Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumsupp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumsupp0 45029
Description: Finite sum of function values, for a function of finite support. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsupp0.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
fsumsupp0.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
Assertion
Ref Expression
fsumsupp0 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝐹 supp 0)(πΉβ€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘˜))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐹   πœ‘,π‘˜

Proof of Theorem fsumsupp0
StepHypRef Expression
1 fsumsupp0.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
21ffnd 6718 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
3 fsumsupp0.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
4 0red 11247 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
5 suppvalfn 8171 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (𝐹 supp 0) = {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  0})
62, 3, 4, 5syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0) = {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  0})
7 ssrab2 4069 . . 3 {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  0} βŠ† 𝐴
86, 7eqsstrdi 4027 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† 𝐴)
91adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐹 supp 0)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
108sselda 3972 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐹 supp 0)) β†’ π‘˜ ∈ 𝐴)
119, 10ffvelcdmd 7090 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐹 supp 0)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
12 eldifi 4119 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– (𝐹 supp 0)) β†’ π‘˜ ∈ 𝐴)
1312adantr 479 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– (𝐹 supp 0)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = 0) β†’ π‘˜ ∈ 𝐴)
14 neqne 2938 . . . . . . . 8 (Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = 0 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  0)
1514adantl 480 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– (𝐹 supp 0)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = 0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  0)
1613, 15jca 510 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– (𝐹 supp 0)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = 0) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  0))
17 rabid 3440 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  0} ↔ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  0))
1816, 17sylibr 233 . . . . 5 ((π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– (𝐹 supp 0)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = 0) β†’ π‘˜ ∈ {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  0})
1918adantll 712 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– (𝐹 supp 0))) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = 0) β†’ π‘˜ ∈ {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  0})
206eleq2d 2811 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (𝐹 supp 0) ↔ π‘˜ ∈ {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  0}))
2120ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– (𝐹 supp 0))) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = 0) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐹 supp 0) ↔ π‘˜ ∈ {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  0}))
2219, 21mpbird 256 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– (𝐹 supp 0))) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = 0) β†’ π‘˜ ∈ (𝐹 supp 0))
23 eldifn 4120 . . . 4 (π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– (𝐹 supp 0)) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ (𝐹 supp 0))
2423ad2antlr 725 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– (𝐹 supp 0))) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = 0) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ (𝐹 supp 0))
2522, 24condan 816 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– (𝐹 supp 0))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 0)
268, 11, 25, 3fsumss 15703 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝐹 supp 0)(πΉβ€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘˜))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  {crab 3419   βˆ– cdif 3936   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   supp csupp 8163  Fincfn 8962  β„‚cc 11136  β„cr 11137  0cc0 11138  Ξ£csu 15664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665
This theorem is referenced by:  rrxtopnfi  45738
  Copyright terms: Public domain W3C validator