Theorem fprod0 44299

Description: A finite product with a zero term is zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprod0.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprod0.kc	⊢ Ⅎ𝑘𝐶
fprod0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprod0.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprod0.bc	⊢ (𝑘 = 𝐾 → 𝐵 = 𝐶)
fprod0.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐴)
fprod0.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 0)

Assertion

Ref	Expression
fprod0	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprod0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprod0.kph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		fprod0.kc	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐶)
4		fprod0.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fprod0.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		fprod0.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐴)
7		fprod0.bc	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → 𝐵 = 𝐶)
8	7	adantl 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐾) → 𝐵 = 𝐶)
9	1, 3, 4, 5, 6, 8	fprodsplit1f 15931	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐶 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵))
10		fprod0.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 0)
11	10	oveq1d 7421	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵) = (0 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵))
12		diffi 9176	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
13	4, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
14		simpl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})) → 𝜑)
15		eldifi 4126	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾}) → 𝑘 ∈ 𝐴)
16	15	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})) → 𝑘 ∈ 𝐴)
17	14, 16, 5	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})) → 𝐵 ∈ ℂ)
18	1, 13, 17	fprodclf 15933	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵 ∈ ℂ)
19	18	mul02d 11409	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵) = 0)
20	9, 11, 19	3eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2107  Ⅎwnfc 2884   ∖ cdif 3945  {csn 4628  (class class class)co 7406  Fincfn 8936  ℂcc 11105  0cc0 11107   · cmul 11112  ∏cprod 15846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-prod 15847

This theorem is referenced by:  etransclem32  44969  ovn0lem  45268  hoidmvval0  45290