‘𝐶) = ((1st ‘(𝐶Δfunc𝐶))‘𝑥))
38	4, 5, 13, 14, 15, 16, 37	idfudiag1 50555	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ TermCat)
39	3, 38	exlimddv 1968	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ TermCat)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∃*wmo 2562  ∃!weu 2593   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  ∅c0 4278  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  1^st c1st 7982  Basecbs 17348  Catccat 17799   Func cfunc 17990  id_funccidfu 17991  Δ_funccdiag 18347  TermCatctermc 50502

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-fz 13609  df-struct 17286  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-hom 17413  df-cco 17414  df-cat 17803  df-cid 17804  df-func 17994  df-idfu 17995  df-nat 18082  df-fuc 18083  df-xpc 18307  df-1stf 18308  df-curf 18349  df-diag 18351  df-thinc 50448  df-termc 50503

This theorem is used by:  euendfunc2  50557