MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodn0f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodn0f 15977
Description: A finite product of nonzero terms is nonzero. A version of fprodn0 15965 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodn0f.kph โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
fprodn0f.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
fprodn0f.b ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
fprodn0f.bne0 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โ‰  0)
Assertion
Ref Expression
fprodn0f (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0)
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)

Proof of Theorem fprodn0f
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodn0f.kph . . 3 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
2 difssd 4133 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ„‚ โˆ– {0}) โІ โ„‚)
3 eldifi 4127 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
43adantr 479 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
5 eldifi 4127 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
65adantl 480 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
74, 6mulcld 11274 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
8 eldifsni 4798 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
98adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
10 eldifsni 4798 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0)
1110adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0)
124, 6, 9, 11mulne0d 11906 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ‰  0)
1312neneqd 2942 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ยฌ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 0)
14 ovex 7459 . . . . . . 7 (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ V
1514elsn 4647 . . . . . 6 ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {0} โ†” (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 0)
1613, 15sylnibr 328 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ยฌ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {0})
177, 16eldifd 3960 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))
1817adantl 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))
19 fprodn0f.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
20 fprodn0f.b . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
21 fprodn0f.bne0 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โ‰  0)
2221neneqd 2942 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ยฌ ๐ต = 0)
23 elsng 4646 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต โˆˆ {0} โ†” ๐ต = 0))
2420, 23syl 17 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต โˆˆ {0} โ†” ๐ต = 0))
2522, 24mtbird 324 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ยฌ ๐ต โˆˆ {0})
2620, 25eldifd 3960 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))
27 ax-1cn 11206 . . . . 5 1 โˆˆ โ„‚
28 ax-1ne0 11217 . . . . . 6 1 โ‰  0
29 1ex 11250 . . . . . . 7 1 โˆˆ V
3029elsn 4647 . . . . . 6 (1 โˆˆ {0} โ†” 1 = 0)
3128, 30nemtbir 3035 . . . . 5 ยฌ 1 โˆˆ {0}
32 eldif 3959 . . . . 5 (1 โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†” (1 โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ 1 โˆˆ {0}))
3327, 31, 32mpbir2an 709 . . . 4 1 โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})
3433a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))
351, 2, 18, 19, 26, 34fprodcllemf 15944 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))
36 eldifsni 4798 . 2 (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0)
3735, 36syl 17 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533  โ„ฒwnf 1777   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937   โˆ– cdif 3946  {csn 4632  (class class class)co 7426  Fincfn 8972  โ„‚cc 11146  0cc0 11148  1c1 11149   ยท cmul 11153  โˆcprod 15891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-clim 15474  df-prod 15892
This theorem is referenced by:  fprodle  15982
  Copyright terms: Public domain W3C validator