MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ehl0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ehl0 24019
Description: The Euclidean space of dimension 0 consists of the neutral element only. (Contributed by AV, 12-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ehl0base.e 𝐸 = (𝔼hil‘0)
ehl0base.0 0 = (0g𝐸)
Assertion
Ref Expression
ehl0 (Base‘𝐸) = { 0 }

Proof of Theorem ehl0
StepHypRef Expression
1 ehl0base.e . . 3 𝐸 = (𝔼hil‘0)
21ehl0base 24018 . 2 (Base‘𝐸) = {∅}
3 ehl0base.0 . . . . . 6 0 = (0g𝐸)
4 ovex 7173 . . . . . . 7 (1...0) ∈ V
5 0nn0 11900 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
61ehlval 24016 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℕ0𝐸 = (ℝ^‘(1...0)))
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝐸 = (ℝ^‘(1...0))
8 fz10 12923 . . . . . . . . . 10 (1...0) = ∅
98xpeq1i 5558 . . . . . . . . 9 ((1...0) × {0}) = (∅ × {0})
109eqcomi 2831 . . . . . . . 8 (∅ × {0}) = ((1...0) × {0})
117, 10rrx0 23999 . . . . . . 7 ((1...0) ∈ V → (0g𝐸) = (∅ × {0}))
124, 11ax-mp 5 . . . . . 6 (0g𝐸) = (∅ × {0})
133, 12eqtri 2845 . . . . 5 0 = (∅ × {0})
14 0xp 5626 . . . . 5 (∅ × {0}) = ∅
1513, 14eqtri 2845 . . . 4 0 = ∅
1615eqcomi 2831 . . 3 ∅ = 0
1716sneqi 4550 . 2 {∅} = { 0 }
182, 17eqtri 2845 1 (Base‘𝐸) = { 0 }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2114  Vcvv 3469  c0 4265  {csn 4539   × cxp 5530  cfv 6334  (class class class)co 7140  0cc0 10526  1c1 10527  0cn0 11885  ...cfz 12885  Basecbs 16474  0gc0g 16704  ℝ^crrx 23985  𝔼hilcehl 23986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-hom 16580  df-cco 16581  df-0g 16706  df-prds 16712  df-pws 16714  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-subg 18267  df-cmn 18899  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-cring 19291  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-dvr 19427  df-drng 19495  df-field 19496  df-subrg 19524  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-sra 19935  df-rgmod 19936  df-cnfld 20090  df-refld 20292  df-dsmm 20419  df-frlm 20434  df-tng 23189  df-tcph 23772  df-rrx 23987  df-ehl 23988
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator