Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  perfectALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem perfectALTV 46005
Description: The Euclid-Euler theorem, or Perfect Number theorem. A positive even integer ๐‘ is a perfect number (that is, its divisor sum is 2๐‘) if and only if it is of the form 2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1) ยท (2โ†‘๐‘ โˆ’ 1), where 2โ†‘๐‘ โˆ’ 1 is prime (a Mersenne prime). (It follows from this that ๐‘ is also prime.) This is Metamath 100 proof #70. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.) (Revised by AV, 1-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
perfectALTV ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โ†’ ((1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)))))
Distinct variable group:   ๐‘,๐‘

Proof of Theorem perfectALTV
StepHypRef Expression
1 2dvdseven 45935 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ Even โ†’ 2 โˆฅ ๐‘)
21ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ 2 โˆฅ ๐‘)
3 2prm 16576 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„™
4 simpll 766 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
5 pcelnn 16750 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((2 pCnt ๐‘) โˆˆ โ„• โ†” 2 โˆฅ ๐‘))
63, 4, 5sylancr 588 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ ((2 pCnt ๐‘) โˆˆ โ„• โ†” 2 โˆฅ ๐‘))
72, 6mpbird 257 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (2 pCnt ๐‘) โˆˆ โ„•)
87nnzd 12534 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (2 pCnt ๐‘) โˆˆ โ„ค)
98peano2zd 12618 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ ((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆˆ โ„ค)
10 pcdvds 16744 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) โˆฅ ๐‘)
113, 4, 10sylancr 588 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) โˆฅ ๐‘)
12 2nn 12234 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„•
137nnnn0d 12481 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (2 pCnt ๐‘) โˆˆ โ„•0)
14 nnexpcl 13989 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„• โˆง (2 pCnt ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) โˆˆ โ„•)
1512, 13, 14sylancr 588 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) โˆˆ โ„•)
16 nndivdvds 16153 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))) โˆˆ โ„•))
174, 15, 16syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ ((2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))) โˆˆ โ„•))
1811, 17mpbid 231 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))) โˆˆ โ„•)
1918nnzd 12534 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))) โˆˆ โ„ค)
20 pcndvds2 16748 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))))
213, 4, 20sylancr 588 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))))
22 isodd3 45934 . . . . . . . 8 ((๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))) โˆˆ Odd โ†” ((๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))) โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘)))))
2319, 21, 22sylanbrc 584 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))) โˆˆ Odd )
24 simpr 486 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘))
25 nncn 12169 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2625ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2715nncnd 12177 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
2815nnne0d 12211 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) โ‰  0)
2926, 27, 28divcan2d 11941 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ ((2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) ยท (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘)))) = ๐‘)
3029oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (1 ฯƒ ((2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) ยท (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))))) = (1 ฯƒ ๐‘))
3129oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (2 ยท ((2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) ยท (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))))) = (2 ยท ๐‘))
3224, 30, 313eqtr4d 2783 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (1 ฯƒ ((2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) ยท (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))))) = (2 ยท ((2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) ยท (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))))))
337, 18, 23, 32perfectALTVlem2 46004 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ ((๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))) โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))) = ((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1)))
3433simprd 497 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))) = ((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1))
3533simpld 496 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))) โˆˆ โ„™)
3634, 35eqeltrrd 2835 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ ((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™)
377nncnd 12177 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (2 pCnt ๐‘) โˆˆ โ„‚)
38 ax-1cn 11117 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
39 pncan 11415 . . . . . . . . 9 (((2 pCnt ๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆ’ 1) = (2 pCnt ๐‘))
4037, 38, 39sylancl 587 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆ’ 1) = (2 pCnt ๐‘))
4140eqcomd 2739 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (2 pCnt ๐‘) = (((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆ’ 1))
4241oveq2d 7377 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) = (2โ†‘(((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆ’ 1)))
4342, 34oveq12d 7379 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ ((2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) ยท (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘)))) = ((2โ†‘(((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1)))
4429, 43eqtr3d 2775 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ ๐‘ = ((2โ†‘(((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1)))
45 oveq2 7369 . . . . . . . 8 (๐‘ = ((2 pCnt ๐‘) + 1) โ†’ (2โ†‘๐‘) = (2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)))
