Theorem gausslemma2dlem0h 26091

Description: Auxiliary lemma 8 for gausslemma2d 26102. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2dlem0.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2dlem0.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2dlem0.n	⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem0h	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem gausslemma2dlem0h

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem0.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)
2		gausslemma2dlem0.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
3		gausslemma2dlem0.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
4	2, 3	gausslemma2dlem0b 26085	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 12160	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
6		gausslemma2dlem0.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
7	2, 6	gausslemma2dlem0d 26087	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
8	7	nn0zd 12159	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9	5, 8	zsubcld 12166	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 − 𝑀) ∈ ℤ)
10	2, 6, 3	gausslemma2dlem0g 26090	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐻)
11	4	nnred 11724	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℝ)
12	7	nn0red 12030	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
13	11, 12	subge0d 11301	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐻 − 𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐻))
14	10, 13	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐻 − 𝑀))
15		elnn0z 12068	. . 3 ⊢ ((𝐻 − 𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐻 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐻 − 𝑀)))
16	9, 14, 15	sylanbrc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 − 𝑀) ∈ ℕ0)
17	1, 16	eqeltrid 2837	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3838  {csn 4513   class class class wbr 5027  ‘cfv 6333  (class class class)co 7164  0cc0 10608  1c1 10609   ≤ cle 10747   − cmin 10941   / cdiv 11368  2c2 11764  4c4 11766  ℕ₀cn0 11969  ℤcz 12055  ⌊cfl 13244  ℙcprime 16105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-2o 8125  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-sup 8972  df-inf 8973  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-rp 12466  df-fl 13246  df-seq 13454  df-exp 13515  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-dvds 15693  df-prm 16106

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0i  26092  gausslemma2dlem6  26100  gausslemma2dlem7  26101  gausslemma2d  26102