Theorem fprod1p 15875

Description: Separate out the first term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 24-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprod1p.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fprod1p.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprod1p.3	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fprod1p	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (𝐵 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprod1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprod1p.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzfz1 13431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
4	3	elfzelzd 13425	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		fzsn 13466	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
7	6	ineq1d 4166	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
8	4	zred 12577	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
9	8	ltp1d 12052	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < (𝑀 + 1))
10		fzdisj 13451	. . . . 5 ⊢ (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((𝑀...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
12	7, 11	eqtr3d 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
13		fzsplit 13450	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
14	3, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
15	6	uneq1d 4114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
16	14, 15	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
17		fzfid 13880	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
18		fprod1p.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
19	12, 16, 17, 18	fprodsplit 15873	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
20		fprod1p.3	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐵)
21	20	eleq1d 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
22	18	ralrimiva 3124	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
23	21, 22, 3	rspcdva 3573	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
24	20	prodsn 15869	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
25	3, 23, 24	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
26	25	oveq1d 7361	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴) = (𝐵 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
27	19, 26	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (𝐵 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∪ cun 3895   ∩ cin 3896  ∅c0 4280  {csn 4573   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011   < clt 11146  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732  ...cfz 13407  ∏cprod 15810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-prod 15811

This theorem is referenced by:  fallfacfwd  15943  0fallfac  15944  etransclem4  46335  etransclem31  46362  etransclem35  46366