Theorem pgpfi1 19522

Description: A finite group with order a power of a prime 𝑃 is a 𝑃-group. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pgpfi1.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pgpfi1	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁) → 𝑃 pGrp 𝐺))

Proof of Theorem pgpfi1

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1193	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		simpl1 1192	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
3		simpll3 1215	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
5		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁))
6	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ ℙ)
7		prmnn 16599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ ℕ)
9	8, 3	nnexpcld 14166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃↑𝑁) ∈ ℕ)
10	9	nnnn0d 12460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃↑𝑁) ∈ ℕ0)
11	5, 10	eqeltrd 2834	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
12		pgpfi1.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
13	12	fvexi 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 ∈ V
14		hashclb 14279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑋 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑋) ∈ ℕ0))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
16	11, 15	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
17		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
18		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
19	12, 18	oddvds2 19493	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝑋))
20	4, 16, 17, 19	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝑋))
21	20, 5	breqtrd 5122	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑁))
22		oveq2 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑃↑𝑛) = (𝑃↑𝑁))
23	22	breq2d 5108	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑁)))
24	23	rspcev 3574	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑛))
25	3, 21, 24	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑛))
26	12, 18	odcl2 19492	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
27	4, 16, 17, 26	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
28		pcprmpw2 16808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))))
29		pcprmpw 16809	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))))
30	28, 29	bitr4d 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
31	6, 27, 30	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
32	25, 31	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛))
33	32	ralrimiva 3126	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛))
34	12, 18	ispgp 19519	. . 3 ⊢ (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
35	1, 2, 33, 34	syl3anbrc 1344	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) → 𝑃 pGrp 𝐺)
36	35	ex 412	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁) → 𝑃 pGrp 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  ∃wrex 3058  Vcvv 3438   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Fincfn 8881  ℕcn 12143  ℕ₀cn0 12399  ↑cexp 13982  ♯chash 14251   ∥ cdvds 16177  ℙcprime 16596   pCnt cpc 16762  Basecbs 17134  Grpcgrp 18861  odcod 19451   pGrp cpgp 19453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-disj 5064  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8633  df-ec 8635  df-qs 8639  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-card 9849  df-acn 9852  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-mod 13788  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-clim 15409  df-sum 15608  df-dvds 16178  df-gcd 16420  df-prm 16597  df-pc 16763  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18996  df-subg 19051  df-eqg 19053  df-od 19455  df-pgp 19457

This theorem is referenced by:  pgp0  19523  pgpfi  19532