Theorem setc1strwun 18204

Description: A constructed one-slot structure with the objects of the category of sets as base set in a weak universe. (Contributed by AV, 27-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
setc1strwun.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
setc1strwun.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
setc1strwun.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
setc1strwun.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
setc1strwun	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} ∈ 𝑈)

Proof of Theorem setc1strwun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setc1strwun.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
2		setc1strwun.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
3		setc1strwun.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
4	2, 3	setcbas 18130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝑆))
5	1, 4	eqtr4id 2817	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝑈)
6	5	eleq2d 2849	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐶 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))
7	6	biimpa 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ 𝑈)
8		eqid 2763	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}
9		setc1strwun.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
10	8, 3, 9	1strwun 17281	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} ∈ 𝑈)
11	7, 10	syldan 602	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {csn 4589  ⟨cop 4595  ‘cfv 6536  ωcom 7858  WUnicwun 10680  ndxcnx 17248  Basecbs 17264  SetCatcsetc 18127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-ec 8692  df-qs 8696  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-wun 10682  df-ni 10852  df-pli 10853  df-mi 10854  df-lti 10855  df-plpq 10888  df-mpq 10889  df-ltpq 10890  df-enq 10891  df-nq 10892  df-erq 10893  df-plq 10894  df-mq 10895  df-1nq 10896  df-rq 10897  df-ltnq 10898  df-np 10961  df-plp 10963  df-ltp 10965  df-enr 11035  df-nr 11036  df-c 11101  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-hom 17329  df-cco 17330  df-setc 18128

This theorem is referenced by:  funcsetcestrclem2  18206  funcsetcestrclem3  18207  funcsetcestrclem7  18212