MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem0h Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem0h 26866
Description: Auxiliary lemma 8 for gausslemma2d 26877. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2dlem0.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0.m 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2dlem0.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2dlem0.n 𝑁 = (𝐻𝑀)
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem0h (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem gausslemma2dlem0h
StepHypRef Expression
1 gausslemma2dlem0.n . 2 𝑁 = (𝐻𝑀)
2 gausslemma2dlem0.p . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
3 gausslemma2dlem0.h . . . . . 6 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
42, 3gausslemma2dlem0b 26860 . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ ℕ)
54nnzd 12585 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ ℤ)
6 gausslemma2dlem0.m . . . . . 6 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
72, 6gausslemma2dlem0d 26862 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
87nn0zd 12584 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
95, 8zsubcld 12671 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝑀) ∈ ℤ)
102, 6, 3gausslemma2dlem0g 26865 . . . 4 (𝜑𝑀𝐻)
114nnred 12227 . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ ℝ)
127nn0red 12533 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
1311, 12subge0d 11804 . . . 4 (𝜑 → (0 ≤ (𝐻𝑀) ↔ 𝑀𝐻))
1410, 13mpbird 257 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (𝐻𝑀))
15 elnn0z 12571 . . 3 ((𝐻𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐻𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐻𝑀)))
169, 14, 15sylanbrc 584 . 2 (𝜑 → (𝐻𝑀) ∈ ℕ0)
171, 16eqeltrid 2838 1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  cdif 3946  {csn 4629   class class class wbr 5149  cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111  cle 11249  cmin 11444   / cdiv 11871  2c2 12267  4c4 12269  0cn0 12472  cz 12558  cfl 13755  cprime 16608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-prm 16609
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0i  26867  gausslemma2dlem6  26875  gausslemma2dlem7  26876  gausslemma2d  26877
  Copyright terms: Public domain W3C validator