4645oveq1d 7376 . . . . . . 7 (๐‘ = ((2 pCnt ๐‘) + 1) โ†’ ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = ((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1))
4746eleq1d 2819 . . . . . 6 (๐‘ = ((2 pCnt ๐‘) + 1) โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โ†” ((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™))
48 oveq1 7368 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ((2 pCnt ๐‘) + 1) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) = (((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆ’ 1))
4948oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (๐‘ = ((2 pCnt ๐‘) + 1) โ†’ (2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) = (2โ†‘(((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆ’ 1)))
5049, 46oveq12d 7379 . . . . . . 7 (๐‘ = ((2 pCnt ๐‘) + 1) โ†’ ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)) = ((2โ†‘(((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1)))
5150eqeq2d 2744 . . . . . 6 (๐‘ = ((2 pCnt ๐‘) + 1) โ†’ (๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)) โ†” ๐‘ = ((2โ†‘(((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1))))
5247, 51anbi12d 632 . . . . 5 (๐‘ = ((2 pCnt ๐‘) + 1) โ†’ ((((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))) โ†” (((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ = ((2โ†‘(((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1)))))
5352rspcev 3583 . . . 4 ((((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆˆ โ„ค โˆง (((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ = ((2โ†‘(((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1)))) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))))
549, 36, 44, 53syl12anc 836 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))))
5554ex 414 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โ†’ ((1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)))))
56 perfect1 26599 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (1 ฯƒ ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))) = ((2โ†‘๐‘) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)))
57 2cn 12236 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
58 mersenne 26598 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
59 prmnn 16558 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
61 expm1t 14005 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘๐‘) = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท 2))
6257, 60, 61sylancr 588 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (2โ†‘๐‘) = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท 2))
63 nnm1nn0 12462 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
6460, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
65 expcl 13994 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
6657, 64, 65sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
67 mulcom 11145 . . . . . . . . 9 (((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท 2) = (2 ยท (2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
6866, 57, 67sylancl 587 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท 2) = (2 ยท (2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
6962, 68eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (2โ†‘๐‘) = (2 ยท (2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
7069oveq1d 7376 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ((2โ†‘๐‘) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)) = ((2 ยท (2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)))
71 2cnd 12239 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
72 prmnn 16558 . . . . . . . . 9 (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โ†’ ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
7372adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
7473nncnd 12177 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
7571, 66, 74mulassd 11186 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ((2 ยท (2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)) = (2 ยท ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))))
7656, 70, 753eqtrd 2777 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (1 ฯƒ ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))) = (2 ยท ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))))
77 oveq2 7369 . . . . . 6 (๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)) โ†’ (1 ฯƒ ๐‘) = (1 ฯƒ ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))))
78 oveq2 7369 . . . . . 6 (๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)) โ†’ (2 ยท ๐‘) = (2 ยท ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))))
7977, 78eqeq12d 2749 . . . . 5 (๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)) โ†’ ((1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘) โ†” (1 ฯƒ ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))) = (2 ยท ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)))))
8076, 79syl5ibrcom 247 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)) โ†’ (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)))
8180impr 456 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)))) โ†’ (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘))
8281rexlimiva 3141 . 2 (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))) โ†’ (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘))
8355, 82impbid1 224 1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โ†’ ((1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3070   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064   โˆ’ cmin 11393   / cdiv 11820  โ„•cn 12161  2c2 12216  โ„•0cn0 12421  โ„คcz 12507  โ†‘cexp 13976   โˆฅ cdvds 16144  โ„™cprime 16555   pCnt cpc 16716   ฯƒ csgm 26468   Even ceven 45906   Odd codd 45907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-shft 14961  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-limsup 15362  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-ef 15958  df-sin 15960  df-cos 15961  df-pi 15963  df-dvds 16145  df-gcd 16383  df-prm 16556  df-pc 16717  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-lp 22510  df-perf 22511  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cncf 24264  df-limc 25253  df-dv 25254  df-log 25935  df-cxp 25936  df-sgm 26474  df-even 45908  df-odd 45909
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator