Theorem pgpfi1 19860

Description: A finite group with order a power of a prime 𝑃 is a 𝑃-group. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pgpfi1.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pgpfi1	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁) → 𝑃 pGrp 𝐺))

Proof of Theorem pgpfi1

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1211	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		simpl1 1210	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
3		simpll3 1233	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	2	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
5		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁))
6	1	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ ℙ)
7		prmnn 16893	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ ℕ)
9	8, 3	nnexpcld 14430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃↑𝑁) ∈ ℕ)
10	9	nnnn0d 12707	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃↑𝑁) ∈ ℕ0)
11	5, 10	eqeltrd 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
12		pgpfi1.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
13	12	fvexi 6930	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 ∈ V
14		hashclb 14543	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑋 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑋) ∈ ℕ0))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
16	11, 15	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
17		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
18		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
19	12, 18	oddvds2 19831	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝑋))
20	4, 16, 17, 19	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝑋))
21	20, 5	breqtrd 5137	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑁))
22		oveq2 7459	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑃↑𝑛) = (𝑃↑𝑁))
23	22	breq2d 5120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑁)))
24	23	rspcev 3580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑛))
25	3, 21, 24	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑛))
26	12, 18	odcl2 19830	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
27	4, 16, 17, 26	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
28		pcprmpw2 17104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))))
29		pcprmpw 17105	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))))
30	28, 29	bitr4d 285	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
31	6, 27, 30	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
32	25, 31	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛))
33	32	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛))
34	12, 18	ispgp 19857	. . 3 ⊢ (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
35	1, 2, 33, 34	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁)) → 𝑃 pGrp 𝐺)
36	35	ex 418	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑁) → 𝑃 pGrp 𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Fincfn 9011  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  ↑cexp 14244  ♯chash 14515   ∥ cdvds 16466  ℙcprime 16890   pCnt cpc 17058  Basecbs 17431  Grpcgrp 19194  odcod 19789   pGrp cpgp 19791

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-disj 5076  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-oadd 8518  df-omul 8519  df-er 8755  df-ec 8757  df-qs 8761  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-acn 10060  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-clim 15699  df-sum 15898  df-dvds 16467  df-gcd 16709  df-prm 16891  df-pc 17059  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-mulg 19328  df-subg 19383  df-eqg 19385  df-od 19793  df-pgp 19795

This theorem is used by:  pgp0  19861  pgpfi  19870