MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ehl0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ehl0 25269
Description: The Euclidean space of dimension 0 consists of the neutral element only. (Contributed by AV, 12-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ehl0base.e 𝐸 = (𝔼hil‘0)
ehl0base.0 0 = (0g𝐸)
Assertion
Ref Expression
ehl0 (Base‘𝐸) = { 0 }

Proof of Theorem ehl0
StepHypRef Expression
1 ehl0base.e . . 3 𝐸 = (𝔼hil‘0)
21ehl0base 25268 . 2 (Base‘𝐸) = {∅}
3 ehl0base.0 . . . . . 6 0 = (0g𝐸)
4 ovex 7435 . . . . . . 7 (1...0) ∈ V
5 0nn0 12485 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
61ehlval 25266 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℕ0𝐸 = (ℝ^‘(1...0)))
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝐸 = (ℝ^‘(1...0))
8 fz10 13520 . . . . . . . . . 10 (1...0) = ∅
98xpeq1i 5693 . . . . . . . . 9 ((1...0) × {0}) = (∅ × {0})
109eqcomi 2733 . . . . . . . 8 (∅ × {0}) = ((1...0) × {0})
117, 10rrx0 25249 . . . . . . 7 ((1...0) ∈ V → (0g𝐸) = (∅ × {0}))
124, 11ax-mp 5 . . . . . 6 (0g𝐸) = (∅ × {0})
133, 12eqtri 2752 . . . . 5 0 = (∅ × {0})
14 0xp 5765 . . . . 5 (∅ × {0}) = ∅
1513, 14eqtri 2752 . . . 4 0 = ∅
1615eqcomi 2733 . . 3 ∅ = 0
1716sneqi 4632 . 2 {∅} = { 0 }
182, 17eqtri 2752 1 (Base‘𝐸) = { 0 }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3466  c0 4315  {csn 4621   × cxp 5665  cfv 6534  (class class class)co 7402  0cc0 11107  1c1 11108  0cn0 12470  ...cfz 13482  Basecbs 17145  0gc0g 17386  ℝ^crrx 25235  𝔼hilcehl 25236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-dec 12676  df-uz 12821  df-rp 12973  df-fz 13483  df-seq 13965  df-exp 14026  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-starv 17213  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-unif 17221  df-hom 17222  df-cco 17223  df-0g 17388  df-prds 17394  df-pws 17396  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19042  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20032  df-rng 20050  df-ur 20079  df-ring 20132  df-cring 20133  df-oppr 20228  df-dvdsr 20251  df-unit 20252  df-invr 20282  df-dvr 20295  df-subrng 20438  df-subrg 20463  df-drng 20581  df-field 20582  df-lmod 20700  df-lss 20771  df-sra 21013  df-rgmod 21014  df-cnfld 21231  df-refld 21468  df-dsmm 21597  df-frlm 21612  df-tng 24417  df-tcph 25021  df-rrx 25237  df-ehl 25238
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator