![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > fprodn0f | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A finite product of nonzero terms is nonzero. A version of fprodn0 15929 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
fprodn0f.kph | โข โฒ๐๐ |
fprodn0f.a | โข (๐ โ ๐ด โ Fin) |
fprodn0f.b | โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) |
fprodn0f.bne0 | โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ 0) |
Ref | Expression |
---|---|
fprodn0f | โข (๐ โ โ๐ โ ๐ด ๐ต โ 0) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | fprodn0f.kph | . . 3 โข โฒ๐๐ | |
2 | difssd 4127 | . . 3 โข (๐ โ (โ โ {0}) โ โ) | |
3 | eldifi 4121 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ โ (โ โ {0}) โ ๐ฅ โ โ) | |
4 | 3 | adantr 480 | . . . . . 6 โข ((๐ฅ โ (โ โ {0}) โง ๐ฆ โ (โ โ {0})) โ ๐ฅ โ โ) |
5 | eldifi 4121 | . . . . . . 7 โข (๐ฆ โ (โ โ {0}) โ ๐ฆ โ โ) | |
6 | 5 | adantl 481 | . . . . . 6 โข ((๐ฅ โ (โ โ {0}) โง ๐ฆ โ (โ โ {0})) โ ๐ฆ โ โ) |
7 | 4, 6 | mulcld 11238 | . . . . 5 โข ((๐ฅ โ (โ โ {0}) โง ๐ฆ โ (โ โ {0})) โ (๐ฅ ยท ๐ฆ) โ โ) |
8 | eldifsni 4788 | . . . . . . . . 9 โข (๐ฅ โ (โ โ {0}) โ ๐ฅ โ 0) | |
9 | 8 | adantr 480 | . . . . . . . 8 โข ((๐ฅ โ (โ โ {0}) โง ๐ฆ โ (โ โ {0})) โ ๐ฅ โ 0) |
10 | eldifsni 4788 | . . . . . . . . 9 โข (๐ฆ โ (โ โ {0}) โ ๐ฆ โ 0) | |
11 | 10 | adantl 481 | . . . . . . . 8 โข ((๐ฅ โ (โ โ {0}) โง ๐ฆ โ (โ โ {0})) โ ๐ฆ โ 0) |
12 | 4, 6, 9, 11 | mulne0d 11870 | . . . . . . 7 โข ((๐ฅ โ (โ โ {0}) โง ๐ฆ โ (โ โ {0})) โ (๐ฅ ยท ๐ฆ) โ 0) |
13 | 12 | neneqd 2939 | . . . . . 6 โข ((๐ฅ โ (โ โ {0}) โง ๐ฆ โ (โ โ {0})) โ ยฌ (๐ฅ ยท ๐ฆ) = 0) |
14 | ovex 7438 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ ยท ๐ฆ) โ V | |
15 | 14 | elsn 4638 | . . . . . 6 โข ((๐ฅ ยท ๐ฆ) โ {0} โ (๐ฅ ยท ๐ฆ) = 0) |
16 | 13, 15 | sylnibr 329 | . . . . 5 โข ((๐ฅ โ (โ โ {0}) โง ๐ฆ โ (โ โ {0})) โ ยฌ (๐ฅ ยท ๐ฆ) โ {0}) |
17 | 7, 16 | eldifd 3954 | . . . 4 โข ((๐ฅ โ (โ โ {0}) โง ๐ฆ โ (โ โ {0})) โ (๐ฅ ยท ๐ฆ) โ (โ โ {0})) |
18 | 17 | adantl 481 | . . 3 โข ((๐ โง (๐ฅ โ (โ โ {0}) โง ๐ฆ โ (โ โ {0}))) โ (๐ฅ ยท ๐ฆ) โ (โ โ {0})) |
19 | fprodn0f.a | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ Fin) | |
20 | fprodn0f.b | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) | |
21 | fprodn0f.bne0 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ 0) | |
22 | 21 | neneqd 2939 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ยฌ ๐ต = 0) |
23 | elsng 4637 | . . . . . 6 โข (๐ต โ โ โ (๐ต โ {0} โ ๐ต = 0)) | |
24 | 20, 23 | syl 17 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ (๐ต โ {0} โ ๐ต = 0)) |
25 | 22, 24 | mtbird 325 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ยฌ ๐ต โ {0}) |
26 | 20, 25 | eldifd 3954 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ (โ โ {0})) |
27 | ax-1cn 11170 | . . . . 5 โข 1 โ โ | |
28 | ax-1ne0 11181 | . . . . . 6 โข 1 โ 0 | |
29 | 1ex 11214 | . . . . . . 7 โข 1 โ V | |
30 | 29 | elsn 4638 | . . . . . 6 โข (1 โ {0} โ 1 = 0) |
31 | 28, 30 | nemtbir 3032 | . . . . 5 โข ยฌ 1 โ {0} |
32 | eldif 3953 | . . . . 5 โข (1 โ (โ โ {0}) โ (1 โ โ โง ยฌ 1 โ {0})) | |
33 | 27, 31, 32 | mpbir2an 708 | . . . 4 โข 1 โ (โ โ {0}) |
34 | 33 | a1i 11 | . . 3 โข (๐ โ 1 โ (โ โ {0})) |
35 | 1, 2, 18, 19, 26, 34 | fprodcllemf 15908 | . 2 โข (๐ โ โ๐ โ ๐ด ๐ต โ (โ โ {0})) |
36 | eldifsni 4788 | . 2 โข (โ๐ โ ๐ด ๐ต โ (โ โ {0}) โ โ๐ โ ๐ด ๐ต โ 0) | |
37 | 35, 36 | syl 17 | 1 โข (๐ โ โ๐ โ ๐ด ๐ต โ 0) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 = wceq 1533 โฒwnf 1777 โ wcel 2098 โ wne 2934 โ cdif 3940 {csn 4623 (class class class)co 7405 Fincfn 8941 โcc 11110 0cc0 11112 1c1 11113 ยท cmul 11117 โcprod 15855 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-inf2 9638 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 ax-pre-sup 11190 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-int 4944 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-se 5625 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-isom 6546 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7853 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-1o 8467 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-sup 9439 df-oi 9507 df-card 9936 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-div 11876 df-nn 12217 df-2 12279 df-3 12280 df-n0 12477 df-z 12563 df-uz 12827 df-rp 12981 df-fz 13491 df-fzo 13634 df-seq 13973 df-exp 14033 df-hash 14296 df-cj 15052 df-re 15053 df-im 15054 df-sqrt 15188 df-abs 15189 df-clim 15438 df-prod 15856 |
This theorem is referenced by: fprodle 15946 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |