Theorem gausslemma2dlem7 27260

Description: Lemma 7 for gausslemma2d 27261. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2d.n	⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem7	⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		gausslemma2d.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3		gausslemma2d.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4		gausslemma2d.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
5		gausslemma2d.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)
6	1, 2, 3, 4, 5	gausslemma2dlem6 27259	. 2 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
7	1, 2	gausslemma2dlem0b 27244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)
8	7	nnnn0d 12479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
9	8	faccld 14225	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℕ)
10	9	nncnd 12178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℂ)
11	10	mullidd 11168	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · (!‘𝐻)) = (!‘𝐻))
12	11	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) = (1 · (!‘𝐻)))
13	12	oveq1d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((1 · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
14	13	eqeq1d 2731	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃) ↔ ((1 · (!‘𝐻)) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃)))
15		1zzd 12540	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
16		neg1z 12545	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℤ
17	1, 4, 2, 5	gausslemma2dlem0h 27250	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
18		zexpcl 14017	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
19	16, 17, 18	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
20		2z 12541	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
21		zexpcl 14017	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℕ0) → (2↑𝐻) ∈ ℤ)
22	20, 8, 21	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℤ)
23	19, 22	zmulcld 12620	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℤ)
24	9	nnzd 12532	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℤ)
25		eldifi 4090	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
26		prmnn 16620	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
27	1, 25, 26	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
28	1, 2	gausslemma2dlem0c 27245	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1)
29		cncongrcoprm 16616	. . . . 5 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝐻) ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1)) → (((1 · (!‘𝐻)) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃)))
30	15, 23, 24, 27, 28, 29	syl32anc 1380	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1 · (!‘𝐻)) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃)))
31	14, 30	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃)))
32		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃)) → (1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃))
33	26	nnred 12177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
34		prmgt1 16643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
35	33, 34	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
36		1mod 13841	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
37	1, 25, 35, 36	4syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 mod 𝑃) = 1)
38	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃)) → (1 mod 𝑃) = 1)
39	32, 38	eqtr3d 2766	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃)) → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1)
40	39	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1))
41	31, 40	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃) → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1))
42	6, 41	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3908  ifcif 4484  {csn 4585   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  1c1 11045   · cmul 11049   < clt 11184   − cmin 11381  -cneg 11382   / cdiv 11811  ℕcn 12162  2c2 12217  4c4 12219  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505  ...cfz 13444  ⌊cfl 13728   mod cmo 13807  ↑cexp 14002  !cfa 14214   gcd cgcd 16440  ℙcprime 16617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-ioo 13286  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-fac 14215  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-prod 15846  df-dvds 16199  df-gcd 16441  df-prm 16618

This theorem is referenced by:  gausslemma2d  27261