MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem7 25667
Description: Lemma 7 for gausslemma2d 25668. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2d.n 𝑁 = (𝐻𝑀)
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem7 (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem7
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2 gausslemma2d.h . . 3 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3 gausslemma2d.r . . 3 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4 gausslemma2d.m . . 3 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
5 gausslemma2d.n . . 3 𝑁 = (𝐻𝑀)
61, 2, 3, 4, 5gausslemma2dlem6 25666 . 2 (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
71, 2gausslemma2dlem0b 25651 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻 ∈ ℕ)
87nnnn0d 11766 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 ∈ ℕ0)
98faccld 13458 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℕ)
109nncnd 11456 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℂ)
1110mulid2d 10457 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 · (!‘𝐻)) = (!‘𝐻))
1211eqcomd 2779 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘𝐻) = (1 · (!‘𝐻)))
1312oveq1d 6990 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((1 · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
1413eqeq1d 2775 . . . 4 (𝜑 → (((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃) ↔ ((1 · (!‘𝐻)) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃)))
15 1zzd 11825 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
16 neg1z 11830 . . . . . . 7 -1 ∈ ℤ
171, 4, 2, 5gausslemma2dlem0h 25657 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
18 zexpcl 13258 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
1916, 17, 18sylancr 579 . . . . . 6 (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
20 2z 11826 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
21 zexpcl 13258 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℕ0) → (2↑𝐻) ∈ ℤ)
2220, 8, 21sylancr 579 . . . . . 6 (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℤ)
2319, 22zmulcld 11905 . . . . 5 (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℤ)
249nnzd 11898 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℤ)
25 eldifi 3988 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
26 prmnn 15873 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
271, 25, 263syl 18 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
281, 2gausslemma2dlem0c 25652 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1)
29 cncongrcoprm 15869 . . . . 5 (((1 ∈ ℤ ∧ ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝐻) ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1)) → (((1 · (!‘𝐻)) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃)))
3015, 23, 24, 27, 28, 29syl32anc 1359 . . . 4 (𝜑 → (((1 · (!‘𝐻)) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃)))
3114, 30bitrd 271 . . 3 (𝜑 → (((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃)))
32 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃)) → (1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃))
3326nnred 11455 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
34 prmgt1 15896 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
3533, 34jca 504 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
3625, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
37 1mod 13085 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
381, 36, 373syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (1 mod 𝑃) = 1)
3938adantr 473 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃)) → (1 mod 𝑃) = 1)
4032, 39eqtr3d 2811 . . . 4 ((𝜑 ∧ (1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃)) → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1)
4140ex 405 . . 3 (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1))
4231, 41sylbid 232 . 2 (𝜑 → (((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃) → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1))
436, 42mpd 15 1 (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1508  wcel 2051  cdif 3821  ifcif 4345  {csn 4436   class class class wbr 4926  cmpt 5005  cfv 6186  (class class class)co 6975  cr 10333  1c1 10335   · cmul 10339   < clt 10473  cmin 10669  -cneg 10670   / cdiv 11097  cn 11438  2c2 11494  4c4 11496  0cn0 11706  cz 11792  ...cfz 12707  cfl 12974   mod cmo 13051  cexp 13243  !cfa 13447   gcd cgcd 15702  cprime 15870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-rep 5046  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-inf2 8897  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411  ax-pre-sup 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-int 4747  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-se 5364  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-isom 6195  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-1o 7904  df-2o 7905  df-oadd 7908  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-fin 8309  df-sup 8700  df-inf 8701  df-oi 8768  df-card 9161  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-div 11098  df-nn 11439  df-2 11502  df-3 11503  df-4 11504  df-5 11505  df-6 11506  df-n0 11707  df-z 11793  df-uz 12058  df-rp 12204  df-ioo 12557  df-fz 12708  df-fzo 12849  df-fl 12976  df-mod 13052  df-seq 13184  df-exp 13244  df-fac 13448  df-hash 13505  df-cj 14318  df-re 14319  df-im 14320  df-sqrt 14454  df-abs 14455  df-clim 14705  df-prod 15119  df-dvds 15467  df-gcd 15703  df-prm 15871
This theorem is referenced by:  gausslemma2d  25668
  Copyright terms: Public domain W3C validator