Theorem pgpfi1 19818

Description: A finite group with order a power of a prime 𝑃 is a 𝑃-group. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pgpfi1.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pgpfi1	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁) → 𝑃 pGrp 𝐺))

Proof of Theorem pgpfi1

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1211	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		simpl1 1210	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
3		simpll3 1233	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	2	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
5		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁))
6	1	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ ℙ)
7		prmnn 16858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ ℕ)
9	8, 3	nnexpcld 14396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃↑𝑁) ∈ ℕ)
10	9	nnnn0d 12674	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃↑𝑁) ∈ ℕ0)
11	5, 10	eqeltrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
12		pgpfi1.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
13	12	fvexi 6904	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 ∈ V
14		hashclb 14509	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑋 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑋) ∈ ℕ0))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
16	11, 15	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
17		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
18		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
19	12, 18	oddvds2 19789	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝑋))
20	4, 16, 17, 19	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝑋))
21	20, 5	breqtrd 5130	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑁))
22		oveq2 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑃↑𝑛) = (𝑃↑𝑁))
23	22	breq2d 5114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑁)))
24	23	rspcev 3576	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑛))
25	3, 21, 24	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑛))
26	12, 18	odcl2 19788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
27	4, 16, 17, 26	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
28		pcprmpw2 17069	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))))
29		pcprmpw 17070	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))))
30	28, 29	bitr4d 285	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
31	6, 27, 30	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
32	25, 31	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛))
33	32	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛))
34	12, 18	ispgp 19815	. . 3 ⊢ (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
35	1, 2, 33, 34	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) → 𝑃 pGrp 𝐺)
36	35	ex 418	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁) → 𝑃 pGrp 𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Fincfn 8980  ℕcn 12342  ℕ₀cn0 12613  ↑cexp 14211  ♯chash 14481   ∥ cdvds 16431  ℙcprime 16855   pCnt cpc 17023  Basecbs 17396  Grpcgrp 19153  odcod 19747   pGrp cpgp 19749

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-omul 8488  df-er 8724  df-ec 8726  df-qs 8730  df-map 8856  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-card 10027  df-acn 10030  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-mod 14017  df-seq 14152  df-exp 14212  df-hash 14482  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-clim 15664  df-sum 15863  df-dvds 16432  df-gcd 16674  df-prm 16856  df-pc 17024  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-0g 17621  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-mulg 19287  df-subg 19342  df-eqg 19344  df-od 19751  df-pgp 19753

This theorem is used by:  pgp0  19819  pgpfi  19828