Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  perfectALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem perfectALTV 47125
Description: The Euclid-Euler theorem, or Perfect Number theorem. A positive even integer ๐‘ is a perfect number (that is, its divisor sum is 2๐‘) if and only if it is of the form 2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1) ยท (2โ†‘๐‘ โˆ’ 1), where 2โ†‘๐‘ โˆ’ 1 is prime (a Mersenne prime). (It follows from this that ๐‘ is also prime.) This is Metamath 100 proof #70. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.) (Revised by AV, 1-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
perfectALTV ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โ†’ ((1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)))))
Distinct variable group:   ๐‘,๐‘

Proof of Theorem perfectALTV
StepHypRef Expression
1 2dvdseven 47055 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ Even โ†’ 2 โˆฅ ๐‘)
21ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ 2 โˆฅ ๐‘)
3 2prm 16660 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„™
4 simpll 765 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
5 pcelnn 16836 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((2 pCnt ๐‘) โˆˆ โ„• โ†” 2 โˆฅ ๐‘))
63, 4, 5sylancr 585 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ ((2 pCnt ๐‘) โˆˆ โ„• โ†” 2 โˆฅ ๐‘))
72, 6mpbird 256 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (2 pCnt ๐‘) โˆˆ โ„•)
87nnzd 12613 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (2 pCnt ๐‘) โˆˆ โ„ค)
98peano2zd 12697 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ ((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆˆ โ„ค)
10 pcdvds 16830 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) โˆฅ ๐‘)
113, 4, 10sylancr 585 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) โˆฅ ๐‘)
12 2nn 12313 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„•
137nnnn0d 12560 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (2 pCnt ๐‘) โˆˆ โ„•0)
14 nnexpcl 14069 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„• โˆง (2 pCnt ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) โˆˆ โ„•)
1512, 13, 14sylancr 585 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) โˆˆ โ„•)
16 nndivdvds 16237 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))) โˆˆ โ„•))
174, 15, 16syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ ((2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))) โˆˆ โ„•))
1811, 17mpbid 231 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))) โˆˆ โ„•)
1918nnzd 12613 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))) โˆˆ โ„ค)
20 pcndvds2 16834 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))))
213, 4, 20sylancr 585 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))))
22 isodd3 47054 . . . . . . . 8 ((๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))) โˆˆ Odd โ†” ((๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))) โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘)))))
2319, 21, 22sylanbrc 581 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))) โˆˆ Odd )
24 simpr 483 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘))
25 nncn 12248 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2625ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2715nncnd 12256 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
2815nnne0d 12290 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) โ‰  0)
2926, 27, 28divcan2d 12020 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ ((2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) ยท (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘)))) = ๐‘)
3029oveq2d 7431 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (1 ฯƒ ((2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) ยท (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))))) = (1 ฯƒ ๐‘))
3129oveq2d 7431 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (2 ยท ((2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) ยท (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))))) = (2 ยท ๐‘))
3224, 30, 313eqtr4d 2775 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (1 ฯƒ ((2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) ยท (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))))) = (2 ยท ((2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) ยท (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))))))
337, 18, 23, 32perfectALTVlem2 47124 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ ((๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))) โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))) = ((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1)))
3433simprd 494 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))) = ((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1))
3533simpld 493 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘))) โˆˆ โ„™)
3634, 35eqeltrrd 2826 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ ((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™)
377nncnd 12256 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (2 pCnt ๐‘) โˆˆ โ„‚)
38 ax-1cn 11194 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
39 pncan 11494 . . . . . . . . 9 (((2 pCnt ๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆ’ 1) = (2 pCnt ๐‘))
4037, 38, 39sylancl 584 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆ’ 1) = (2 pCnt ๐‘))
4140eqcomd 2731 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (2 pCnt ๐‘) = (((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆ’ 1))
4241oveq2d 7431 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ (2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) = (2โ†‘(((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆ’ 1)))
4342, 34oveq12d 7433 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ ((2โ†‘(2 pCnt ๐‘)) ยท (๐‘ / (2โ†‘(2 pCnt ๐‘)))) = ((2โ†‘(((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1)))
4429, 43eqtr3d 2767 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ ๐‘ = ((2โ†‘(((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1)))
45 oveq2 7423 . . . . . . . 8 (๐‘ = ((2 pCnt ๐‘) + 1) โ†’ (2โ†‘๐‘) = (2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)))
4645oveq1d 7430 . . . . . . 7 (๐‘ = ((2 pCnt ๐‘) + 1) โ†’ ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = ((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1))
