Theorem fsumsupp0 45845

Description: Finite sum of function values, for a function of finite support. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsupp0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumsupp0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumsupp0	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐹 supp 0)(𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Proof of Theorem fsumsupp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumsupp0.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2	1	ffnd 6663	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
3		fsumsupp0.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
4		0red 11137	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5		suppvalfn 8110	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐹 supp 0) = {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0})
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0) = {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0})
7		ssrab2 4032	. . 3 ⊢ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0} ⊆ 𝐴
8	6, 7	eqsstrdi 3978	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0) ⊆ 𝐴)
9	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐹 supp 0)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
10	8	sselda 3933	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐹 supp 0)) → 𝑘 ∈ 𝐴)
11	9, 10	ffvelcdmd 7030	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐹 supp 0)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
12		eldifi 4083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0)) → 𝑘 ∈ 𝐴)
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 0) → 𝑘 ∈ 𝐴)
14		neqne 2940	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑘) = 0 → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
15	14	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 0) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
16	13, 15	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 0) → (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 0))
17		rabid 3420	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0} ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 0))
18	16, 17	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 0) → 𝑘 ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0})
19	18	adantll 714	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0))) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 0) → 𝑘 ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0})
20	6	eleq2d 2822	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 0) ↔ 𝑘 ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0}))
21	20	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0))) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 0) → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 0) ↔ 𝑘 ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0}))
22	19, 21	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0))) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 0) → 𝑘 ∈ (𝐹 supp 0))
23		eldifn 4084	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0)) → ¬ 𝑘 ∈ (𝐹 supp 0))
24	23	ad2antlr 727	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0))) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 0) → ¬ 𝑘 ∈ (𝐹 supp 0))
25	22, 24	condan 817	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0))) → (𝐹‘𝑘) = 0)
26	8, 11, 25, 3	fsumss 15650	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐹 supp 0)(𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  {crab 3399   ∖ cdif 3898   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   supp csupp 8102  Fincfn 8885  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  Σcsu 15611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-sup 9347  df-oi 9417  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-rp 12908  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-sum 15612

This theorem is referenced by:  rrxtopnfi  46552