Theorem pgpfi1 19541

Description: A finite group with order a power of a prime 𝑃 is a 𝑃-group. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pgpfi1.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pgpfi1	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁) → 𝑃 pGrp 𝐺))

Proof of Theorem pgpfi1

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1190	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		simpl1 1189	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
3		simpll3 1212	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
5		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁))
6	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ ℙ)
7		prmnn 16636	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ ℕ)
9	8, 3	nnexpcld 14231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃↑𝑁) ∈ ℕ)
10	9	nnnn0d 12554	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃↑𝑁) ∈ ℕ0)
11	5, 10	eqeltrd 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
12		pgpfi1.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
13	12	fvexi 6905	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 ∈ V
14		hashclb 14341	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑋 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑋) ∈ ℕ0))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
16	11, 15	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
17		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
18		eqid 2727	. . . . . . . . 9 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
19	12, 18	oddvds2 19512	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝑋))
20	4, 16, 17, 19	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝑋))
21	20, 5	breqtrd 5168	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑁))
22		oveq2 7422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑃↑𝑛) = (𝑃↑𝑁))
23	22	breq2d 5154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑁)))
24	23	rspcev 3607	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑛))
25	3, 21, 24	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑛))
26	12, 18	odcl2 19511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
27	4, 16, 17, 26	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
28		pcprmpw2 16842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))))
29		pcprmpw 16843	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))))
30	28, 29	bitr4d 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
31	6, 27, 30	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
32	25, 31	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛))
33	32	ralrimiva 3141	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛))
34	12, 18	ispgp 19538	. . 3 ⊢ (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
35	1, 2, 33, 34	syl3anbrc 1341	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) → 𝑃 pGrp 𝐺)
36	35	ex 412	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁) → 𝑃 pGrp 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3056  ∃wrex 3065  Vcvv 3469   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8955  ℕcn 12234  ℕ₀cn0 12494  ↑cexp 14050  ♯chash 14313   ∥ cdvds 16222  ℙcprime 16633   pCnt cpc 16796  Basecbs 17171  Grpcgrp 18881  odcod 19470   pGrp cpgp 19472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-acn 9957  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-sum 15657  df-dvds 16223  df-gcd 16461  df-prm 16634  df-pc 16797  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-0g 17414  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-eqg 19071  df-od 19474  df-pgp 19476

This theorem is referenced by:  pgp0  19542  pgpfi  19551