![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > fprodn0f | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A finite product of nonzero terms is nonzero. A version of fprodn0 15867 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
fprodn0f.kph | โข โฒ๐๐ |
fprodn0f.a | โข (๐ โ ๐ด โ Fin) |
fprodn0f.b | โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) |
fprodn0f.bne0 | โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ 0) |
Ref | Expression |
---|---|
fprodn0f | โข (๐ โ โ๐ โ ๐ด ๐ต โ 0) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | fprodn0f.kph | . . 3 โข โฒ๐๐ | |
2 | difssd 4093 | . . 3 โข (๐ โ (โ โ {0}) โ โ) | |
3 | eldifi 4087 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ โ (โ โ {0}) โ ๐ฅ โ โ) | |
4 | 3 | adantr 482 | . . . . . 6 โข ((๐ฅ โ (โ โ {0}) โง ๐ฆ โ (โ โ {0})) โ ๐ฅ โ โ) |
5 | eldifi 4087 | . . . . . . 7 โข (๐ฆ โ (โ โ {0}) โ ๐ฆ โ โ) | |
6 | 5 | adantl 483 | . . . . . 6 โข ((๐ฅ โ (โ โ {0}) โง ๐ฆ โ (โ โ {0})) โ ๐ฆ โ โ) |
7 | 4, 6 | mulcld 11180 | . . . . 5 โข ((๐ฅ โ (โ โ {0}) โง ๐ฆ โ (โ โ {0})) โ (๐ฅ ยท ๐ฆ) โ โ) |
8 | eldifsni 4751 | . . . . . . . . 9 โข (๐ฅ โ (โ โ {0}) โ ๐ฅ โ 0) | |
9 | 8 | adantr 482 | . . . . . . . 8 โข ((๐ฅ โ (โ โ {0}) โง ๐ฆ โ (โ โ {0})) โ ๐ฅ โ 0) |
10 | eldifsni 4751 | . . . . . . . . 9 โข (๐ฆ โ (โ โ {0}) โ ๐ฆ โ 0) | |
11 | 10 | adantl 483 | . . . . . . . 8 โข ((๐ฅ โ (โ โ {0}) โง ๐ฆ โ (โ โ {0})) โ ๐ฆ โ 0) |
12 | 4, 6, 9, 11 | mulne0d 11812 | . . . . . . 7 โข ((๐ฅ โ (โ โ {0}) โง ๐ฆ โ (โ โ {0})) โ (๐ฅ ยท ๐ฆ) โ 0) |
13 | 12 | neneqd 2945 | . . . . . 6 โข ((๐ฅ โ (โ โ {0}) โง ๐ฆ โ (โ โ {0})) โ ยฌ (๐ฅ ยท ๐ฆ) = 0) |
14 | ovex 7391 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ ยท ๐ฆ) โ V | |
15 | 14 | elsn 4602 | . . . . . 6 โข ((๐ฅ ยท ๐ฆ) โ {0} โ (๐ฅ ยท ๐ฆ) = 0) |
16 | 13, 15 | sylnibr 329 | . . . . 5 โข ((๐ฅ โ (โ โ {0}) โง ๐ฆ โ (โ โ {0})) โ ยฌ (๐ฅ ยท ๐ฆ) โ {0}) |
17 | 7, 16 | eldifd 3922 | . . . 4 โข ((๐ฅ โ (โ โ {0}) โง ๐ฆ โ (โ โ {0})) โ (๐ฅ ยท ๐ฆ) โ (โ โ {0})) |
18 | 17 | adantl 483 | . . 3 โข ((๐ โง (๐ฅ โ (โ โ {0}) โง ๐ฆ โ (โ โ {0}))) โ (๐ฅ ยท ๐ฆ) โ (โ โ {0})) |
19 | fprodn0f.a | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ Fin) | |
20 | fprodn0f.b | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) | |
21 | fprodn0f.bne0 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ 0) | |
22 | 21 | neneqd 2945 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ยฌ ๐ต = 0) |
23 | elsng 4601 | . . . . . 6 โข (๐ต โ โ โ (๐ต โ {0} โ ๐ต = 0)) | |
24 | 20, 23 | syl 17 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ (๐ต โ {0} โ ๐ต = 0)) |
25 | 22, 24 | mtbird 325 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ยฌ ๐ต โ {0}) |
26 | 20, 25 | eldifd 3922 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ (โ โ {0})) |
27 | ax-1cn 11114 | . . . . 5 โข 1 โ โ | |
28 | ax-1ne0 11125 | . . . . . 6 โข 1 โ 0 | |
29 | 1ex 11156 | . . . . . . 7 โข 1 โ V | |
30 | 29 | elsn 4602 | . . . . . 6 โข (1 โ {0} โ 1 = 0) |
31 | 28, 30 | nemtbir 3037 | . . . . 5 โข ยฌ 1 โ {0} |
32 | eldif 3921 | . . . . 5 โข (1 โ (โ โ {0}) โ (1 โ โ โง ยฌ 1 โ {0})) | |
33 | 27, 31, 32 | mpbir2an 710 | . . . 4 โข 1 โ (โ โ {0}) |
34 | 33 | a1i 11 | . . 3 โข (๐ โ 1 โ (โ โ {0})) |
35 | 1, 2, 18, 19, 26, 34 | fprodcllemf 15846 | . 2 โข (๐ โ โ๐ โ ๐ด ๐ต โ (โ โ {0})) |
36 | eldifsni 4751 | . 2 โข (โ๐ โ ๐ด ๐ต โ (โ โ {0}) โ โ๐ โ ๐ด ๐ต โ 0) | |
37 | 35, 36 | syl 17 | 1 โข (๐ โ โ๐ โ ๐ด ๐ต โ 0) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 = wceq 1542 โฒwnf 1786 โ wcel 2107 โ wne 2940 โ cdif 3908 {csn 4587 (class class class)co 7358 Fincfn 8886 โcc 11054 0cc0 11056 1c1 11057 ยท cmul 11061 โcprod 15793 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5243 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-inf2 9582 ax-cnex 11112 ax-resscn 11113 ax-1cn 11114 ax-icn 11115 ax-addcl 11116 ax-addrcl 11117 ax-mulcl 11118 ax-mulrcl 11119 ax-mulcom 11120 ax-addass 11121 ax-mulass 11122 ax-distr 11123 ax-i2m1 11124 ax-1ne0 11125 ax-1rid 11126 ax-rnegex 11127 ax-rrecex 11128 ax-cnre 11129 ax-pre-lttri 11130 ax-pre-lttrn 11131 ax-pre-ltadd 11132 ax-pre-mulgt0 11133 ax-pre-sup 11134 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3930 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-int 4909 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-tr 5224 df-id 5532 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5589 df-se 5590 df-we 5591 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6254 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-isom 6506 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7804 df-1st 7922 df-2nd 7923 df-frecs 8213 df-wrecs 8244 df-recs 8318 df-rdg 8357 df-1o 8413 df-er 8651 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-fin 8890 df-sup 9383 df-oi 9451 df-card 9880 df-pnf 11196 df-mnf 11197 df-xr 11198 df-ltxr 11199 df-le 11200 df-sub 11392 df-neg 11393 df-div 11818 df-nn 12159 df-2 12221 df-3 12222 df-n0 12419 df-z 12505 df-uz 12769 df-rp 12921 df-fz 13431 df-fzo 13574 df-seq 13913 df-exp 13974 df-hash 14237 df-cj 14990 df-re 14991 df-im 14992 df-sqrt 15126 df-abs 15127 df-clim 15376 df-prod 15794 |
This theorem is referenced by: fprodle 15884 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |