MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodn0f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodn0f 15437
Description: A finite product of nonzero terms is nonzero. A version of fprodn0 15425 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodn0f.kph 𝑘𝜑
fprodn0f.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodn0f.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodn0f.bne0 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
fprodn0f (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodn0f
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodn0f.kph . . 3 𝑘𝜑
2 difssd 4023 . . 3 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
3 eldifi 4017 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℂ)
43adantr 484 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℂ)
5 eldifi 4017 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℂ)
65adantl 485 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℂ)
74, 6mulcld 10739 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
8 eldifsni 4678 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
98adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ≠ 0)
10 eldifsni 4678 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
1110adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ≠ 0)
124, 6, 9, 11mulne0d 11370 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
1312neneqd 2939 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ¬ (𝑥 · 𝑦) = 0)
14 ovex 7203 . . . . . . 7 (𝑥 · 𝑦) ∈ V
1514elsn 4531 . . . . . 6 ((𝑥 · 𝑦) ∈ {0} ↔ (𝑥 · 𝑦) = 0)
1613, 15sylnibr 332 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ¬ (𝑥 · 𝑦) ∈ {0})
177, 16eldifd 3854 . . . 4 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
1817adantl 485 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
19 fprodn0f.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
20 fprodn0f.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
21 fprodn0f.bne0 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
2221neneqd 2939 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 𝐵 = 0)
23 elsng 4530 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ {0} ↔ 𝐵 = 0))
2420, 23syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 ∈ {0} ↔ 𝐵 = 0))
2522, 24mtbird 328 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 𝐵 ∈ {0})
2620, 25eldifd 3854 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
27 ax-1cn 10673 . . . . 5 1 ∈ ℂ
28 ax-1ne0 10684 . . . . . 6 1 ≠ 0
29 1ex 10715 . . . . . . 7 1 ∈ V
3029elsn 4531 . . . . . 6 (1 ∈ {0} ↔ 1 = 0)
3128, 30nemtbir 3029 . . . . 5 ¬ 1 ∈ {0}
32 eldif 3853 . . . . 5 (1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ ¬ 1 ∈ {0}))
3327, 31, 32mpbir2an 711 . . . 4 1 ∈ (ℂ ∖ {0})
3433a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ (ℂ ∖ {0}))
351, 2, 18, 19, 26, 34fprodcllemf 15404 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
36 eldifsni 4678 . 2 (∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
3735, 36syl 17 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wnf 1790  wcel 2114  wne 2934  cdif 3840  {csn 4516  (class class class)co 7170  Fincfn 8555  cc 10613  0cc0 10615  1c1 10616   · cmul 10620  cprod 15351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-sup 8979  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-rp 12473  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-seq 13461  df-exp 13522  df-hash 13783  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-clim 14935  df-prod 15352
This theorem is referenced by:  fprodle  15442
  Copyright terms: Public domain W3C validator