Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfi1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfi1 18394
 Description: A finite group with order a power of a prime 𝑃 is a 𝑃-group. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pgpfi1.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
pgpfi1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑋) = (𝑃𝑁) → 𝑃 pGrp 𝐺))

Proof of Theorem pgpfi1
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1201 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) → 𝑃 ∈ ℙ)
2 simpl1 1199 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
3 simpll3 1230 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑁 ∈ ℕ0)
42adantr 474 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
5 simplr 759 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁))
61adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑃 ∈ ℙ)
7 prmnn 15793 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑃 ∈ ℕ)
98, 3nnexpcld 13351 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑃𝑁) ∈ ℕ)
109nnnn0d 11702 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑃𝑁) ∈ ℕ0)
115, 10eqeltrd 2859 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
12 pgpfi1.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (Base‘𝐺)
1312fvexi 6460 . . . . . . . . . 10 𝑋 ∈ V
14 hashclb 13464 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ V → (𝑋 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑋) ∈ ℕ0))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
1611, 15sylibr 226 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
17 simpr 479 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
18 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
1912, 18oddvds2 18367 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝑋))
204, 16, 17, 19syl3anc 1439 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝑋))
2120, 5breqtrd 4912 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃𝑁))
22 oveq2 6930 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (𝑃𝑛) = (𝑃𝑁))
2322breq2d 4898 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃𝑁)))
2423rspcev 3511 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃𝑛))
253, 21, 24syl2anc 579 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃𝑛))
2612, 18odcl2 18366 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
274, 16, 17, 26syl3anc 1439 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
28 pcprmpw2 15990 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))))
29 pcprmpw 15991 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))))
3028, 29bitr4d 274 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛)))
316, 27, 30syl2anc 579 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛)))
3225, 31mpbid 224 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛))
3332ralrimiva 3148 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) → ∀𝑥𝑋𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛))
3412, 18ispgp 18391 . . 3 (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛)))
351, 2, 33, 34syl3anbrc 1400 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) → 𝑃 pGrp 𝐺)
3635ex 403 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑋) = (𝑃𝑁) → 𝑃 pGrp 𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∀wral 3090  ∃wrex 3091  Vcvv 3398   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Fincfn 8241  ℕcn 11374  ℕ0cn0 11642  ↑cexp 13178  ♯chash 13435   ∥ cdvds 15387  ℙcprime 15790   pCnt cpc 15945  Basecbs 16255  Grpcgrp 17809  odcod 18328   pGrp cpgp 18330 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-disj 4855  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-omul 7848  df-er 8026  df-ec 8028  df-qs 8032  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-acn 9101  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-sum 14825  df-dvds 15388  df-gcd 15623  df-prm 15791  df-pc 15946  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mulg 17928  df-subg 17975  df-eqg 17977  df-od 18332  df-pgp 18334 This theorem is referenced by:  pgp0  18395  pgpfi  18404
 Copyright terms: Public domain W3C validator