4746eleq1d 2810 . . . . . 6 (๐‘ = ((2 pCnt ๐‘) + 1) โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โ†” ((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™))
48 oveq1 7422 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ((2 pCnt ๐‘) + 1) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) = (((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆ’ 1))
4948oveq2d 7431 . . . . . . . 8 (๐‘ = ((2 pCnt ๐‘) + 1) โ†’ (2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) = (2โ†‘(((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆ’ 1)))
5049, 46oveq12d 7433 . . . . . . 7 (๐‘ = ((2 pCnt ๐‘) + 1) โ†’ ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)) = ((2โ†‘(((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1)))
5150eqeq2d 2736 . . . . . 6 (๐‘ = ((2 pCnt ๐‘) + 1) โ†’ (๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)) โ†” ๐‘ = ((2โ†‘(((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1))))
5247, 51anbi12d 630 . . . . 5 (๐‘ = ((2 pCnt ๐‘) + 1) โ†’ ((((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))) โ†” (((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ = ((2โ†‘(((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1)))))
5352rspcev 3602 . . . 4 ((((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆˆ โ„ค โˆง (((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ = ((2โ†‘(((2 pCnt ๐‘) + 1) โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘((2 pCnt ๐‘) + 1)) โˆ’ 1)))) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))))
549, 36, 44, 53syl12anc 835 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))))
5554ex 411 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โ†’ ((1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)))))
56 perfect1 27177 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (1 ฯƒ ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))) = ((2โ†‘๐‘) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)))
57 2cn 12315 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
58 mersenne 27176 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
59 prmnn 16642 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
61 expm1t 14085 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘๐‘) = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท 2))
6257, 60, 61sylancr 585 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (2โ†‘๐‘) = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท 2))
63 nnm1nn0 12541 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
6460, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
65 expcl 14074 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
6657, 64, 65sylancr 585 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
67 mulcom 11222 . . . . . . . . 9 (((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท 2) = (2 ยท (2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
6866, 57, 67sylancl 584 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท 2) = (2 ยท (2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
6962, 68eqtrd 2765 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (2โ†‘๐‘) = (2 ยท (2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
7069oveq1d 7430 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ((2โ†‘๐‘) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)) = ((2 ยท (2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)))
71 2cnd 12318 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
72 prmnn 16642 . . . . . . . . 9 (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โ†’ ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
7372adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
7473nncnd 12256 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
7571, 66, 74mulassd 11265 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ((2 ยท (2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)) = (2 ยท ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))))
7656, 70, 753eqtrd 2769 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (1 ฯƒ ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))) = (2 ยท ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))))
77 oveq2 7423 . . . . . 6 (๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)) โ†’ (1 ฯƒ ๐‘) = (1 ฯƒ ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))))
78 oveq2 7423 . . . . . 6 (๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)) โ†’ (2 ยท ๐‘) = (2 ยท ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))))
7977, 78eqeq12d 2741 . . . . 5 (๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)) โ†’ ((1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘) โ†” (1 ฯƒ ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))) = (2 ยท ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)))))
8076, 79syl5ibrcom 246 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)) โ†’ (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘)))
8180impr 453 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)))) โ†’ (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘))
8281rexlimiva 3137 . 2 (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))) โ†’ (1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘))
8355, 82impbid1 224 1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โ†’ ((1 ฯƒ ๐‘) = (2 ยท ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3060   class class class wbr 5143  (class class class)co 7415  โ„‚cc 11134  1c1 11137   + caddc 11139   ยท cmul 11141   โˆ’ cmin 11472   / cdiv 11899  โ„•cn 12240  2c2 12295  โ„•0cn0 12500  โ„คcz 12586  โ†‘cexp 14056   โˆฅ cdvds 16228  โ„™cprime 16639   pCnt cpc 16802   ฯƒ csgm 27044   Even ceven 47026   Odd codd 47027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ioc 13359  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-fac 14263  df-bc 14292  df-hash 14320  df-shft 15044  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-limsup 15445  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-ef 16041  df-sin 16043  df-cos 16044  df-pi 16046  df-dvds 16229  df-gcd 16467  df-prm 16640  df-pc 16803  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-mulg 19026  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cncf 24814  df-limc 25811  df-dv 25812  df-log 26506  df-cxp 26507  df-sgm 27050  df-even 47028  df-odd 47029
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator