Theorem znfi 20839

Description: The ℤ/nℤ structure is a finite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zntos.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znhash.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znfi	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem znfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zntos.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2		znhash.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3	1, 2	znhash 20838	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝐵) = 𝑁)
4		nnnn0 12313	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	3, 4	eqeltrd 2838	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
6	2	fvexi 6825	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
7		hashclb 14145	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
9	5, 8	sylibr 233	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441  ‘cfv 6465  Fincfn 8781  ℕcn 12046  ℕ₀cn0 12306  ♯chash 14117  Basecbs 16982  ℤ/nℤczn 20776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021  ax-pre-sup 11022  ax-addf 11023  ax-mulf 11024

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4851  df-int 4893  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-om 7758  df-1st 7876  df-2nd 7877  df-tpos 8089  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-1o 8344  df-er 8546  df-ec 8548  df-qs 8552  df-map 8665  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-fin 8785  df-sup 9271  df-inf 9272  df-card 9768  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-div 11706  df-nn 12047  df-2 12109  df-3 12110  df-4 12111  df-5 12112  df-6 12113  df-7 12114  df-8 12115  df-9 12116  df-n0 12307  df-z 12393  df-dec 12511  df-uz 12656  df-rp 12804  df-fz 13313  df-fzo 13456  df-fl 13585  df-mod 13663  df-seq 13795  df-hash 14118  df-dvds 16036  df-struct 16918  df-sets 16935  df-slot 16953  df-ndx 16965  df-base 16983  df-ress 17012  df-plusg 17045  df-mulr 17046  df-starv 17047  df-sca 17048  df-vsca 17049  df-ip 17050  df-tset 17051  df-ple 17052  df-ds 17054  df-unif 17055  df-0g 17222  df-imas 17289  df-qus 17290  df-mgm 18396  df-sgrp 18445  df-mnd 18456  df-mhm 18500  df-grp 18649  df-minusg 18650  df-sbg 18651  df-mulg 18770  df-subg 18821  df-nsg 18822  df-eqg 18823  df-ghm 18901  df-cmn 19456  df-abl 19457  df-mgp 19789  df-ur 19806  df-ring 19853  df-cring 19854  df-oppr 19930  df-dvdsr 19951  df-rnghom 20027  df-subrg 20094  df-lmod 20197  df-lss 20266  df-lsp 20306  df-sra 20506  df-rgmod 20507  df-lidl 20508  df-rsp 20509  df-2idl 20575  df-cnfld 20670  df-zring 20743  df-zrh 20777  df-zn 20780

This theorem is referenced by:  znfld  20840  dchrfi  26475  dchrabs  26480  dchrptlem1  26484  dchrptlem2  26485  dchrpt  26487  dchrsum  26489  dchrhash  26491  isnumbasgrplem3  41134