Theorem gausslemma2dlem7 26521

Description: Lemma 7 for gausslemma2d 26522. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2d.n	⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem7	⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		gausslemma2d.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3		gausslemma2d.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4		gausslemma2d.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
5		gausslemma2d.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)
6	1, 2, 3, 4, 5	gausslemma2dlem6 26520	. 2 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
7	1, 2	gausslemma2dlem0b 26505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)
8	7	nnnn0d 12293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
9	8	faccld 13998	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℕ)
10	9	nncnd 11989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℂ)
11	10	mulid2d 10993	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · (!‘𝐻)) = (!‘𝐻))
12	11	eqcomd 2744	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) = (1 · (!‘𝐻)))
13	12	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((1 · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
14	13	eqeq1d 2740	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃) ↔ ((1 · (!‘𝐻)) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃)))
15		1zzd 12351	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
16		neg1z 12356	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℤ
17	1, 4, 2, 5	gausslemma2dlem0h 26511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
18		zexpcl 13797	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
19	16, 17, 18	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
20		2z 12352	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
21		zexpcl 13797	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℕ0) → (2↑𝐻) ∈ ℤ)
22	20, 8, 21	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℤ)
23	19, 22	zmulcld 12432	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℤ)
24	9	nnzd 12425	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℤ)
25		eldifi 4061	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
26		prmnn 16379	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
27	1, 25, 26	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
28	1, 2	gausslemma2dlem0c 26506	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1)
29		cncongrcoprm 16375	. . . . 5 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝐻) ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1)) → (((1 · (!‘𝐻)) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃)))
30	15, 23, 24, 27, 28, 29	syl32anc 1377	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1 · (!‘𝐻)) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃)))
31	14, 30	bitrd 278	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃)))
32		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃)) → (1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃))
33	26	nnred 11988	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
34		prmgt1 16402	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
35	33, 34	jca 512	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
36	25, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
37		1mod 13623	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
38	1, 36, 37	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 mod 𝑃) = 1)
39	38	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃)) → (1 mod 𝑃) = 1)
40	32, 39	eqtr3d 2780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃)) → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1)
41	40	ex 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1))
42	31, 41	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃) → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1))
43	6, 42	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3884  ifcif 4459  {csn 4561   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  1c1 10872   · cmul 10876   < clt 11009   − cmin 11205  -cneg 11206   / cdiv 11632  ℕcn 11973  2c2 12028  4c4 12030  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ...cfz 13239  ⌊cfl 13510   mod cmo 13589  ↑cexp 13782  !cfa 13987   gcd cgcd 16201  ℙcprime 16376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-ioo 13083  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-prod 15616  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377

This theorem is referenced by:  gausslemma2d  26522