Theorem fprodn0f 15900

Description: A finite product of nonzero terms is nonzero. A version of fprodn0 15888 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodn0f.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodn0f.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodn0f.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodn0f.bne0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
fprodn0f	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodn0f

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodn0f.kph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		difssd 4086	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
3		eldifi 4080	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℂ)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℂ)
5		eldifi 4080	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℂ)
6	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℂ)
7	4, 6	mulcld 11139	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
8		eldifsni 4741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ≠ 0)
10		eldifsni 4741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
11	10	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ≠ 0)
12	4, 6, 9, 11	mulne0d 11776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
13	12	neneqd 2934	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ¬ (𝑥 · 𝑦) = 0)
14		ovex 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 · 𝑦) ∈ V
15	14	elsn 4590	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ {0} ↔ (𝑥 · 𝑦) = 0)
16	13, 15	sylnibr 329	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ¬ (𝑥 · 𝑦) ∈ {0})
17	7, 16	eldifd 3909	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
18	17	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
19		fprodn0f.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
20		fprodn0f.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
21		fprodn0f.bne0	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
22	21	neneqd 2934	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵 = 0)
23		elsng 4589	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ {0} ↔ 𝐵 = 0))
24	20, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ {0} ↔ 𝐵 = 0))
25	22, 24	mtbird 325	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵 ∈ {0})
26	20, 25	eldifd 3909	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
27		ax-1cn 11071	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
28		ax-1ne0 11082	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
29		1ex 11115	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
30	29	elsn 4590	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ {0} ↔ 1 = 0)
31	28, 30	nemtbir 3025	. . . . 5 ⊢ ¬ 1 ∈ {0}
32		eldif 3908	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ ¬ 1 ∈ {0}))
33	27, 31, 32	mpbir2an 711	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (ℂ ∖ {0})
34	33	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (ℂ ∖ {0}))
35	1, 2, 18, 19, 26, 34	fprodcllemf 15867	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
36		eldifsni 4741	. 2 ⊢ (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)
37	35, 36	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   ∖ cdif 3895  {csn 4575  (class class class)co 7352  Fincfn 8875  ℂcc 11011  0cc0 11013  1c1 11014   · cmul 11018  ∏cprod 15812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9333  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-rp 12893  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-seq 13911  df-exp 13971  df-hash 14240  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-clim 15397  df-prod 15813

This theorem is referenced by:  fprodle  15905