Theorem fprodn0f 15964

Description: A finite product of nonzero terms is nonzero. A version of fprodn0 15952 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodn0f.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodn0f.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodn0f.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodn0f.bne0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
fprodn0f	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodn0f

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodn0f.kph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		difssd 4103	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
3		eldifi 4097	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℂ)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℂ)
5		eldifi 4097	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℂ)
6	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℂ)
7	4, 6	mulcld 11201	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
8		eldifsni 4757	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ≠ 0)
10		eldifsni 4757	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
11	10	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ≠ 0)
12	4, 6, 9, 11	mulne0d 11837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
13	12	neneqd 2931	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ¬ (𝑥 · 𝑦) = 0)
14		ovex 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 · 𝑦) ∈ V
15	14	elsn 4607	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ {0} ↔ (𝑥 · 𝑦) = 0)
16	13, 15	sylnibr 329	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ¬ (𝑥 · 𝑦) ∈ {0})
17	7, 16	eldifd 3928	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
18	17	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
19		fprodn0f.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
20		fprodn0f.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
21		fprodn0f.bne0	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
22	21	neneqd 2931	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵 = 0)
23		elsng 4606	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ {0} ↔ 𝐵 = 0))
24	20, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ {0} ↔ 𝐵 = 0))
25	22, 24	mtbird 325	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵 ∈ {0})
26	20, 25	eldifd 3928	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
27		ax-1cn 11133	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
28		ax-1ne0 11144	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
29		1ex 11177	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
30	29	elsn 4607	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ {0} ↔ 1 = 0)
31	28, 30	nemtbir 3022	. . . . 5 ⊢ ¬ 1 ∈ {0}
32		eldif 3927	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ ¬ 1 ∈ {0}))
33	27, 31, 32	mpbir2an 711	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (ℂ ∖ {0})
34	33	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (ℂ ∖ {0}))
35	1, 2, 18, 19, 26, 34	fprodcllemf 15931	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
36		eldifsni 4757	. 2 ⊢ (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)
37	35, 36	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∖ cdif 3914  {csn 4592  (class class class)co 7390  Fincfn 8921  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080  ∏cprod 15876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-prod 15877

This theorem is referenced by:  fprodle  15969