Theorem ehl0 24014

Description: The Euclidean space of dimension 0 consists of the neutral element only. (Contributed by AV, 12-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ehl0base.e	⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘0)
ehl0base.0	⊢ 0 = (0g‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
ehl0	⊢ (Base‘𝐸) = { 0 }

Proof of Theorem ehl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ehl0base.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘0)
2	1	ehl0base 24013	. 2 ⊢ (Base‘𝐸) = {∅}
3		ehl0base.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐸)
4		ovex 7183	. . . . . . 7 ⊢ (1...0) ∈ V
5		0nn0 11906	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6	1	ehlval 24011	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → 𝐸 = (ℝ^‘(1...0)))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘(1...0))
8		fz10 12922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...0) = ∅
9	8	xpeq1i 5575	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1...0) × {0}) = (∅ × {0})
10	9	eqcomi 2830	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ × {0}) = ((1...0) × {0})
11	7, 10	rrx0 23994	. . . . . . 7 ⊢ ((1...0) ∈ V → (0g‘𝐸) = (∅ × {0}))
12	4, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐸) = (∅ × {0})
13	3, 12	eqtri 2844	. . . . 5 ⊢ 0 = (∅ × {0})
14		0xp 5643	. . . . 5 ⊢ (∅ × {0}) = ∅
15	13, 14	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ 0 = ∅
16	15	eqcomi 2830	. . 3 ⊢ ∅ = 0
17	16	sneqi 4571	. 2 ⊢ {∅} = { 0 }
18	2, 17	eqtri 2844	1 ⊢ (Base‘𝐸) = { 0 }

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494  ∅c0 4290  {csn 4560   × cxp 5547  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  0cc0 10531  1c1 10532  ℕ₀cn0 11891  ...cfz 12886  Basecbs 16477  0_gc0g 16707  ℝ^crrx 23980  𝔼_hilcehl 23981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fz 12887  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-0g 16709  df-prds 16715  df-pws 16717  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-subg 18270  df-cmn 18902  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-cring 19294  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-dvr 19427  df-drng 19498  df-field 19499  df-subrg 19527  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-sra 19938  df-rgmod 19939  df-cnfld 20540  df-refld 20743  df-dsmm 20870  df-frlm 20885  df-tng 23188  df-tcph 23767  df-rrx 23982  df-ehl 23983

This theorem is referenced by: (None)