Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumsupp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumsupp0 41865
Description: Finite sum of function values, for a function of finite support. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsupp0.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumsupp0.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumsupp0 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐹 supp 0)(𝐹𝑘) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Proof of Theorem fsumsupp0
StepHypRef Expression
1 fsumsupp0.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
21ffnd 6518 . . . 4 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
3 fsumsupp0.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
4 0red 10647 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5 suppvalfn 7840 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐹 supp 0) = {𝑘𝐴 ∣ (𝐹𝑘) ≠ 0})
62, 3, 4, 5syl3anc 1367 . . 3 (𝜑 → (𝐹 supp 0) = {𝑘𝐴 ∣ (𝐹𝑘) ≠ 0})
7 ssrab2 4059 . . 3 {𝑘𝐴 ∣ (𝐹𝑘) ≠ 0} ⊆ 𝐴
86, 7eqsstrdi 4024 . 2 (𝜑 → (𝐹 supp 0) ⊆ 𝐴)
91adantr 483 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐹 supp 0)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
108sselda 3970 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐹 supp 0)) → 𝑘𝐴)
119, 10ffvelrnd 6855 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐹 supp 0)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
12 eldifi 4106 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0)) → 𝑘𝐴)
1312adantr 483 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0)) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 0) → 𝑘𝐴)
14 neqne 3027 . . . . . . . 8 (¬ (𝐹𝑘) = 0 → (𝐹𝑘) ≠ 0)
1514adantl 484 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0)) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 0) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
1613, 15jca 514 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0)) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 0) → (𝑘𝐴 ∧ (𝐹𝑘) ≠ 0))
17 rabid 3381 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {𝑘𝐴 ∣ (𝐹𝑘) ≠ 0} ↔ (𝑘𝐴 ∧ (𝐹𝑘) ≠ 0))
1816, 17sylibr 236 . . . . 5 ((𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0)) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 0) → 𝑘 ∈ {𝑘𝐴 ∣ (𝐹𝑘) ≠ 0})
1918adantll 712 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0))) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 0) → 𝑘 ∈ {𝑘𝐴 ∣ (𝐹𝑘) ≠ 0})
206eleq2d 2901 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 0) ↔ 𝑘 ∈ {𝑘𝐴 ∣ (𝐹𝑘) ≠ 0}))
2120ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0))) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 0) → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 0) ↔ 𝑘 ∈ {𝑘𝐴 ∣ (𝐹𝑘) ≠ 0}))
2219, 21mpbird 259 . . 3 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0))) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 0) → 𝑘 ∈ (𝐹 supp 0))
23 eldifn 4107 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0)) → ¬ 𝑘 ∈ (𝐹 supp 0))
2423ad2antlr 725 . . 3 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0))) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 0) → ¬ 𝑘 ∈ (𝐹 supp 0))
2522, 24condan 816 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0))) → (𝐹𝑘) = 0)
268, 11, 25, 3fsumss 15085 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐹 supp 0)(𝐹𝑘) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1536  wcel 2113  wne 3019  {crab 3145  cdif 3936   Fn wfn 6353  wf 6354  cfv 6358  (class class class)co 7159   supp csupp 7833  Fincfn 8512  cc 10538  cr 10539  0cc0 10540  Σcsu 15045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-supp 7834  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-sup 8909  df-oi 8977  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848  df-sum 15046
This theorem is referenced by:  rrxtopnfi  42579
  Copyright terms: Public domain W3C validator