Theorem fprod1p 15891

Description: Separate out the first term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 24-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprod1p.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fprod1p.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprod1p.3	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fprod1p	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (𝐵 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprod1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprod1p.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzfz1 13447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
4	3	elfzelzd 13441	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		fzsn 13482	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
7	6	ineq1d 4171	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
8	4	zred 12596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
9	8	ltp1d 12072	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < (𝑀 + 1))
10		fzdisj 13467	. . . . 5 ⊢ (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((𝑀...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
12	7, 11	eqtr3d 2773	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
13		fzsplit 13466	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
14	3, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
15	6	uneq1d 4119	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
16	14, 15	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
17		fzfid 13896	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
18		fprod1p.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
19	12, 16, 17, 18	fprodsplit 15889	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
20		fprod1p.3	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐵)
21	20	eleq1d 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
22	18	ralrimiva 3128	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
23	21, 22, 3	rspcdva 3577	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
24	20	prodsn 15885	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
25	3, 23, 24	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
26	25	oveq1d 7373	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴) = (𝐵 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
27	19, 26	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (𝐵 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∪ cun 3899   ∩ cin 3900  ∅c0 4285  {csn 4580   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   < clt 11166  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ...cfz 13423  ∏cprod 15826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-prod 15827

This theorem is referenced by:  fallfacfwd  15959  0fallfac  15960  etransclem4  46482  etransclem31  46509  etransclem35  46513