Theorem fsumsupp0 46322

Description: Finite sum of function values, for a function of finite support. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsupp0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumsupp0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumsupp0	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐹 supp 0)(𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Proof of Theorem fsumsupp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumsupp0.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2	1	ffnd 6706	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
3		fsumsupp0.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
4		0red 11215	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5		suppvalfn 8160	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐹 supp 0) = {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0})
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0) = {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0})
7		ssrab2 4034	. . 3 ⊢ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0} ⊆ 𝐴
8	6, 7	eqsstrdi 3981	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0) ⊆ 𝐴)
9	1	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐹 supp 0)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
10	8	sselda 3937	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐹 supp 0)) → 𝑘 ∈ 𝐴)
11	9, 10	ffvelcdmd 7080	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐹 supp 0)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
12		eldifi 4085	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0)) → 𝑘 ∈ 𝐴)
13	12	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 0) → 𝑘 ∈ 𝐴)
14		neqne 2966	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑘) = 0 → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
15	14	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 0) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
16	13, 15	jca 520	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 0) → (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 0))
17		rabid 3437	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0} ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 0))
18	16, 17	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 0) → 𝑘 ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0})
19	18	adantll 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0))) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 0) → 𝑘 ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0})
20	6	eleq2d 2849	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 0) ↔ 𝑘 ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0}))
21	20	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0))) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 0) → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 0) ↔ 𝑘 ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0}))
22	19, 21	mpbird 260	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0))) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 0) → 𝑘 ∈ (𝐹 supp 0))
23		eldifn 4086	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0)) → ¬ 𝑘 ∈ (𝐹 supp 0))
24	23	ad2antlr 739	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0))) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 0) → ¬ 𝑘 ∈ (𝐹 supp 0))
25	22, 24	condan 829	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0))) → (𝐹‘𝑘) = 0)
26	8, 11, 25, 3	fsumss 15781	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐹 supp 0)(𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  {crab 3416   ∖ cdif 3902   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   supp csupp 8152  Fincfn 8939  ℂcc 11102  ℝcr 11103  0cc0 11104  Σcsu 15742

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-rp 13021  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14372  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-clim 15544  df-sum 15743

This theorem is used by:  rrxtopnfi  47029