Theorem fsum1p 15678

Description: Separate out the first term in a finite sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumm1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fsumm1.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsum1p.3	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fsum1p	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (𝐵 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fsum1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumm1.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzel2 12758	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		fzsn 13484	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
6	5	ineq1d 4170	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
7	3	zred 12598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
8	7	ltp1d 12074	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < (𝑀 + 1))
9		fzdisj 13469	. . . . 5 ⊢ (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((𝑀...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
11	6, 10	eqtr3d 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
12		eluzfz1 13449	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
13	1, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
14		fzsplit 13468	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
16	5	uneq1d 4118	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
17	15, 16	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
18		fzfid 13898	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
19		fsumm1.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
20	11, 17, 18, 19	fsumsplit 15666	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
21		fsum1p.3	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐵)
22	21	eleq1d 2820	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
23	19	ralrimiva 3127	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
24	22, 23, 13	rspcdva 3576	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
25	21	sumsn 15671	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
26	3, 24, 25	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
27	26	oveq1d 7373	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴) = (𝐵 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
28	20, 27	eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (𝐵 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3898   ∩ cin 3899  ∅c0 4284  {csn 4579   class class class wbr 5097  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  ℂcc 11026  1c1 11029   + caddc 11031   < clt 11168  ℤcz 12490  ℤ_≥cuz 12753  ...cfz 13425  Σcsu 15611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-sup 9347  df-oi 9417  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-rp 12908  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-sum 15612

This theorem is referenced by:  telfsumo  15727  fsumparts  15731  arisum2  15786  pwdif  15793  binomfallfaclem2  15965  bpolydiflem  15979  pwp1fsum  16320  ovolicc2lem4  25479  advlogexp  26622  ftalem5  27045  rplogsumlem2  27454  axlowdimlem16  29011  fwddifnp1  36338  sticksstones10  42444  sticksstones12a  42446  etransclem24  46539  etransclem32  46547  etransclem35  46550  altgsumbcALT  48636  nn0sumshdiglemA  48902  nn0sumshdiglemB  48903