Theorem setc1strwun 18222

Description: A constructed one-slot structure with the objects of the category of sets as base set in a weak universe. (Contributed by AV, 27-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
setc1strwun.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
setc1strwun.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
setc1strwun.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
setc1strwun.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
setc1strwun	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} ∈ 𝑈)

Proof of Theorem setc1strwun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setc1strwun.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
2		setc1strwun.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
3		setc1strwun.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
4	2, 3	setcbas 18145	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝑆))
5	1, 4	eqtr4id 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝑈)
6	5	eleq2d 2830	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐶 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))
7	6	biimpa 476	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ 𝑈)
8		eqid 2740	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}
9		setc1strwun.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
10	8, 3, 9	1strwun 17278	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} ∈ 𝑈)
11	7, 10	syldan 590	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {csn 4648  ⟨cop 4654  ‘cfv 6573  ωcom 7903  WUnicwun 10769  ndxcnx 17240  Basecbs 17258  SetCatcsetc 18142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-ec 8765  df-qs 8769  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-wun 10771  df-ni 10941  df-pli 10942  df-mi 10943  df-lti 10944  df-plpq 10977  df-mpq 10978  df-ltpq 10979  df-enq 10980  df-nq 10981  df-erq 10982  df-plq 10983  df-mq 10984  df-1nq 10985  df-rq 10986  df-ltnq 10987  df-np 11050  df-plp 11052  df-ltp 11054  df-enr 11124  df-nr 11125  df-c 11190  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-hom 17335  df-cco 17336  df-setc 18143

This theorem is referenced by:  funcsetcestrclem2  18224  funcsetcestrclem3  18225  funcsetcestrclem7  18230