![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > fprodn0f | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A finite product of nonzero terms is nonzero. A version of fprodn0 15965 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
fprodn0f.kph | โข โฒ๐๐ |
fprodn0f.a | โข (๐ โ ๐ด โ Fin) |
fprodn0f.b | โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) |
fprodn0f.bne0 | โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ 0) |
Ref | Expression |
---|---|
fprodn0f | โข (๐ โ โ๐ โ ๐ด ๐ต โ 0) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | fprodn0f.kph | . . 3 โข โฒ๐๐ | |
2 | difssd 4133 | . . 3 โข (๐ โ (โ โ {0}) โ โ) | |
3 | eldifi 4127 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ โ (โ โ {0}) โ ๐ฅ โ โ) | |
4 | 3 | adantr 479 | . . . . . 6 โข ((๐ฅ โ (โ โ {0}) โง ๐ฆ โ (โ โ {0})) โ ๐ฅ โ โ) |
5 | eldifi 4127 | . . . . . . 7 โข (๐ฆ โ (โ โ {0}) โ ๐ฆ โ โ) | |
6 | 5 | adantl 480 | . . . . . 6 โข ((๐ฅ โ (โ โ {0}) โง ๐ฆ โ (โ โ {0})) โ ๐ฆ โ โ) |
7 | 4, 6 | mulcld 11274 | . . . . 5 โข ((๐ฅ โ (โ โ {0}) โง ๐ฆ โ (โ โ {0})) โ (๐ฅ ยท ๐ฆ) โ โ) |
8 | eldifsni 4798 | . . . . . . . . 9 โข (๐ฅ โ (โ โ {0}) โ ๐ฅ โ 0) | |
9 | 8 | adantr 479 | . . . . . . . 8 โข ((๐ฅ โ (โ โ {0}) โง ๐ฆ โ (โ โ {0})) โ ๐ฅ โ 0) |
10 | eldifsni 4798 | . . . . . . . . 9 โข (๐ฆ โ (โ โ {0}) โ ๐ฆ โ 0) | |
11 | 10 | adantl 480 | . . . . . . . 8 โข ((๐ฅ โ (โ โ {0}) โง ๐ฆ โ (โ โ {0})) โ ๐ฆ โ 0) |
12 | 4, 6, 9, 11 | mulne0d 11906 | . . . . . . 7 โข ((๐ฅ โ (โ โ {0}) โง ๐ฆ โ (โ โ {0})) โ (๐ฅ ยท ๐ฆ) โ 0) |
13 | 12 | neneqd 2942 | . . . . . 6 โข ((๐ฅ โ (โ โ {0}) โง ๐ฆ โ (โ โ {0})) โ ยฌ (๐ฅ ยท ๐ฆ) = 0) |
14 | ovex 7459 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ ยท ๐ฆ) โ V | |
15 | 14 | elsn 4647 | . . . . . 6 โข ((๐ฅ ยท ๐ฆ) โ {0} โ (๐ฅ ยท ๐ฆ) = 0) |
16 | 13, 15 | sylnibr 328 | . . . . 5 โข ((๐ฅ โ (โ โ {0}) โง ๐ฆ โ (โ โ {0})) โ ยฌ (๐ฅ ยท ๐ฆ) โ {0}) |
17 | 7, 16 | eldifd 3960 | . . . 4 โข ((๐ฅ โ (โ โ {0}) โง ๐ฆ โ (โ โ {0})) โ (๐ฅ ยท ๐ฆ) โ (โ โ {0})) |
18 | 17 | adantl 480 | . . 3 โข ((๐ โง (๐ฅ โ (โ โ {0}) โง ๐ฆ โ (โ โ {0}))) โ (๐ฅ ยท ๐ฆ) โ (โ โ {0})) |
19 | fprodn0f.a | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ Fin) | |
20 | fprodn0f.b | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) | |
21 | fprodn0f.bne0 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ 0) | |
22 | 21 | neneqd 2942 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ยฌ ๐ต = 0) |
23 | elsng 4646 | . . . . . 6 โข (๐ต โ โ โ (๐ต โ {0} โ ๐ต = 0)) | |
24 | 20, 23 | syl 17 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ (๐ต โ {0} โ ๐ต = 0)) |
25 | 22, 24 | mtbird 324 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ยฌ ๐ต โ {0}) |
26 | 20, 25 | eldifd 3960 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ (โ โ {0})) |
27 | ax-1cn 11206 | . . . . 5 โข 1 โ โ | |
28 | ax-1ne0 11217 | . . . . . 6 โข 1 โ 0 | |
29 | 1ex 11250 | . . . . . . 7 โข 1 โ V | |
30 | 29 | elsn 4647 | . . . . . 6 โข (1 โ {0} โ 1 = 0) |
31 | 28, 30 | nemtbir 3035 | . . . . 5 โข ยฌ 1 โ {0} |
32 | eldif 3959 | . . . . 5 โข (1 โ (โ โ {0}) โ (1 โ โ โง ยฌ 1 โ {0})) | |
33 | 27, 31, 32 | mpbir2an 709 | . . . 4 โข 1 โ (โ โ {0}) |
34 | 33 | a1i 11 | . . 3 โข (๐ โ 1 โ (โ โ {0})) |
35 | 1, 2, 18, 19, 26, 34 | fprodcllemf 15944 | . 2 โข (๐ โ โ๐ โ ๐ด ๐ต โ (โ โ {0})) |
36 | eldifsni 4798 | . 2 โข (โ๐ โ ๐ด ๐ต โ (โ โ {0}) โ โ๐ โ ๐ด ๐ต โ 0) | |
37 | 35, 36 | syl 17 | 1 โข (๐ โ โ๐ โ ๐ด ๐ต โ 0) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โ wb 205 โง wa 394 = wceq 1533 โฒwnf 1777 โ wcel 2098 โ wne 2937 โ cdif 3946 {csn 4632 (class class class)co 7426 Fincfn 8972 โcc 11146 0cc0 11148 1c1 11149 ยท cmul 11153 โcprod 15891 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-rep 5289 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7748 ax-inf2 9674 ax-cnex 11204 ax-resscn 11205 ax-1cn 11206 ax-icn 11207 ax-addcl 11208 ax-addrcl 11209 ax-mulcl 11210 ax-mulrcl 11211 ax-mulcom 11212 ax-addass 11213 ax-mulass 11214 ax-distr 11215 ax-i2m1 11216 ax-1ne0 11217 ax-1rid 11218 ax-rnegex 11219 ax-rrecex 11220 ax-cnre 11221 ax-pre-lttri 11222 ax-pre-lttrn 11223 ax-pre-ltadd 11224 ax-pre-mulgt0 11225 ax-pre-sup 11226 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-int 4954 df-iun 5002 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-se 5638 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-lim 6379 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-isom 6562 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-om 7879 df-1st 8001 df-2nd 8002 df-frecs 8295 df-wrecs 8326 df-recs 8400 df-rdg 8439 df-1o 8495 df-er 8733 df-en 8973 df-dom 8974 df-sdom 8975 df-fin 8976 df-sup 9475 df-oi 9543 df-card 9972 df-pnf 11290 df-mnf 11291 df-xr 11292 df-ltxr 11293 df-le 11294 df-sub 11486 df-neg 11487 df-div 11912 df-nn 12253 df-2 12315 df-3 12316 df-n0 12513 df-z 12599 df-uz 12863 df-rp 13017 df-fz 13527 df-fzo 13670 df-seq 14009 df-exp 14069 df-hash 14332 df-cj 15088 df-re 15089 df-im 15090 df-sqrt 15224 df-abs 15225 df-clim 15474 df-prod 15892 |
This theorem is referenced by: fprodle 15982 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |