Theorem gausslemma2dlem7 27709

Description: Lemma 7 for gausslemma2d 27710. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2d.n	⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem7	⊢ (𝜑 → ((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		gausslemma2d.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3		gausslemma2d.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4		gausslemma2d.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
5		gausslemma2d.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)
6	1, 2, 3, 4, 5	gausslemma2dlem6 27708	. 2 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = (((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
7	1, 2	gausslemma2dlem0b 27693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)
8	7	nnnn0d 12674	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
9	8	faccld 14435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℕ)
10	9	nncnd 12358	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℂ)
11	10	mullidd 11334	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · (!‘𝐻)) = (!‘𝐻))
12	11	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) = (1 · (!‘𝐻)))
13	12	oveq1d 7439	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((1 · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
14	13	eqeq1d 2762	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝐻) mod 𝑃) = (((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃) ↔ ((1 · (!‘𝐻)) mod 𝑃) = (((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃)))
15		1zzd 12734	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
16		neg1z 12739	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℤ
17	1, 4, 2, 5	gausslemma2dlem0h 27699	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
18		zexpcl 14226	. . . . . . 7 ⊢ (( -1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ( -1↑𝑁) ∈ ℤ)
19	16, 17, 18	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( -1↑𝑁) ∈ ℤ)
20		2z 12735	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
21		zexpcl 14226	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℕ0) → (2↑𝐻) ∈ ℤ)
22	20, 8, 21	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℤ)
23	19, 22	zmulcld 12816	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℤ)
24	9	nnzd 12726	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℤ)
25		eldifi 4066	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
26		prmnn 16858	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
27	1, 25, 26	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
28	1, 2	gausslemma2dlem0c 27694	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1)
29		cncongrcoprm 16854	. . . . 5 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ (( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝐻) ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1)) → (((1 · (!‘𝐻)) mod 𝑃) = (((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = ((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃)))
30	15, 23, 24, 27, 28, 29	syl32anc 1405	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1 · (!‘𝐻)) mod 𝑃) = (((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = ((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃)))
31	14, 30	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝐻) mod 𝑃) = (((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = ((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃)))
32		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (1 mod 𝑃) = ((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃)) → (1 mod 𝑃) = ((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃))
33	26	nnred 12357	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
34		prmgt1 16882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
35	33, 34	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
36		1mod 14050	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
37	1, 25, 35, 36	4syl 20	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 mod 𝑃) = 1)
38	37	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (1 mod 𝑃) = ((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃)) → (1 mod 𝑃) = 1)
39	32, 38	eqtr3d 2797	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (1 mod 𝑃) = ((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃)) → ((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1)
40	39	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = ((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) → ((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1))
41	31, 40	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝐻) mod 𝑃) = (((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃) → ((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1))
42	6, 41	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∖ cdif 4044  ifcif 4481  {csn 4584   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℝcr 11206  1c1 11208   · cmul 11212   < clt 11350   − cmin 11548   -cneg 11549   / cdiv 11980  ℕcn 12342  2c2 12404  4c4 12406  ℕ₀cn0 12613  ℤcz 12700  ...cfz 13646  ⌊cfl 13937   mod cmo 14016  ↑cexp 14211  !cfa 14424   gcd cgcd 16673  ℙcprime 16855

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-rp 13128  df-ioo 13487  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-mod 14017  df-seq 14152  df-exp 14212  df-fac 14425  df-hash 14482  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-clim 15664  df-prod 16082  df-dvds 16432  df-gcd 16674  df-prm 16856

This theorem is used by:  gausslemma2d  27710