Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  perfectALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem perfectALTV 46968
Description: The Euclid-Euler theorem, or Perfect Number theorem. A positive even integer ๐‘ is a perfect number (that is, its divisor sum is 2๐‘) if and only if it is of the form 2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1) ยท (2โ†‘๐‘ โˆ’ 1), where 2โ†‘๐‘ โˆ’ 1 is prime (a Mersenne prime). (It follows from this that ๐‘ is also prime.) This is Metamath 100 proof #70. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.) (Revised by AV, 1-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
perfectALTV ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โ†’ ((1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)))))
Distinct variable group:   ๐‘,๐‘

Proof of Theorem perfectALTV
StepHypRef Expression
1 2dvdseven 46898 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ Even โ†’ 2 โˆฅ ๐‘)
21ad2antlr 724 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ 2 โˆฅ ๐‘)
3 2prm 16636 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„™
4 simpll 764 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
5 pcelnn 16812 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((2 pCnt ๐‘) โˆˆ โ„• โ†” 2 โˆฅ ๐‘))
63, 4, 5sylancr 586 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ ((2 pCnt ๐‘) โˆˆ โ„• โ†” 2 โˆฅ ๐‘))
72, 6mpbird 257 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (2 pCnt ๐‘) โˆˆ โ„•)
87nnzd 12589 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (2 pCnt ๐‘) โˆˆ โ„ค)
98peano2zd 12673 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ ((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆˆ โ„ค)
10 pcdvds 16806 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) โˆฅ ๐‘)
113, 4, 10sylancr 586 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) โˆฅ ๐‘)
12 2nn 12289 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„•
137nnnn0d 12536 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (2 pCnt ๐‘) โˆˆ โ„•0)
14 nnexpcl 14045 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„• โˆง (2 pCnt ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) โˆˆ โ„•)
1512, 13, 14sylancr 586 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) โˆˆ โ„•)
16 nndivdvds 16213 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))) โˆˆ โ„•))
174, 15, 16syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ ((2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))) โˆˆ โ„•))
1811, 17mpbid 231 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))) โˆˆ โ„•)
1918nnzd 12589 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))) โˆˆ โ„ค)
20 pcndvds2 16810 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))))
213, 4, 20sylancr 586 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))))
22 isodd3 46897 . . . . . . . 8 ((๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))) โˆˆ Odd โ†” ((๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))) โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘)))))
2319, 21, 22sylanbrc 582 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))) โˆˆ Odd )
24 simpr 484 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘))
25 nncn 12224 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2625ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2715nncnd 12232 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
2815nnne0d 12266 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) โ‰  0)
2926, 27, 28divcan2d 11996 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ ((2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) ยท (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘)))) = ๐‘)
3029oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (1 ฯƒ ((2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) ยท (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))))) = (1 ฯƒ ๐‘))
3129oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (2 ยท ((2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) ยท (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))))) = (2 ยท ๐‘))
3224, 30, 313eqtr4d 2776 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (1 ฯƒ ((2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) ยท (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))))) = (2 ยท ((2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) ยท (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))))))
337, 18, 23, 32perfectALTVlem2 46967 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ ((๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))) โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))) = ((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1)))
3433simprd 495 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))) = ((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1))
3533simpld 494 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))) โˆˆ โ„™)
3634, 35eqeltrrd 2828 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ ((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™)
377nncnd 12232 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (2 pCnt ๐‘) โˆˆ โ„‚)
38 ax-1cn 11170 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
39 pncan 11470 . . . . . . . . 9 (((2 pCnt ๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆ’ 1) = (2 pCnt ๐‘))
4037, 38, 39sylancl 585 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆ’ 1) = (2 pCnt ๐‘))
4140eqcomd 2732 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (2 pCnt ๐‘) = (((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆ’ 1))
4241oveq2d 7421 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) = (2โ†‘(((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆ’ 1)))
4342, 34oveq12d 7423 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ ((2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) ยท (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘)))) = ((2โ†‘(((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1)))
