Theorem perfect 27349

Description: The Euclid-Euler theorem, or Perfect Number theorem. A positive even integer 𝑁 is a perfect number (that is, its divisor sum is 2𝑁) if and only if it is of the form 2↑(𝑝 − 1) · (2↑𝑝 − 1), where 2↑𝑝 − 1 is prime (a Mersenne prime), and therefore 𝑝 is also prime, see mersenne 27345. This is Metamath 100 proof #70. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
perfect	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁) ↔ ∃𝑝 ∈ ℤ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)))))

Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem perfect

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → 2 ∥ 𝑁)
2		2prm 16738	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℙ
3		simpll 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		pcelnn 16918	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 2 ∥ 𝑁))
5	2, 3, 4	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ((2 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 2 ∥ 𝑁))
6	1, 5	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12605	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
8	7	peano2zd 12691	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ((2 pCnt 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
9		pcdvds 16912	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑(2 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁)
10	2, 3, 9	sylancr 598	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2↑(2 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁)
11		2nn 12302	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
12	6	nnnn0d 12553	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
13		nnexpcl 14098	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (2 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0) → (2↑(2 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ)
14	11, 12, 13	sylancr 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2↑(2 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ)
15		nndivdvds 16307	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (2↑(2 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ) → ((2↑(2 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) ∈ ℕ))
16	3, 14, 15	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ((2↑(2 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) ∈ ℕ))
17	10, 16	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) ∈ ℕ)
18		pcndvds2 16916	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 2 ∥ (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))))
19	2, 3, 18	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ¬ 2 ∥ (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))))
20		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁))
21		nncn 12229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
22	21	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
23	14	nncnd 12237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2↑(2 pCnt 𝑁)) ∈ ℂ)
24	14	nnne0d 12274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2↑(2 pCnt 𝑁)) ≠ 0)
25	22, 23, 24	divcan2d 11981	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ((2↑(2 pCnt 𝑁)) · (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁)))) = 𝑁)
26	25	oveq2d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (1 σ ((2↑(2 pCnt 𝑁)) · (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))))) = (1 σ 𝑁))
27	25	oveq2d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2 · ((2↑(2 pCnt 𝑁)) · (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))))) = (2 · 𝑁))
28	20, 26, 27	3eqtr4d 2810	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (1 σ ((2↑(2 pCnt 𝑁)) · (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))))) = (2 · ((2↑(2 pCnt 𝑁)) · (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))))))
29	6, 17, 19, 28	perfectlem2 27348	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ((𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) ∈ ℙ ∧ (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) = ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1)))
30	29	simprd 500	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) = ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1))
31	29	simpld 499	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) ∈ ℙ)
32	30, 31	eqeltrrd 2866	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1) ∈ ℙ)
33	6	nncnd 12237	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2 pCnt 𝑁) ∈ ℂ)
34		ax-1cn 11146	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
35		pncan 11451	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 pCnt 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1) = (2 pCnt 𝑁))
36	33, 34, 35	sylancl 597	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1) = (2 pCnt 𝑁))
37	36	eqcomd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2 pCnt 𝑁) = (((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1))
38	37	oveq2d 7416	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2↑(2 pCnt 𝑁)) = (2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)))
39	38, 30	oveq12d 7418	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ((2↑(2 pCnt 𝑁)) · (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁)))) = ((2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)) · ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1)))
40	25, 39	eqtr3d 2802	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → 𝑁 = ((2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)) · ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1)))
41		oveq2 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → (2↑𝑝) = (2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)))
42	41	oveq1d 7415	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → ((2↑𝑝) − 1) = ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1))
43	42	eleq1d 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ↔ ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1) ∈ ℙ))
44		oveq1 7407	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → (𝑝 − 1) = (((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1))
45	44	oveq2d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → (2↑(𝑝 − 1)) = (2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)))
46	45, 42	oveq12d 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)) = ((2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)) · ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1)))
47	46	eqeq2d 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → (𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)) ↔ 𝑁 = ((2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)) · ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1))))
48	43, 47	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → ((((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))) ↔ (((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)) · ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1)))))
49	48	rspcev 3584	. . . 4 ⊢ ((((2 pCnt 𝑁) + 1) ∈ ℤ ∧ (((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)) · ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1)))) → ∃𝑝 ∈ ℤ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))))
50	8, 32, 40, 49	syl12anc 849	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℤ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))))
51	50	ex 417	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁) → ∃𝑝 ∈ ℤ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)))))
52		perfect1 27346	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → (1 σ ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))) = ((2↑𝑝) · ((2↑𝑝) − 1)))
53		2cn 12304	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
54		mersenne 27345	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
55		prmnn 16720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
56	54, 55	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
57		expm1t 14114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → (2↑𝑝) = ((2↑(𝑝 − 1)) · 2))
58	53, 56, 57	sylancr 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → (2↑𝑝) = ((2↑(𝑝 − 1)) · 2))
59		nnm1nn0 12533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (𝑝 − 1) ∈ ℕ0)
60	56, 59	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → (𝑝 − 1) ∈ ℕ0)
61		expcl 14103	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑝 − 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑝 − 1)) ∈ ℂ)
62	53, 60, 61	sylancr 598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → (2↑(𝑝 − 1)) ∈ ℂ)
63		mulcom 11174	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑(𝑝 − 1)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2↑(𝑝 − 1)) · 2) = (2 · (2↑(𝑝 − 1))))
64	62, 53, 63	sylancl 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑(𝑝 − 1)) · 2) = (2 · (2↑(𝑝 − 1))))
65	58, 64	eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → (2↑𝑝) = (2 · (2↑(𝑝 − 1))))
66	65	oveq1d 7415	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑝) · ((2↑𝑝) − 1)) = ((2 · (2↑(𝑝 − 1))) · ((2↑𝑝) − 1)))
67		2cnd 12307	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → 2 ∈ ℂ)
68		prmnn 16720	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℕ)
69	68	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℕ)
70	69	nncnd 12237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℂ)
71	67, 62, 70	mulassd 11220	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → ((2 · (2↑(𝑝 − 1))) · ((2↑𝑝) − 1)) = (2 · ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))))
72	52, 66, 71	3eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → (1 σ ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))) = (2 · ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))))
73		oveq2 7408	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)) → (1 σ 𝑁) = (1 σ ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))))
74		oveq2 7408	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)) → (2 · 𝑁) = (2 · ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))))
75	73, 74	eqeq12d 2781	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)) → ((1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁) ↔ (1 σ ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))) = (2 · ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)))))
76	72, 75	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → (𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)) → (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)))
77	76	impr 459	. . 3 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)))) → (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁))
78	77	rexlimiva 3158	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℤ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))) → (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁))
79	51, 78	impbid1 228	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁) ↔ ∃𝑝 ∈ ℤ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089   class class class wbr 5104  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093   − cmin 11429   / cdiv 11859  ℕcn 12221  2c2 12283  ℕ₀cn0 12492  ℤcz 12579  ↑cexp 14085   ∥ cdvds 16298  ℙcprime 16717   pCnt cpc 16884   σ csgm 27214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13364  df-ioc 13365  df-ico 13366  df-icc 13367  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-fl 13813  df-mod 13891  df-seq 14026  df-exp 14086  df-fac 14298  df-bc 14327  df-hash 14355  df-shft 15092  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15510  df-clim 15527  df-rlim 15528  df-sum 15726  df-ef 16109  df-sin 16111  df-cos 16112  df-pi 16114  df-dvds 16299  df-gcd 16541  df-prm 16718  df-pc 16885  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17463  df-topn 17464  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-topgen 17484  df-pt 17485  df-prds 17488  df-xrs 17544  df-qtop 17549  df-imas 17550  df-xps 17552  df-mre 17626  df-mrc 17627  df-acs 17629  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-submnd 18830  df-mulg 19122  df-cntz 19375  df-cmn 19840  df-psmet 21471  df-xmet 21472  df-met 21473  df-bl 21474  df-mopn 21475  df-fbas 21476  df-fg 21477  df-cnfld 21480  df-top 23008  df-topon 23025  df-topsp 23047  df-bases 23060  df-cld 23133  df-ntr 23134  df-cls 23135  df-nei 23212  df-lp 23250  df-perf 23251  df-cn 23341  df-cnp 23342  df-haus 23429  df-tx 23676  df-hmeo 23869  df-fil 23960  df-fm 24052  df-flim 24053  df-flf 24054  df-xms 24434  df-ms 24435  df-tms 24436  df-cncf 24994  df-limc 25982  df-dv 25983  df-log 26675  df-cxp 26676  df-sgm 27220

This theorem is referenced by: (None)