Theorem ehl0 25750

Description: The Euclidean space of dimension 0 consists of the neutral element only. (Contributed by AV, 12-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ehl0base.e	⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘0)
ehl0base.0	⊢ 0 = (0g‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
ehl0	⊢ (Base‘𝐸) = { 0 }

Proof of Theorem ehl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ehl0base.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘0)
2	1	ehl0base 25749	. 2 ⊢ (Base‘𝐸) = {∅}
3		ehl0base.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐸)
4		ovex 7460	. . . . . . 7 ⊢ (0..^0) ∈ V
5		0nn0 12631	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6	1	ehlval 25747	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → 𝐸 = (ℝ^‘(0..^0)))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘(0..^0))
8		fzo0 13828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^0) = ∅
9	8	xpeq1i 5680	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0..^0) × {0}) = (∅ × {0})
10	9	eqcomi 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ × {0}) = ((0..^0) × {0})
11	7, 10	rrx0 25730	. . . . . . 7 ⊢ ((0..^0) ∈ V → (0g‘𝐸) = (∅ × {0}))
12	4, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐸) = (∅ × {0})
13	3, 12	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ 0 = (∅ × {0})
14		0xp 5754	. . . . 5 ⊢ (∅ × {0}) = ∅
15	13, 14	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ 0 = ∅
16	15	eqcomi 2772	. . 3 ⊢ ∅ = 0
17	16	sneqi 4594	. 2 ⊢ {∅} = { 0 }
18	2, 17	eqtri 2786	1 ⊢ (Base‘𝐸) = { 0 }

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3453  ∅c0 4280  {csn 4587   × cxp 5652  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  0cc0 11210  ℕ₀cn0 12616  ..^cfzo 13798  Basecbs 17399  0_gc0g 17622  ℝ^crrx 25716  𝔼_hilcehl 25717

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288  ax-addf 11289

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-supp 8188  df-tpos 8254  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-er 8728  df-map 8860  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9365  df-sup 9444  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-rp 13131  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-seq 14155  df-exp 14215  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-starv 17455  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-ip 17458  df-tset 17459  df-ple 17460  df-ds 17462  df-unif 17463  df-hom 17464  df-cco 17465  df-0g 17624  df-prds 17630  df-pws 17632  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-sbg 19161  df-subg 19345  df-cmn 20008  df-abl 20009  df-mgp 20373  df-rng 20387  df-ur 20420  df-ring 20473  df-cring 20474  df-oppr 20579  df-dvdsr 20599  df-unit 20600  df-invr 20630  df-dvr 20643  df-subrng 20810  df-subrg 20834  df-drng 20994  df-field 20995  df-lmod 21149  df-lss 21219  df-sra 21460  df-rgmod 21461  df-cnfld 21691  df-refld 21923  df-dsmm 22050  df-frlm 22065  df-tng 24915  df-tcph 25502  df-rrx 25718  df-ehl 25719

This theorem is used by: (None)