Theorem perfect 27591

Description: The Euclid-Euler theorem, or Perfect Number theorem. A positive even integer 𝑁 is a perfect number (that is, its divisor sum is 2𝑁) if and only if it is of the form 2↑(𝑝 − 1) · (2↑𝑝 − 1), where 2↑𝑝 − 1 is prime (a Mersenne prime), and therefore 𝑝 is also prime, see mersenne 27587. This is Metamath 100 proof #70. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
perfect	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁) ↔ ∃𝑝 ∈ ℤ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)))))

Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem perfect

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → 2 ∥ 𝑁)
2		2prm 16899	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℙ
3		simpll 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		pcelnn 17080	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 2 ∥ 𝑁))
5	2, 3, 4	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ((2 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 2 ∥ 𝑁))
6	1, 5	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12749	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
8	7	peano2zd 12836	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ((2 pCnt 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
9		pcdvds 17074	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑(2 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁)
10	2, 3, 9	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2↑(2 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁)
11		2nn 12446	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
12	6	nnnn0d 12697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
13		nnexpcl 14247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (2 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0) → (2↑(2 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ)
14	11, 12, 13	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2↑(2 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ)
15		nndivdvds 16463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (2↑(2 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ) → ((2↑(2 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) ∈ ℕ))
16	3, 14, 15	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ((2↑(2 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) ∈ ℕ))
17	10, 16	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) ∈ ℕ)
18		pcndvds2 17078	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 2 ∥ (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))))
19	2, 3, 18	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ¬ 2 ∥ (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))))
20		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁))
21		nncn 12373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
22	21	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
23	14	nncnd 12381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2↑(2 pCnt 𝑁)) ∈ ℂ)
24	14	nnne0d 12418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2↑(2 pCnt 𝑁)) ≠ 0)
25	22, 23, 24	divcan2d 12125	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ((2↑(2 pCnt 𝑁)) · (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁)))) = 𝑁)
26	25	oveq2d 7462	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (1 σ ((2↑(2 pCnt 𝑁)) · (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))))) = (1 σ 𝑁))
27	25	oveq2d 7462	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2 · ((2↑(2 pCnt 𝑁)) · (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))))) = (2 · 𝑁))
28	20, 26, 27	3eqtr4d 2808	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (1 σ ((2↑(2 pCnt 𝑁)) · (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))))) = (2 · ((2↑(2 pCnt 𝑁)) · (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))))))
29	6, 17, 19, 28	perfectlem2 27590	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ((𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) ∈ ℙ ∧ (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) = ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1)))
30	29	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) = ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1))
31	29	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) ∈ ℙ)
32	30, 31	eqeltrrd 2865	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1) ∈ ℙ)
33	6	nncnd 12381	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2 pCnt 𝑁) ∈ ℂ)
34		ax-1cn 11288	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
35		pncan 11593	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 pCnt 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1) = (2 pCnt 𝑁))
36	33, 34, 35	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1) = (2 pCnt 𝑁))
37	36	eqcomd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2 pCnt 𝑁) = (((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1))
38	37	oveq2d 7462	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2↑(2 pCnt 𝑁)) = (2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)))
39	38, 30	oveq12d 7464	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ((2↑(2 pCnt 𝑁)) · (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁)))) = ((2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)) · ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1)))
40	25, 39	eqtr3d 2800	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → 𝑁 = ((2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)) · ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1)))
41		oveq2 7454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → (2↑𝑝) = (2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)))
42	41	oveq1d 7461	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → ((2↑𝑝) − 1) = ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1))
43	42	eleq1d 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ↔ ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1) ∈ ℙ))
44		oveq1 7453	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → (𝑝 − 1) = (((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1))
45	44	oveq2d 7462	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → (2↑(𝑝 − 1)) = (2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)))
46	45, 42	oveq12d 7464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)) = ((2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)) · ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1)))
47	46	eqeq2d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → (𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)) ↔ 𝑁 = ((2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)) · ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1))))
48	43, 47	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → ((((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))) ↔ (((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)) · ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1)))))
49	48	rspcev 3580	. . . 4 ⊢ ((((2 pCnt 𝑁) + 1) ∈ ℤ ∧ (((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)) · ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1)))) → ∃𝑝 ∈ ℤ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))))
50	8, 32, 40, 49	syl12anc 850	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℤ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))))
51	50	ex 418	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁) → ∃𝑝 ∈ ℤ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)))))
52		perfect1 27588	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → (1 σ ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))) = ((2↑𝑝) · ((2↑𝑝) − 1)))
53		2cn 12448	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
54		mersenne 27587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
55		prmnn 16881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
56	54, 55	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
57		expm1t 14263	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → (2↑𝑝) = ((2↑(𝑝 − 1)) · 2))
58	53, 56, 57	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → (2↑𝑝) = ((2↑(𝑝 − 1)) · 2))
59		nnm1nn0 12677	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (𝑝 − 1) ∈ ℕ0)
60	56, 59	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → (𝑝 − 1) ∈ ℕ0)
61		expcl 14252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑝 − 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑝 − 1)) ∈ ℂ)
62	53, 60, 61	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → (2↑(𝑝 − 1)) ∈ ℂ)
63		mulcom 11316	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑(𝑝 − 1)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2↑(𝑝 − 1)) · 2) = (2 · (2↑(𝑝 − 1))))
64	62, 53, 63	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑(𝑝 − 1)) · 2) = (2 · (2↑(𝑝 − 1))))
65	58, 64	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → (2↑𝑝) = (2 · (2↑(𝑝 − 1))))
66	65	oveq1d 7461	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑝) · ((2↑𝑝) − 1)) = ((2 · (2↑(𝑝 − 1))) · ((2↑𝑝) − 1)))
67		2cnd 12451	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → 2 ∈ ℂ)
68		prmnn 16881	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℕ)
69	68	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℕ)
70	69	nncnd 12381	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℂ)
71	67, 62, 70	mulassd 11362	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → ((2 · (2↑(𝑝 − 1))) · ((2↑𝑝) − 1)) = (2 · ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))))
72	52, 66, 71	3eqtrd 2802	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → (1 σ ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))) = (2 · ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))))
73		oveq2 7454	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)) → (1 σ 𝑁) = (1 σ ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))))
74		oveq2 7454	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)) → (2 · 𝑁) = (2 · ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))))
75	73, 74	eqeq12d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)) → ((1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁) ↔ (1 σ ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))) = (2 · ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)))))
76	72, 75	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → (𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)) → (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)))
77	76	impr 460	. . 3 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)))) → (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁))
78	77	rexlimiva 3159	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℤ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))) → (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁))
79	51, 78	impbid1 228	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁) ↔ ∃𝑝 ∈ ℤ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   class class class wbr 5106  (class class class)co 7446  ℂcc 11228  1c1 11231   + caddc 11233   · cmul 11235   − cmin 11571   / cdiv 12003  ℕcn 12365  2c2 12427  ℕ₀cn0 12636  ℤcz 12723  ↑cexp 14234   ∥ cdvds 16454  ℙcprime 16878   pCnt cpc 17046   σ csgm 27456

