Theorem fsumsupp0 44753

Description: Finite sum of function values, for a function of finite support. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsupp0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumsupp0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumsupp0	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐹 supp 0)(𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Proof of Theorem fsumsupp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumsupp0.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2	1	ffnd 6718	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
3		fsumsupp0.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
4		0red 11224	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5		suppvalfn 8159	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐹 supp 0) = {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0})
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0) = {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0})
7		ssrab2 4077	. . 3 ⊢ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0} ⊆ 𝐴
8	6, 7	eqsstrdi 4036	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0) ⊆ 𝐴)
9	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐹 supp 0)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
10	8	sselda 3982	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐹 supp 0)) → 𝑘 ∈ 𝐴)
11	9, 10	ffvelcdmd 7087	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐹 supp 0)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
12		eldifi 4126	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0)) → 𝑘 ∈ 𝐴)
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 0) → 𝑘 ∈ 𝐴)
14		neqne 2947	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑘) = 0 → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
15	14	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 0) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
16	13, 15	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 0) → (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 0))
17		rabid 3451	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0} ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 0))
18	16, 17	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 0) → 𝑘 ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0})
19	18	adantll 711	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0))) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 0) → 𝑘 ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0})
20	6	eleq2d 2818	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 0) ↔ 𝑘 ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0}))
21	20	ad2antrr 723	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0))) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 0) → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 0) ↔ 𝑘 ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0}))
22	19, 21	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0))) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 0) → 𝑘 ∈ (𝐹 supp 0))
23		eldifn 4127	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0)) → ¬ 𝑘 ∈ (𝐹 supp 0))
24	23	ad2antlr 724	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0))) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 0) → ¬ 𝑘 ∈ (𝐹 supp 0))
25	22, 24	condan 815	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0))) → (𝐹‘𝑘) = 0)
26	8, 11, 25, 3	fsumss 15678	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐹 supp 0)(𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  {crab 3431   ∖ cdif 3945   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   supp csupp 8151  Fincfn 8945  ℂcc 11114  ℝcr 11115  0cc0 11116  Σcsu 15639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-sum 15640

This theorem is referenced by:  rrxtopnfi  45462