4429, 43eqtr3d 2768 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ ๐‘ = ((2โ†‘(((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1)))
45 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (๐‘ = ((2 pCnt ๐‘) + 1) โ†’ (2โ†‘๐‘) = (2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)))
4645oveq1d 7420 . . . . . . 7 (๐‘ = ((2 pCnt ๐‘) + 1) โ†’ ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = ((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1))
4746eleq1d 2812 . . . . . 6 (๐‘ = ((2 pCnt ๐‘) + 1) โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โ†” ((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™))
48 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ((2 pCnt ๐‘) + 1) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) = (((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆ’ 1))
4948oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (๐‘ = ((2 pCnt ๐‘) + 1) โ†’ (2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) = (2โ†‘(((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆ’ 1)))
5049, 46oveq12d 7423 . . . . . . 7 (๐‘ = ((2 pCnt ๐‘) + 1) โ†’ ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)) = ((2โ†‘(((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1)))
5150eqeq2d 2737 . . . . . 6 (๐‘ = ((2 pCnt ๐‘) + 1) โ†’ (๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)) โ†” ๐‘ = ((2โ†‘(((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1))))
5247, 51anbi12d 630 . . . . 5 (๐‘ = ((2 pCnt ๐‘) + 1) โ†’ ((((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))) โ†” (((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ = ((2โ†‘(((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1)))))
5352rspcev 3606 . . . 4 ((((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆˆ โ„ค โˆง (((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ = ((2โ†‘(((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1)))) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))))
549, 36, 44, 53syl12anc 834 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))))
5554ex 412 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โ†’ ((1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)))))
56 perfect1 27116 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (1 ฯƒ ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))) = ((2โ†‘๐‘) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)))
57 2cn 12291 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
58 mersenne 27115 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
59 prmnn 16618 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
61 expm1t 14061 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘๐‘) = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท 2))
6257, 60, 61sylancr 586 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (2โ†‘๐‘) = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท 2))
63 nnm1nn0 12517 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
6460, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
65 expcl 14050 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
6657, 64, 65sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
67 mulcom 11198 . . . . . . . . 9 (((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท 2) = (2 ยท (2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
6866, 57, 67sylancl 585 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท 2) = (2 ยท (2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
6962, 68eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (2โ†‘๐‘) = (2 ยท (2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
7069oveq1d 7420 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ((2โ†‘๐‘) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)) = ((2 ยท (2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)))
71 2cnd 12294 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
72 prmnn 16618 . . . . . . . . 9 (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โ†’ ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
7372adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
7473nncnd 12232 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
7571, 66, 74mulassd 11241 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ((2 ยท (2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)) = (2 ยท ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))))
7656, 70, 753eqtrd 2770 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (1 ฯƒ ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))) = (2 ยท ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))))
77 oveq2 7413 . . . . . 6 (๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)) โ†’ (1 ฯƒ ๐‘) = (1 ฯƒ ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))))
78 oveq2 7413 . . . . . 6 (๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)) โ†’ (2 ยท ๐‘) = (2 ยท ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))))
7977, 78eqeq12d 2742 . . . . 5 (๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)) โ†’ ((1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘) โ†” (1 ฯƒ ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))) = (2 ยท ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)))))
8076, 79syl5ibrcom 246 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)) โ†’ (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)))
8180impr 454 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)))) โ†’ (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘))
8281rexlimiva 3141 . 2 (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))) โ†’ (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘))
8355, 82impbid1 224 1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โ†’ ((1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ†‘cexp 14032   โˆฅ cdvds 16204  โ„™cprime 16615   pCnt cpc 16778   ฯƒ csgm 26983   Even ceven 46869   Odd codd 46870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-pc 16779  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445  df-cxp 26446  df-sgm 26989  df-even 46871  df-odd 46872
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator