MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodn0f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodn0f 16027
Description: A finite product of nonzero terms is nonzero. A version of fprodn0 16015 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodn0f.kph 𝑘𝜑
fprodn0f.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodn0f.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodn0f.bne0 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
fprodn0f (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodn0f
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodn0f.kph . . 3 𝑘𝜑
2 difssd 4137 . . 3 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
3 eldifi 4131 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℂ)
43adantr 480 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℂ)
5 eldifi 4131 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℂ)
65adantl 481 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℂ)
74, 6mulcld 11281 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
8 eldifsni 4790 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
98adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ≠ 0)
10 eldifsni 4790 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
1110adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ≠ 0)
124, 6, 9, 11mulne0d 11915 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
1312neneqd 2945 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ¬ (𝑥 · 𝑦) = 0)
14 ovex 7464 . . . . . . 7 (𝑥 · 𝑦) ∈ V
1514elsn 4641 . . . . . 6 ((𝑥 · 𝑦) ∈ {0} ↔ (𝑥 · 𝑦) = 0)
1613, 15sylnibr 329 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ¬ (𝑥 · 𝑦) ∈ {0})
177, 16eldifd 3962 . . . 4 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
1817adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
19 fprodn0f.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
20 fprodn0f.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
21 fprodn0f.bne0 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
2221neneqd 2945 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 𝐵 = 0)
23 elsng 4640 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ {0} ↔ 𝐵 = 0))
2420, 23syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 ∈ {0} ↔ 𝐵 = 0))
2522, 24mtbird 325 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 𝐵 ∈ {0})
2620, 25eldifd 3962 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
27 ax-1cn 11213 . . . . 5 1 ∈ ℂ
28 ax-1ne0 11224 . . . . . 6 1 ≠ 0
29 1ex 11257 . . . . . . 7 1 ∈ V
3029elsn 4641 . . . . . 6 (1 ∈ {0} ↔ 1 = 0)
3128, 30nemtbir 3038 . . . . 5 ¬ 1 ∈ {0}
32 eldif 3961 . . . . 5 (1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ ¬ 1 ∈ {0}))
3327, 31, 32mpbir2an 711 . . . 4 1 ∈ (ℂ ∖ {0})
3433a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ (ℂ ∖ {0}))
351, 2, 18, 19, 26, 34fprodcllemf 15994 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
36 eldifsni 4790 . 2 (∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
3735, 36syl 17 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wnf 1783  wcel 2108  wne 2940  cdif 3948  {csn 4626  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  cprod 15939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-prod 15940
This theorem is referenced by:  fprodle  16032
  Copyright terms: Public domain W3C validator