MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  perfect Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem perfect 26379
Description: The Euclid-Euler theorem, or Perfect Number theorem. A positive even integer 𝑁 is a perfect number (that is, its divisor sum is 2𝑁) if and only if it is of the form 2↑(𝑝 − 1) · (2↑𝑝 − 1), where 2↑𝑝 − 1 is prime (a Mersenne prime). (It follows from this that 𝑝 is also prime.) This is Metamath 100 proof #70. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
perfect ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁) ↔ ∃𝑝 ∈ ℤ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)))))
Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem perfect
StepHypRef Expression
1 simplr 766 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → 2 ∥ 𝑁)
2 2prm 16397 . . . . . . . 8 2 ∈ ℙ
3 simpll 764 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
4 pcelnn 16571 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 2 ∥ 𝑁))
52, 3, 4sylancr 587 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ((2 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 2 ∥ 𝑁))
61, 5mpbird 256 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
76nnzd 12425 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
87peano2zd 12429 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ((2 pCnt 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
9 pcdvds 16565 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑(2 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁)
102, 3, 9sylancr 587 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2↑(2 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁)
11 2nn 12046 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
126nnnn0d 12293 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
13 nnexpcl 13795 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ ∧ (2 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0) → (2↑(2 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ)
1411, 12, 13sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2↑(2 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ)
15 nndivdvds 15972 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (2↑(2 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ) → ((2↑(2 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) ∈ ℕ))
163, 14, 15syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ((2↑(2 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) ∈ ℕ))
1710, 16mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) ∈ ℕ)
18 pcndvds2 16569 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 2 ∥ (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))))
192, 3, 18sylancr 587 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ¬ 2 ∥ (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))))
20 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁))
21 nncn 11981 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2221ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
2314nncnd 11989 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2↑(2 pCnt 𝑁)) ∈ ℂ)
2414nnne0d 12023 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2↑(2 pCnt 𝑁)) ≠ 0)
2522, 23, 24divcan2d 11753 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ((2↑(2 pCnt 𝑁)) · (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁)))) = 𝑁)
2625oveq2d 7291 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (1 σ ((2↑(2 pCnt 𝑁)) · (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))))) = (1 σ 𝑁))
2725oveq2d 7291 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2 · ((2↑(2 pCnt 𝑁)) · (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))))) = (2 · 𝑁))
2820, 26, 273eqtr4d 2788 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (1 σ ((2↑(2 pCnt 𝑁)) · (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))))) = (2 · ((2↑(2 pCnt 𝑁)) · (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))))))
296, 17, 19, 28perfectlem2 26378 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ((𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) ∈ ℙ ∧ (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) = ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1)))
3029simprd 496 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) = ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1))
3129simpld 495 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) ∈ ℙ)
3230, 31eqeltrrd 2840 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1) ∈ ℙ)
336nncnd 11989 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2 pCnt 𝑁) ∈ ℂ)
34 ax-1cn 10929 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
35 pncan 11227 . . . . . . . . 9 (((2 pCnt 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1) = (2 pCnt 𝑁))
3633, 34, 35sylancl 586 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1) = (2 pCnt 𝑁))
3736eqcomd 2744 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2 pCnt 𝑁) = (((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1))
3837oveq2d 7291 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2↑(2 pCnt 𝑁)) = (2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)))
3938, 30oveq12d 7293 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ((2↑(2 pCnt 𝑁)) · (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁)))) = ((2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)) · ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1)))
4025, 39eqtr3d 2780 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → 𝑁 = ((2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)) · ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1)))
41 oveq2 7283 . . . . . . . 8 (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → (2↑𝑝) = (2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)))
4241oveq1d 7290 . . . . . . 7 (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → ((2↑𝑝) − 1) = ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1))
4342eleq1d 2823 . . . . . 6 (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ↔ ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1) ∈ ℙ))
44 oveq1 7282 . . . . . . . . 9 (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → (𝑝 − 1) = (((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1))
4544oveq2d 7291 . . . . . . . 8 (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → (2↑(𝑝 − 1)) = (2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)))
4645, 42oveq12d 7293 . . . . . . 7 (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)) = ((2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)) · ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1)))
4746eqeq2d 2749 . . . . . 6 (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → (𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)) ↔ 𝑁 = ((2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)) · ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1))))
4843, 47anbi12d 631 . . . . 5 (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → ((((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))) ↔ (((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)) · ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1)))))
4948rspcev 3561 . . . 4 ((((2 pCnt 𝑁) + 1) ∈ ℤ ∧ (((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)) · ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1)))) → ∃𝑝 ∈ ℤ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))))
508, 32, 40, 49syl12anc 834 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℤ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))))
5150ex 413 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁) → ∃𝑝 ∈ ℤ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)))))
52 perfect1 26376 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → (1 σ ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))) = ((2↑𝑝) · ((2↑𝑝) − 1)))
53 2cn 12048 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
54 mersenne 26375 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
55 prmnn 16379 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
57 expm1t 13811 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → (2↑𝑝) = ((2↑(𝑝 − 1)) · 2))
5853, 56, 57sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → (2↑𝑝) = ((2↑(𝑝 − 1)) · 2))
59 nnm1nn0 12274 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℕ → (𝑝 − 1) ∈ ℕ0)
6056, 59syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → (𝑝 − 1) ∈ ℕ0)
61 expcl 13800 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑝 − 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑝 − 1)) ∈ ℂ)
6253, 60, 61sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → (2↑(𝑝 − 1)) ∈ ℂ)
63 mulcom 10957 . . . . . . . . 9 (((2↑(𝑝 − 1)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2↑(𝑝 − 1)) · 2) = (2 · (2↑(𝑝 − 1))))
6462, 53, 63sylancl 586 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑(𝑝 − 1)) · 2) = (2 · (2↑(𝑝 − 1))))
6558, 64eqtrd 2778 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → (2↑𝑝) = (2 · (2↑(𝑝 − 1))))
6665oveq1d 7290 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑝) · ((2↑𝑝) − 1)) = ((2 · (2↑(𝑝 − 1))) · ((2↑𝑝) − 1)))
67 2cnd 12051 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → 2 ∈ ℂ)
68 prmnn 16379 . . . . . . . . 9 (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℕ)
6968adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℕ)
7069nncnd 11989 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℂ)
7167, 62, 70mulassd 10998 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → ((2 · (2↑(𝑝 − 1))) · ((2↑𝑝) − 1)) = (2 · ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))))
7252, 66, 713eqtrd 2782 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → (1 σ ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))) = (2 · ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))))
73 oveq2 7283 . . . . . 6 (𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)) → (1 σ 𝑁) = (1 σ ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))))
74 oveq2 7283 . . . . . 6 (𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)) → (2 · 𝑁) = (2 · ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))))
7573, 74eqeq12d 2754 . . . . 5 (𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)) → ((1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁) ↔ (1 σ ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))) = (2 · ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)))))
7672, 75syl5ibrcom 246 . . . 4 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → (𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)) → (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)))
7776impr 455 . . 3 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)))) → (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁))
7877rexlimiva 3210 . 2 (∃𝑝 ∈ ℤ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))) → (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁))
7951, 78impbid1 224 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁) ↔ ∃𝑝 ∈ ℤ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wrex 3065   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  cc 10869  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  cmin 11205   / cdiv 11632  cn 11973  2c2 12028  0cn0 12233  cz 12319  cexp 13782  cdvds 15963  cprime 16376   pCnt cpc 16537   σ csgm 26245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-pi 15782  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377  df-pc 16538  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-log 25712  df-cxp 25713  df-sgm 26251
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator