Theorem pgpfi1 19200

Description: A finite group with order a power of a prime 𝑃 is a 𝑃-group. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pgpfi1.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pgpfi1	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁) → 𝑃 pGrp 𝐺))

Proof of Theorem pgpfi1

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1191	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		simpl1 1190	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
3		simpll3 1213	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	2	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
5		simplr 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁))
6	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ ℙ)
7		prmnn 16379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ ℕ)
9	8, 3	nnexpcld 13960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃↑𝑁) ∈ ℕ)
10	9	nnnn0d 12293	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃↑𝑁) ∈ ℕ0)
11	5, 10	eqeltrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
12		pgpfi1.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
13	12	fvexi 6788	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 ∈ V
14		hashclb 14073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑋 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑋) ∈ ℕ0))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
16	11, 15	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
17		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
18		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
19	12, 18	oddvds2 19173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝑋))
20	4, 16, 17, 19	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝑋))
21	20, 5	breqtrd 5100	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑁))
22		oveq2 7283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑃↑𝑛) = (𝑃↑𝑁))
23	22	breq2d 5086	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑁)))
24	23	rspcev 3561	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑛))
25	3, 21, 24	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑛))
26	12, 18	odcl2 19172	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
27	4, 16, 17, 26	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
28		pcprmpw2 16583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))))
29		pcprmpw 16584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))))
30	28, 29	bitr4d 281	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
31	6, 27, 30	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
32	25, 31	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛))
33	32	ralrimiva 3103	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛))
34	12, 18	ispgp 19197	. . 3 ⊢ (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
35	1, 2, 33, 34	syl3anbrc 1342	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) → 𝑃 pGrp 𝐺)
36	35	ex 413	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁) → 𝑃 pGrp 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  Vcvv 3432   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ↑cexp 13782  ♯chash 14044   ∥ cdvds 15963  ℙcprime 16376   pCnt cpc 16537  Basecbs 16912  Grpcgrp 18577  odcod 19132   pGrp cpgp 19134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-disj 5040  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-ec 8500  df-qs 8504  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-acn 9700  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377  df-pc 16538  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-eqg 18754  df-od 19136  df-pgp 19138

This theorem is referenced by:  pgp0  19201  pgpfi  19210