![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > fprod1p | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Separate out the first term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 24-Dec-2017.) |
Ref | Expression |
---|---|
fprod1p.1 | โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ๐)) |
fprod1p.2 | โข ((๐ โง ๐ โ (๐...๐)) โ ๐ด โ โ) |
fprod1p.3 | โข (๐ = ๐ โ ๐ด = ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
fprod1p | โข (๐ โ โ๐ โ (๐...๐)๐ด = (๐ต ยท โ๐ โ ((๐ + 1)...๐)๐ด)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | fprod1p.1 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ๐)) | |
2 | eluzfz1 13515 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ (โคโฅโ๐) โ ๐ โ (๐...๐)) | |
3 | 1, 2 | syl 17 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ โ (๐...๐)) |
4 | 3 | elfzelzd 13509 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ โค) |
5 | fzsn 13550 | . . . . . 6 โข (๐ โ โค โ (๐...๐) = {๐}) | |
6 | 4, 5 | syl 17 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐...๐) = {๐}) |
7 | 6 | ineq1d 4211 | . . . 4 โข (๐ โ ((๐...๐) โฉ ((๐ + 1)...๐)) = ({๐} โฉ ((๐ + 1)...๐))) |
8 | 4 | zred 12673 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
9 | 8 | ltp1d 12151 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ < (๐ + 1)) |
10 | fzdisj 13535 | . . . . 5 โข (๐ < (๐ + 1) โ ((๐...๐) โฉ ((๐ + 1)...๐)) = โ ) | |
11 | 9, 10 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ ((๐...๐) โฉ ((๐ + 1)...๐)) = โ ) |
12 | 7, 11 | eqtr3d 2773 | . . 3 โข (๐ โ ({๐} โฉ ((๐ + 1)...๐)) = โ ) |
13 | fzsplit 13534 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐...๐) โ (๐...๐) = ((๐...๐) โช ((๐ + 1)...๐))) | |
14 | 3, 13 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ (๐...๐) = ((๐...๐) โช ((๐ + 1)...๐))) |
15 | 6 | uneq1d 4162 | . . . 4 โข (๐ โ ((๐...๐) โช ((๐ + 1)...๐)) = ({๐} โช ((๐ + 1)...๐))) |
16 | 14, 15 | eqtrd 2771 | . . 3 โข (๐ โ (๐...๐) = ({๐} โช ((๐ + 1)...๐))) |
17 | fzfid 13945 | . . 3 โข (๐ โ (๐...๐) โ Fin) | |
18 | fprod1p.2 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ (๐...๐)) โ ๐ด โ โ) | |
19 | 12, 16, 17, 18 | fprodsplit 15917 | . 2 โข (๐ โ โ๐ โ (๐...๐)๐ด = (โ๐ โ {๐}๐ด ยท โ๐ โ ((๐ + 1)...๐)๐ด)) |
20 | fprod1p.3 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐ โ ๐ด = ๐ต) | |
21 | 20 | eleq1d 2817 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (๐ด โ โ โ ๐ต โ โ)) |
22 | 18 | ralrimiva 3145 | . . . . 5 โข (๐ โ โ๐ โ (๐...๐)๐ด โ โ) |
23 | 21, 22, 3 | rspcdva 3613 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
24 | 20 | prodsn 15913 | . . . 4 โข ((๐ โ (๐...๐) โง ๐ต โ โ) โ โ๐ โ {๐}๐ด = ๐ต) |
25 | 3, 23, 24 | syl2anc 583 | . . 3 โข (๐ โ โ๐ โ {๐}๐ด = ๐ต) |
26 | 25 | oveq1d 7427 | . 2 โข (๐ โ (โ๐ โ {๐}๐ด ยท โ๐ โ ((๐ + 1)...๐)๐ด) = (๐ต ยท โ๐ โ ((๐ + 1)...๐)๐ด)) |
27 | 19, 26 | eqtrd 2771 | 1 โข (๐ โ โ๐ โ (๐...๐)๐ด = (๐ต ยท โ๐ โ ((๐ + 1)...๐)๐ด)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1540 โ wcel 2105 โช cun 3946 โฉ cin 3947 โ c0 4322 {csn 4628 class class class wbr 5148 โcfv 6543 (class class class)co 7412 โcc 11114 1c1 11117 + caddc 11119 ยท cmul 11121 < clt 11255 โคcz 12565 โคโฅcuz 12829 ...cfz 13491 โcprod 15856 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2702 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7729 ax-inf2 9642 ax-cnex 11172 ax-resscn 11173 ax-1cn 11174 ax-icn 11175 ax-addcl 11176 ax-addrcl 11177 ax-mulcl 11178 ax-mulrcl 11179 ax-mulcom 11180 ax-addass 11181 ax-mulass 11182 ax-distr 11183 ax-i2m1 11184 ax-1ne0 11185 ax-1rid 11186 ax-rnegex 11187 ax-rrecex 11188 ax-cnre 11189 ax-pre-lttri 11190 ax-pre-lttrn 11191 ax-pre-ltadd 11192 ax-pre-mulgt0 11193 ax-pre-sup 11194 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-nfc 2884 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rmo 3375 df-reu 3376 df-rab 3432 df-v 3475 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-int 4951 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-se 5632 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7368 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-om 7860 df-1st 7979 df-2nd 7980 df-frecs 8272 df-wrecs 8303 df-recs 8377 df-rdg 8416 df-1o 8472 df-er 8709 df-en 8946 df-dom 8947 df-sdom 8948 df-fin 8949 df-sup 9443 df-oi 9511 df-card 9940 df-pnf 11257 df-mnf 11258 df-xr 11259 df-ltxr 11260 df-le 11261 df-sub 11453 df-neg 11454 df-div 11879 df-nn 12220 df-2 12282 df-3 12283 df-n0 12480 df-z 12566 df-uz 12830 df-rp 12982 df-fz 13492 df-fzo 13635 df-seq 13974 df-exp 14035 df-hash 14298 df-cj 15053 df-re 15054 df-im 15055 df-sqrt 15189 df-abs 15190 df-clim 15439 df-prod 15857 |
This theorem is referenced by: fallfacfwd 15987 0fallfac 15988 etransclem4 45413 etransclem31 45440 etransclem35 45444 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |