MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem7 26724
Description: Lemma 7 for gausslemma2d 26725. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
gausslemma2d.h ๐ป = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
gausslemma2d.r ๐‘… = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐ป) โ†ฆ if((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฅ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2))))
gausslemma2d.m ๐‘€ = (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))
gausslemma2d.n ๐‘ = (๐ป โˆ’ ๐‘€)
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem7 (๐œ‘ โ†’ (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ) = 1)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ป   ๐‘ฅ,๐‘ƒ   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘€
Allowed substitution hints:   ๐‘…(๐‘ฅ)   ๐‘(๐‘ฅ)

Proof of Theorem gausslemma2dlem7
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.p . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
2 gausslemma2d.h . . 3 ๐ป = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
3 gausslemma2d.r . . 3 ๐‘… = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐ป) โ†ฆ if((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฅ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2))))
4 gausslemma2d.m . . 3 ๐‘€ = (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))
5 gausslemma2d.n . . 3 ๐‘ = (๐ป โˆ’ ๐‘€)
61, 2, 3, 4, 5gausslemma2dlem6 26723 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐ป) mod ๐‘ƒ) = ((((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) ยท (!โ€˜๐ป)) mod ๐‘ƒ))
71, 2gausslemma2dlem0b 26708 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„•)
87nnnn0d 12474 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„•0)
98faccld 14185 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐ป) โˆˆ โ„•)
109nncnd 12170 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐ป) โˆˆ โ„‚)
1110mulid2d 11174 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐ป)) = (!โ€˜๐ป))
1211eqcomd 2743 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐ป) = (1 ยท (!โ€˜๐ป)))
1312oveq1d 7373 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐ป) mod ๐‘ƒ) = ((1 ยท (!โ€˜๐ป)) mod ๐‘ƒ))
1413eqeq1d 2739 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜๐ป) mod ๐‘ƒ) = ((((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) ยท (!โ€˜๐ป)) mod ๐‘ƒ) โ†” ((1 ยท (!โ€˜๐ป)) mod ๐‘ƒ) = ((((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) ยท (!โ€˜๐ป)) mod ๐‘ƒ)))
15 1zzd 12535 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
16 neg1z 12540 . . . . . . 7 -1 โˆˆ โ„ค
171, 4, 2, 5gausslemma2dlem0h 26714 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
18 zexpcl 13983 . . . . . . 7 ((-1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค)
1916, 17, 18sylancr 588 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค)
20 2z 12536 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„ค
21 zexpcl 13983 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ป โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐ป) โˆˆ โ„ค)
2220, 8, 21sylancr 588 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐ป) โˆˆ โ„ค)
2319, 22zmulcld 12614 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) โˆˆ โ„ค)
249nnzd 12527 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐ป) โˆˆ โ„ค)
25 eldifi 4087 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
26 prmnn 16551 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
271, 25, 263syl 18 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
281, 2gausslemma2dlem0c 26709 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐ป) gcd ๐‘ƒ) = 1)
29 cncongrcoprm 16547 . . . . 5 (((1 โˆˆ โ„ค โˆง ((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) โˆˆ โ„ค โˆง (!โ€˜๐ป) โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐ป) gcd ๐‘ƒ) = 1)) โ†’ (((1 ยท (!โ€˜๐ป)) mod ๐‘ƒ) = ((((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) ยท (!โ€˜๐ป)) mod ๐‘ƒ) โ†” (1 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ)))
3015, 23, 24, 27, 28, 29syl32anc 1379 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((1 ยท (!โ€˜๐ป)) mod ๐‘ƒ) = ((((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) ยท (!โ€˜๐ป)) mod ๐‘ƒ) โ†” (1 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ)))
3114, 30bitrd 279 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜๐ป) mod ๐‘ƒ) = ((((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) ยท (!โ€˜๐ป)) mod ๐‘ƒ) โ†” (1 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ)))
32 simpr 486 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (1 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ)) โ†’ (1 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ))
3326nnred 12169 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
34 prmgt1 16574 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ 1 < ๐‘ƒ)
3533, 34jca 513 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘ƒ))
3625, 35syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘ƒ))
37 1mod 13809 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘ƒ) โ†’ (1 mod ๐‘ƒ) = 1)
381, 36, 373syl 18 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 mod ๐‘ƒ) = 1)
3938adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (1 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ)) โ†’ (1 mod ๐‘ƒ) = 1)
4032, 39eqtr3d 2779 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (1 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ)) โ†’ (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ) = 1)
4140ex 414 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((1 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ) โ†’ (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ) = 1))
4231, 41sylbid 239 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜๐ป) mod ๐‘ƒ) = ((((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) ยท (!โ€˜๐ป)) mod ๐‘ƒ) โ†’ (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ) = 1))
436, 42mpd 15 1 (๐œ‘ โ†’ (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โˆ– cdif 3908  ifcif 4487  {csn 4587   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„cr 11051  1c1 11053   ยท cmul 11057   < clt 11190   โˆ’ cmin 11386  -cneg 11387   / cdiv 11813  โ„•cn 12154  2c2 12209  4c4 12211  โ„•0cn0 12414  โ„คcz 12500  ...cfz 13425  โŒŠcfl 13696   mod cmo 13775  โ†‘cexp 13968  !cfa 14174   gcd cgcd 16375  โ„™cprime 16548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-ioo 13269  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13908  df-exp 13969  df-fac 14175  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-prod 15790  df-dvds 16138  df-gcd 16376  df-prm 16549
This theorem is referenced by:  gausslemma2d  26725
  Copyright terms: Public domain W3C validator