Theorem fprod0 45636

Description: A finite product with a zero term is zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprod0.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprod0.kc	⊢ Ⅎ𝑘𝐶
fprod0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprod0.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprod0.bc	⊢ (𝑘 = 𝐾 → 𝐵 = 𝐶)
fprod0.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐴)
fprod0.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 0)

Assertion

Ref	Expression
fprod0	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprod0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprod0.kph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		fprod0.kc	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐶)
4		fprod0.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fprod0.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		fprod0.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐴)
7		fprod0.bc	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → 𝐵 = 𝐶)
8	7	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐾) → 𝐵 = 𝐶)
9	1, 3, 4, 5, 6, 8	fprodsplit1f 15892	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐶 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵))
10		fprod0.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 0)
11	10	oveq1d 7356	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵) = (0 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵))
12		diffi 9079	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
13	4, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
14		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})) → 𝜑)
15		eldifi 4076	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾}) → 𝑘 ∈ 𝐴)
16	15	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})) → 𝑘 ∈ 𝐴)
17	14, 16, 5	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})) → 𝐵 ∈ ℂ)
18	1, 13, 17	fprodclf 15894	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵 ∈ ℂ)
19	18	mul02d 11306	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵) = 0)
20	9, 11, 19	3eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2879   ∖ cdif 3894  {csn 4571  (class class class)co 7341  Fincfn 8864  ℂcc 10999  0cc0 11001   · cmul 11006  ∏cprod 15805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-oi 9391  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-rp 12886  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-seq 13904  df-exp 13964  df-hash 14233  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-clim 15390  df-prod 15806

This theorem is referenced by:  etransclem32  46304  ovn0lem  46603  hoidmvval0  46625