Theorem gausslemma2dlem0h 27326

Description: Auxiliary lemma 8 for gausslemma2d 27337. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2dlem0.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2dlem0.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2dlem0.n	⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem0h	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem gausslemma2dlem0h

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem0.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)
2		gausslemma2dlem0.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
3		gausslemma2dlem0.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
4	2, 3	gausslemma2dlem0b 27320	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 12615	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
6		gausslemma2dlem0.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
7	2, 6	gausslemma2dlem0d 27322	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
8	7	nn0zd 12614	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9	5, 8	zsubcld 12702	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 − 𝑀) ∈ ℤ)
10	2, 6, 3	gausslemma2dlem0g 27325	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐻)
11	4	nnred 12255	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℝ)
12	7	nn0red 12563	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
13	11, 12	subge0d 11827	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐻 − 𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐻))
14	10, 13	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐻 − 𝑀))
15		elnn0z 12601	. . 3 ⊢ ((𝐻 − 𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐻 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐻 − 𝑀)))
16	9, 14, 15	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 − 𝑀) ∈ ℕ0)
17	1, 16	eqeltrid 2838	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3923  {csn 4601   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129  1c1 11130   ≤ cle 11270   − cmin 11466   / cdiv 11894  2c2 12295  4c4 12297  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  ⌊cfl 13807  ℙcprime 16690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fl 13809  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-dvds 16273  df-prm 16691

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0i  27327  gausslemma2dlem6  27335  gausslemma2dlem7  27336  gausslemma2d  27337