Theorem fprodclf 15209

Description: Closure of a finite product of complex numbers. A version of fprodcl 15169 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodclf.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodclf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodclf.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fprodclf	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodclf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodclf.kph	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		ssidd 3882	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
3		mulcl 10421	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
4	3	adantl 474	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
5		fprodclf.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		fprodclf.b	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
7		1cnd 10436	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
8	1, 2, 4, 5, 6, 7	fprodcllemf 15175	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387  Ⅎwnf 1746   ∈ wcel 2050  (class class class)co 6978  Fincfn 8308  ℂcc 10335   · cmul 10342  ∏cprod 15122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-inf2 8900  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-se 5368  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-isom 6199  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-oadd 7911  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-sup 8703  df-oi 8771  df-card 9164  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062  df-rp 12208  df-fz 12712  df-fzo 12853  df-seq 13188  df-exp 13248  df-hash 13509  df-cj 14322  df-re 14323  df-im 14324  df-sqrt 14458  df-abs 14459  df-clim 14709  df-prod 15123

This theorem is referenced by:  fprodeq0g  15211  fprodle  15213  fprodexp  41307  fprodabs2  41308  fprod0  41309  mccllem  41310  fprodsubrecnncnvlem  41622  fprodaddrecnncnvlem  41624  dvmptfprodlem  41660  dvnprodlem2  41663