Theorem setc1strwun 18197

Description: A constructed one-slot structure with the objects of the category of sets as base set in a weak universe. (Contributed by AV, 27-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
setc1strwun.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
setc1strwun.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
setc1strwun.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
setc1strwun.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
setc1strwun	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} ∈ 𝑈)

Proof of Theorem setc1strwun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setc1strwun.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
2		setc1strwun.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
3		setc1strwun.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
4	2, 3	setcbas 18123	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝑆))
5	1, 4	eqtr4id 2819	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝑈)
6	5	eleq2d 2851	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐶 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))
7	6	biimpa 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ 𝑈)
8		eqid 2765	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}
9		setc1strwun.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
10	8, 3, 9	1strwun 17274	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} ∈ 𝑈)
11	7, 10	syldan 602	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {csn 4585  ⟨cop 4591  ‘cfv 6525  ωcom 7850  WUnicwun 10673  ndxcnx 17241  Basecbs 17257  SetCatcsetc 18120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-oadd 8445  df-omul 8446  df-er 8682  df-ec 8684  df-qs 8688  df-map 8814  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-wun 10675  df-ni 10845  df-pli 10846  df-mi 10847  df-lti 10848  df-plpq 10881  df-mpq 10882  df-ltpq 10883  df-enq 10884  df-nq 10885  df-erq 10886  df-plq 10887  df-mq 10888  df-1nq 10889  df-rq 10890  df-ltnq 10891  df-np 10954  df-plp 10956  df-ltp 10958  df-enr 11028  df-nr 11029  df-c 11094  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-fz 13524  df-struct 17195  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-hom 17322  df-cco 17323  df-setc 18121

This theorem is referenced by:  funcsetcestrclem2  18199  funcsetcestrclem3  18200  funcsetcestrclem7  18205