Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumsupp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumsupp0 41865
 Description: Finite sum of function values, for a function of finite support. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsupp0.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumsupp0.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumsupp0 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐹 supp 0)(𝐹𝑘) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Proof of Theorem fsumsupp0
StepHypRef Expression
1 fsumsupp0.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
21ffnd 6518 . . . 4 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
3 fsumsupp0.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
4 0red 10647 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5 suppvalfn 7840 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐹 supp 0) = {𝑘𝐴 ∣ (𝐹𝑘) ≠ 0})
62, 3, 4, 5syl3anc 1367 . . 3 (𝜑 → (𝐹 supp 0) = {𝑘𝐴 ∣ (𝐹𝑘) ≠ 0})
7 ssrab2 4059 . . 3 {𝑘𝐴 ∣ (𝐹𝑘) ≠ 0} ⊆ 𝐴
86, 7eqsstrdi 4024 . 2 (𝜑 → (𝐹 supp 0) ⊆ 𝐴)
91adantr 483 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐹 supp 0)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
108sselda 3970 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐹 supp 0)) → 𝑘𝐴)
119, 10ffvelrnd 6855 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐹 supp 0)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
12 eldifi 4106 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0)) → 𝑘𝐴)
1312adantr 483 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0)) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 0) → 𝑘𝐴)
14 neqne 3027 . . . . . . . 8 (¬ (𝐹𝑘) = 0 → (𝐹𝑘) ≠ 0)
1514adantl 484 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0)) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 0) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
1613, 15jca 514 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0)) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 0) → (𝑘𝐴 ∧ (𝐹𝑘) ≠ 0))
17 rabid 3381 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {𝑘𝐴 ∣ (𝐹𝑘) ≠ 0} ↔ (𝑘𝐴 ∧ (𝐹𝑘) ≠ 0))
1816, 17sylibr 236 . . . . 5 ((𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0)) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 0) → 𝑘 ∈ {𝑘𝐴 ∣ (𝐹𝑘) ≠ 0})
1918adantll 712 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0))) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 0) → 𝑘 ∈ {𝑘𝐴 ∣ (𝐹𝑘) ≠ 0})
206eleq2d 2901 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 0) ↔ 𝑘 ∈ {𝑘𝐴 ∣ (𝐹𝑘) ≠ 0}))
2120ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0))) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 0) → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 0) ↔ 𝑘 ∈ {𝑘𝐴 ∣ (𝐹𝑘) ≠ 0}))
2219, 21mpbird 259 . . 3 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0))) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 0) → 𝑘 ∈ (𝐹 supp 0))
23 eldifn 4107 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0)) → ¬ 𝑘 ∈ (𝐹 supp 0))
2423ad2antlr 725 . . 3 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0))) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 0) → ¬ 𝑘 ∈ (𝐹 supp 0))
2522, 24condan 816 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0))) → (𝐹𝑘) = 0)
268, 11, 25, 3fsumss 15085 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐹 supp 0)(𝐹𝑘) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  {crab 3145   ∖ cdif 3936   Fn wfn 6353  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159   supp csupp 7833  Fincfn 8512  ℂcc 10538  ℝcr 10539  0cc0 10540  Σcsu 15045 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-supp 7834  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-sup 8909  df-oi 8977  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848  df-sum 15046 This theorem is referenced by:  rrxtopnfi  42579
 Copyright terms: Public domain W3C validator