Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprod0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprod0 43844
Description: A finite product with a zero term is zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprod0.kph โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
fprod0.kc โ„ฒ๐‘˜๐ถ
fprod0.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
fprod0.b ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
fprod0.bc (๐‘˜ = ๐พ โ†’ ๐ต = ๐ถ)
fprod0.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ ๐ด)
fprod0.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ = 0)
Assertion
Ref Expression
fprod0 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = 0)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐‘˜,๐พ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)   ๐ถ(๐‘˜)

Proof of Theorem fprod0
StepHypRef Expression
1 fprod0.kph . . 3 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
2 fprod0.kc . . . 4 โ„ฒ๐‘˜๐ถ
32a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โ„ฒ๐‘˜๐ถ)
4 fprod0.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
5 fprod0.b . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
6 fprod0.k . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ ๐ด)
7 fprod0.bc . . . 4 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ ๐ต = ๐ถ)
87adantl 483 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐พ) โ†’ ๐ต = ๐ถ)
91, 3, 4, 5, 6, 8fprodsplit1f 15874 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = (๐ถ ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐พ})๐ต))
10 fprod0.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ = 0)
1110oveq1d 7373 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐พ})๐ต) = (0 ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐พ})๐ต))
12 diffi 9124 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (๐ด โˆ– {๐พ}) โˆˆ Fin)
134, 12syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ– {๐พ}) โˆˆ Fin)
14 simpl 484 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐พ})) โ†’ ๐œ‘)
15 eldifi 4087 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐พ}) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด)
1615adantl 483 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐พ})) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด)
1714, 16, 5syl2anc 585 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐พ})) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
181, 13, 17fprodclf 15876 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐พ})๐ต โˆˆ โ„‚)
1918mul02d 11354 . 2 (๐œ‘ โ†’ (0 ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐พ})๐ต) = 0)
209, 11, 193eqtrd 2781 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542  โ„ฒwnf 1786   โˆˆ wcel 2107  โ„ฒwnfc 2888   โˆ– cdif 3908  {csn 4587  (class class class)co 7358  Fincfn 8884  โ„‚cc 11050  0cc0 11052   ยท cmul 11057  โˆcprod 15789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-oi 9447  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-prod 15790
This theorem is referenced by:  etransclem32  44514  ovn0lem  44813  hoidmvval0  44835
  Copyright terms: Public domain W3C validator