Theorem gausslemma2dlem7 27610

Description: Lemma 7 for gausslemma2d 27611. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2d.n	⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem7	⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		gausslemma2d.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3		gausslemma2d.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4		gausslemma2d.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
5		gausslemma2d.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)
6	1, 2, 3, 4, 5	gausslemma2dlem6 27609	. 2 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
7	1, 2	gausslemma2dlem0b 27594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)
8	7	nnnn0d 12590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
9	8	faccld 14349	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℕ)
10	9	nncnd 12274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℂ)
11	10	mullidd 11252	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · (!‘𝐻)) = (!‘𝐻))
12	11	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) = (1 · (!‘𝐻)))
13	12	oveq1d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((1 · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
14	13	eqeq1d 2762	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃) ↔ ((1 · (!‘𝐻)) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃)))
15		1zzd 12650	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
16		neg1z 12655	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℤ
17	1, 4, 2, 5	gausslemma2dlem0h 27600	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
18		zexpcl 14141	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
19	16, 17, 18	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
20		2z 12651	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
21		zexpcl 14141	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℕ0) → (2↑𝐻) ∈ ℤ)
22	20, 8, 21	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℤ)
23	19, 22	zmulcld 12732	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℤ)
24	9	nnzd 12642	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℤ)
25		eldifi 4078	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
26		prmnn 16765	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
27	1, 25, 26	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
28	1, 2	gausslemma2dlem0c 27595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1)
29		cncongrcoprm 16761	. . . . 5 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝐻) ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1)) → (((1 · (!‘𝐻)) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃)))
30	15, 23, 24, 27, 28, 29	syl32anc 1405	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1 · (!‘𝐻)) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃)))
31	14, 30	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃)))
32		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃)) → (1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃))
33	26	nnred 12273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
34		prmgt1 16789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
35	33, 34	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
36		1mod 13965	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
37	1, 25, 35, 36	4syl 20	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 mod 𝑃) = 1)
38	37	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃)) → (1 mod 𝑃) = 1)
39	32, 38	eqtr3d 2797	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃)) → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1)
40	39	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1))
41	31, 40	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃) → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1))
42	6, 41	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896  ifcif 4482  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℝcr 11124  1c1 11126   · cmul 11130   < clt 11268   − cmin 11466  -cneg 11467   / cdiv 11896  ℕcn 12258  2c2 12320  4c4 12322  ℕ₀cn0 12529  ℤcz 12616  ...cfz 13562  ⌊cfl 13852   mod cmo 13931  ↑cexp 14126  !cfa 14338   gcd cgcd 16585  ℙcprime 16762

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9621  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9413  df-inf 9414  df-oi 9483  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-rp 13044  df-ioo 13403  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-fl 13854  df-mod 13932  df-seq 14067  df-exp 14127  df-fac 14339  df-hash 14396  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-clim 15576  df-prod 15994  df-dvds 16344  df-gcd 16586  df-prm 16763

This theorem is used by:  gausslemma2d  27611