Theorem fprod0 45784

Description: A finite product with a zero term is zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprod0.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprod0.kc	⊢ Ⅎ𝑘𝐶
fprod0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprod0.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprod0.bc	⊢ (𝑘 = 𝐾 → 𝐵 = 𝐶)
fprod0.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐴)
fprod0.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 0)

Assertion

Ref	Expression
fprod0	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprod0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprod0.kph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		fprod0.kc	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐶)
4		fprod0.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fprod0.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		fprod0.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐴)
7		fprod0.bc	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → 𝐵 = 𝐶)
8	7	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐾) → 𝐵 = 𝐶)
9	1, 3, 4, 5, 6, 8	fprodsplit1f 15911	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐶 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵))
10		fprod0.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 0)
11	10	oveq1d 7371	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵) = (0 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵))
12		diffi 9097	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
13	4, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
14		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})) → 𝜑)
15		eldifi 4081	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾}) → 𝑘 ∈ 𝐴)
16	15	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})) → 𝑘 ∈ 𝐴)
17	14, 16, 5	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})) → 𝐵 ∈ ℂ)
18	1, 13, 17	fprodclf 15913	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵 ∈ ℂ)
19	18	mul02d 11329	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵) = 0)
20	9, 11, 19	3eqtrd 2773	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2113  Ⅎwnfc 2881   ∖ cdif 3896  {csn 4578  (class class class)co 7356  Fincfn 8881  ℂcc 11022  0cc0 11024   · cmul 11029  ∏cprod 15824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-clim 15409  df-prod 15825

This theorem is referenced by:  etransclem32  46452  ovn0lem  46751  hoidmvval0  46773