Theorem gausslemma2dlem7 27431

Description: Lemma 7 for gausslemma2d 27432. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2d.n	⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem7	⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		gausslemma2d.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3		gausslemma2d.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4		gausslemma2d.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
5		gausslemma2d.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)
6	1, 2, 3, 4, 5	gausslemma2dlem6 27430	. 2 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
7	1, 2	gausslemma2dlem0b 27415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)
8	7	nnnn0d 12584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
9	8	faccld 14319	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℕ)
10	9	nncnd 12279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℂ)
11	10	mullidd 11276	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · (!‘𝐻)) = (!‘𝐻))
12	11	eqcomd 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) = (1 · (!‘𝐻)))
13	12	oveq1d 7445	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((1 · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
14	13	eqeq1d 2736	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃) ↔ ((1 · (!‘𝐻)) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃)))
15		1zzd 12645	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
16		neg1z 12650	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℤ
17	1, 4, 2, 5	gausslemma2dlem0h 27421	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
18		zexpcl 14113	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
19	16, 17, 18	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
20		2z 12646	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
21		zexpcl 14113	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℕ0) → (2↑𝐻) ∈ ℤ)
22	20, 8, 21	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℤ)
23	19, 22	zmulcld 12725	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℤ)
24	9	nnzd 12637	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℤ)
25		eldifi 4140	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
26		prmnn 16707	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
27	1, 25, 26	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
28	1, 2	gausslemma2dlem0c 27416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1)
29		cncongrcoprm 16703	. . . . 5 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝐻) ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1)) → (((1 · (!‘𝐻)) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃)))
30	15, 23, 24, 27, 28, 29	syl32anc 1377	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1 · (!‘𝐻)) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃)))
31	14, 30	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃)))
32		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃)) → (1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃))
33	26	nnred 12278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
34		prmgt1 16730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
35	33, 34	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
36		1mod 13939	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
37	1, 25, 35, 36	4syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 mod 𝑃) = 1)
38	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃)) → (1 mod 𝑃) = 1)
39	32, 38	eqtr3d 2776	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃)) → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1)
40	39	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1))
41	31, 40	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃) → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1))
42	6, 41	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ∖ cdif 3959  ifcif 4530  {csn 4630   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℝcr 11151  1c1 11153   · cmul 11157   < clt 11292   − cmin 11489  -cneg 11490   / cdiv 11917  ℕcn 12263  2c2 12318  4c4 12320  ℕ₀cn0 12523  ℤcz 12610  ...cfz 13543  ⌊cfl 13826   mod cmo 13905  ↑cexp 14098  !cfa 14308   gcd cgcd 16527  ℙcprime 16704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-ioo 13387  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-prod 15936  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-prm 16705

This theorem is referenced by:  gausslemma2d  27432