MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem7 27293
Description: Lemma 7 for gausslemma2d 27294. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
gausslemma2d.h ๐ป = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
gausslemma2d.r ๐‘… = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐ป) โ†ฆ if((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฅ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2))))
gausslemma2d.m ๐‘€ = (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))
gausslemma2d.n ๐‘ = (๐ป โˆ’ ๐‘€)
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem7 (๐œ‘ โ†’ (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ) = 1)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ป   ๐‘ฅ,๐‘ƒ   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘€
Allowed substitution hints:   ๐‘…(๐‘ฅ)   ๐‘(๐‘ฅ)

Proof of Theorem gausslemma2dlem7
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.p . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
2 gausslemma2d.h . . 3 ๐ป = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
3 gausslemma2d.r . . 3 ๐‘… = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐ป) โ†ฆ if((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฅ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2))))
4 gausslemma2d.m . . 3 ๐‘€ = (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))
5 gausslemma2d.n . . 3 ๐‘ = (๐ป โˆ’ ๐‘€)
61, 2, 3, 4, 5gausslemma2dlem6 27292 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐ป) mod ๐‘ƒ) = ((((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) ยท (!โ€˜๐ป)) mod ๐‘ƒ))
71, 2gausslemma2dlem0b 27277 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„•)
87nnnn0d 12554 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„•0)
98faccld 14267 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐ป) โˆˆ โ„•)
109nncnd 12250 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐ป) โˆˆ โ„‚)
1110mullidd 11254 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐ป)) = (!โ€˜๐ป))
1211eqcomd 2733 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐ป) = (1 ยท (!โ€˜๐ป)))
1312oveq1d 7429 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐ป) mod ๐‘ƒ) = ((1 ยท (!โ€˜๐ป)) mod ๐‘ƒ))
1413eqeq1d 2729 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜๐ป) mod ๐‘ƒ) = ((((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) ยท (!โ€˜๐ป)) mod ๐‘ƒ) โ†” ((1 ยท (!โ€˜๐ป)) mod ๐‘ƒ) = ((((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) ยท (!โ€˜๐ป)) mod ๐‘ƒ)))
15 1zzd 12615 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
16 neg1z 12620 . . . . . . 7 -1 โˆˆ โ„ค
171, 4, 2, 5gausslemma2dlem0h 27283 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
18 zexpcl 14065 . . . . . . 7 ((-1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค)
1916, 17, 18sylancr 586 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค)
20 2z 12616 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„ค
21 zexpcl 14065 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ป โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐ป) โˆˆ โ„ค)
2220, 8, 21sylancr 586 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐ป) โˆˆ โ„ค)
2319, 22zmulcld 12694 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) โˆˆ โ„ค)
249nnzd 12607 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐ป) โˆˆ โ„ค)
25 eldifi 4122 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
26 prmnn 16636 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
271, 25, 263syl 18 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
281, 2gausslemma2dlem0c 27278 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐ป) gcd ๐‘ƒ) = 1)
29 cncongrcoprm 16632 . . . . 5 (((1 โˆˆ โ„ค โˆง ((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) โˆˆ โ„ค โˆง (!โ€˜๐ป) โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐ป) gcd ๐‘ƒ) = 1)) โ†’ (((1 ยท (!โ€˜๐ป)) mod ๐‘ƒ) = ((((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) ยท (!โ€˜๐ป)) mod ๐‘ƒ) โ†” (1 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ)))
3015, 23, 24, 27, 28, 29syl32anc 1376 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((1 ยท (!โ€˜๐ป)) mod ๐‘ƒ) = ((((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) ยท (!โ€˜๐ป)) mod ๐‘ƒ) โ†” (1 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ)))
3114, 30bitrd 279 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜๐ป) mod ๐‘ƒ) = ((((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) ยท (!โ€˜๐ป)) mod ๐‘ƒ) โ†” (1 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ)))
32 simpr 484 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (1 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ)) โ†’ (1 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ))
3326nnred 12249 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
34 prmgt1 16659 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ 1 < ๐‘ƒ)
3533, 34jca 511 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘ƒ))
3625, 35syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘ƒ))
37 1mod 13892 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘ƒ) โ†’ (1 mod ๐‘ƒ) = 1)
381, 36, 373syl 18 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 mod ๐‘ƒ) = 1)
3938adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (1 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ)) โ†’ (1 mod ๐‘ƒ) = 1)
4032, 39eqtr3d 2769 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (1 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ)) โ†’ (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ) = 1)
4140ex 412 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((1 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ) โ†’ (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ) = 1))
4231, 41sylbid 239 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜๐ป) mod ๐‘ƒ) = ((((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) ยท (!โ€˜๐ป)) mod ๐‘ƒ) โ†’ (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ) = 1))
436, 42mpd 15 1 (๐œ‘ โ†’ (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โˆ– cdif 3941  ifcif 4524  {csn 4624   class class class wbr 5142   โ†ฆ cmpt 5225  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„cr 11129  1c1 11131   ยท cmul 11135   < clt 11270   โˆ’ cmin 11466  -cneg 11467   / cdiv 11893  โ„•cn 12234  2c2 12289  4c4 12291  โ„•0cn0 12494  โ„คcz 12580  ...cfz 13508  โŒŠcfl 13779   mod cmo 13858  โ†‘cexp 14050  !cfa 14256   gcd cgcd 16460  โ„™cprime 16633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-ioo 13352  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-prod 15874  df-dvds 16223  df-gcd 16461  df-prm 16634
This theorem is referenced by:  gausslemma2d  27294
  Copyright terms: Public domain W3C validator