Theorem setc1strwun 17147

Description: A constructed one-slot structure with the objects of the category of sets as base set in a weak universe. (Contributed by AV, 27-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
setc1strwun.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
setc1strwun.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
setc1strwun.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
setc1strwun.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
setc1strwun	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} ∈ 𝑈)

Proof of Theorem setc1strwun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setc1strwun.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
2		setc1strwun.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
3	1, 2	setcbas 17081	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝑆))
4		setc1strwun.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
5	3, 4	syl6reqr 2881	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝑈)
6	5	eleq2d 2893	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐶 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))
7	6	biimpa 470	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ 𝑈)
8		eqid 2826	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}
9		setc1strwun.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
10	8, 2, 9	1strwun 16342	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} ∈ 𝑈)
11	7, 10	syldan 587	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  {csn 4398  ⟨cop 4404  ‘cfv 6124  ωcom 7327  WUnicwun 9838  ndxcnx 16220  Basecbs 16223  SetCatcsetc 17078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-omul 7832  df-er 8010  df-ec 8012  df-qs 8016  df-map 8125  df-pm 8126  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-wun 9840  df-ni 10010  df-pli 10011  df-mi 10012  df-lti 10013  df-plpq 10046  df-mpq 10047  df-ltpq 10048  df-enq 10049  df-nq 10050  df-erq 10051  df-plq 10052  df-mq 10053  df-1nq 10054  df-rq 10055  df-ltnq 10056  df-np 10119  df-plp 10121  df-ltp 10123  df-enr 10193  df-nr 10194  df-c 10259  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-fz 12621  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-hom 16330  df-cco 16331  df-setc 17079

This theorem is referenced by:  funcsetcestrclem2  17149  funcsetcestrclem3  17150  funcsetcestrclem7  17155