MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodn0f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodn0f 15941
Description: A finite product of nonzero terms is nonzero. A version of fprodn0 15929 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodn0f.kph โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
fprodn0f.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
fprodn0f.b ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
fprodn0f.bne0 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โ‰  0)
Assertion
Ref Expression
fprodn0f (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0)
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)

Proof of Theorem fprodn0f
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodn0f.kph . . 3 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
2 difssd 4127 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ„‚ โˆ– {0}) โІ โ„‚)
3 eldifi 4121 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
43adantr 480 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
5 eldifi 4121 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
65adantl 481 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
74, 6mulcld 11238 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
8 eldifsni 4788 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
98adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
10 eldifsni 4788 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0)
1110adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0)
124, 6, 9, 11mulne0d 11870 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ‰  0)
1312neneqd 2939 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ยฌ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 0)
14 ovex 7438 . . . . . . 7 (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ V
1514elsn 4638 . . . . . 6 ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {0} โ†” (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 0)
1613, 15sylnibr 329 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ยฌ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {0})
177, 16eldifd 3954 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))
1817adantl 481 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))
19 fprodn0f.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
20 fprodn0f.b . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
21 fprodn0f.bne0 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โ‰  0)
2221neneqd 2939 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ยฌ ๐ต = 0)
23 elsng 4637 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต โˆˆ {0} โ†” ๐ต = 0))
2420, 23syl 17 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต โˆˆ {0} โ†” ๐ต = 0))
2522, 24mtbird 325 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ยฌ ๐ต โˆˆ {0})
2620, 25eldifd 3954 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))
27 ax-1cn 11170 . . . . 5 1 โˆˆ โ„‚
28 ax-1ne0 11181 . . . . . 6 1 โ‰  0
29 1ex 11214 . . . . . . 7 1 โˆˆ V
3029elsn 4638 . . . . . 6 (1 โˆˆ {0} โ†” 1 = 0)
3128, 30nemtbir 3032 . . . . 5 ยฌ 1 โˆˆ {0}
32 eldif 3953 . . . . 5 (1 โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†” (1 โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ 1 โˆˆ {0}))
3327, 31, 32mpbir2an 708 . . . 4 1 โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})
3433a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))
351, 2, 18, 19, 26, 34fprodcllemf 15908 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))
36 eldifsni 4788 . 2 (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0)
3735, 36syl 17 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533  โ„ฒwnf 1777   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   โˆ– cdif 3940  {csn 4623  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117  โˆcprod 15855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-prod 15856
This theorem is referenced by:  fprodle  15946
  Copyright terms: Public domain W3C validator