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308  ax-addf 11309

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-q 13106  df-rp 13151  df-xneg 13271  df-xadd 13272  df-xmul 13273  df-ioo 13510  df-ioc 13511  df-ico 13512  df-icc 13513  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-fl 13962  df-mod 14040  df-seq 14175  df-exp 14235  df-fac 14448  df-bc 14477  df-hash 14505  df-shft 15252  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-limsup 15670  df-clim 15687  df-rlim 15688  df-sum 15886  df-ef 16265  df-sin 16267  df-cos 16268  df-pi 16270  df-dvds 16455  df-gcd 16697  df-prm 16879  df-pc 17047  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-starv 17475  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-unif 17483  df-hom 17484  df-cco 17485  df-rest 17625  df-topn 17626  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-topgen 17646  df-pt 17647  df-prds 17650  df-xrs 17706  df-qtop 17711  df-imas 17712  df-xps 17714  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-submnd 19011  df-mulg 19310  df-cntz 19564  df-cmn 20029  df-psmet 21703  df-xmet 21704  df-met 21705  df-bl 21706  df-mopn 21707  df-fbas 21708  df-fg 21709  df-cnfld 21712  df-top 23245  df-topon 23262  df-topsp 23284  df-bases 23297  df-cld 23370  df-ntr 23371  df-cls 23372  df-nei 23449  df-lp 23487  df-perf 23488  df-cn 23578  df-cnp 23579  df-haus 23666  df-tx 23914  df-hmeo 24107  df-fil 24198  df-fm 24290  df-flim 24291  df-flf 24292  df-xms 24672  df-ms 24673  df-tms 24674  df-cncf 25232  df-limc 26219  df-dv 26220  df-log 26917  df-cxp 26918  df-sgm 27462

This theorem is used by: (None)