MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodn0f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodn0f 15004
Description: A finite product of nonzero terms is nonzero. A version of fprodn0 14992 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodn0f.kph 𝑘𝜑
fprodn0f.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodn0f.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodn0f.bne0 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
fprodn0f (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodn0f
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodn0f.kph . . 3 𝑘𝜑
2 difssd 3900 . . 3 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
3 eldifi 3894 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℂ)
43adantr 472 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℂ)
5 eldifi 3894 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℂ)
65adantl 473 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℂ)
74, 6mulcld 10314 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
8 eldifsni 4476 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
98adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ≠ 0)
10 eldifsni 4476 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
1110adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ≠ 0)
124, 6, 9, 11mulne0d 10933 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
1312neneqd 2942 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ¬ (𝑥 · 𝑦) = 0)
14 ovex 6874 . . . . . . 7 (𝑥 · 𝑦) ∈ V
1514elsn 4349 . . . . . 6 ((𝑥 · 𝑦) ∈ {0} ↔ (𝑥 · 𝑦) = 0)
1613, 15sylnibr 320 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ¬ (𝑥 · 𝑦) ∈ {0})
177, 16eldifd 3743 . . . 4 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
1817adantl 473 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
19 fprodn0f.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
20 fprodn0f.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
21 fprodn0f.bne0 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
2221neneqd 2942 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 𝐵 = 0)
23 elsng 4348 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ {0} ↔ 𝐵 = 0))
2420, 23syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 ∈ {0} ↔ 𝐵 = 0))
2522, 24mtbird 316 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 𝐵 ∈ {0})
2620, 25eldifd 3743 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
27 ax-1cn 10247 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
28 0ne1 11343 . . . . . . . . 9 0 ≠ 1
2928necomi 2991 . . . . . . . 8 1 ≠ 0
30 neneq 2943 . . . . . . . 8 (1 ≠ 0 → ¬ 1 = 0)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . 7 ¬ 1 = 0
32 1ex 10289 . . . . . . . 8 1 ∈ V
3332elsn 4349 . . . . . . 7 (1 ∈ {0} ↔ 1 = 0)
3431, 33mtbir 314 . . . . . 6 ¬ 1 ∈ {0}
3527, 34pm3.2i 462 . . . . 5 (1 ∈ ℂ ∧ ¬ 1 ∈ {0})
36 eldif 3742 . . . . 5 (1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ ¬ 1 ∈ {0}))
3735, 36mpbir 222 . . . 4 1 ∈ (ℂ ∖ {0})
3837a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ (ℂ ∖ {0}))
391, 2, 18, 19, 26, 38fprodcllemf 14971 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
40 eldifsni 4476 . 2 (∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
4139, 40syl 17 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wnf 1878  wcel 2155  wne 2937  cdif 3729  {csn 4334  (class class class)co 6842  Fincfn 8160  cc 10187  0cc0 10189  1c1 10190   · cmul 10194  cprod 14918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-clim 14504  df-prod 14919
This theorem is referenced by:  fprodle  15009
  Copyright terms: Public domain W3C validator