MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfi1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfi1 18394
Description: A finite group with order a power of a prime 𝑃 is a 𝑃-group. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pgpfi1.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
pgpfi1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑋) = (𝑃𝑁) → 𝑃 pGrp 𝐺))

Proof of Theorem pgpfi1
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1201 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) → 𝑃 ∈ ℙ)
2 simpl1 1199 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
3 simpll3 1230 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑁 ∈ ℕ0)
42adantr 474 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
5 simplr 759 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁))
61adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑃 ∈ ℙ)
7 prmnn 15793 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑃 ∈ ℕ)
98, 3nnexpcld 13351 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑃𝑁) ∈ ℕ)
109nnnn0d 11702 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑃𝑁) ∈ ℕ0)
115, 10eqeltrd 2859 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
12 pgpfi1.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (Base‘𝐺)
1312fvexi 6460 . . . . . . . . . 10 𝑋 ∈ V
14 hashclb 13464 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ V → (𝑋 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑋) ∈ ℕ0))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
1611, 15sylibr 226 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
17 simpr 479 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
18 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
1912, 18oddvds2 18367 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝑋))
204, 16, 17, 19syl3anc 1439 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝑋))
2120, 5breqtrd 4912 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃𝑁))
22 oveq2 6930 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (𝑃𝑛) = (𝑃𝑁))
2322breq2d 4898 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃𝑁)))
2423rspcev 3511 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃𝑛))
253, 21, 24syl2anc 579 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃𝑛))
2612, 18odcl2 18366 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
274, 16, 17, 26syl3anc 1439 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
28 pcprmpw2 15990 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))))
29 pcprmpw 15991 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))))
3028, 29bitr4d 274 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛)))
316, 27, 30syl2anc 579 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛)))
3225, 31mpbid 224 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛))
3332ralrimiva 3148 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) → ∀𝑥𝑋𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛))
3412, 18ispgp 18391 . . 3 (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛)))
351, 2, 33, 34syl3anbrc 1400 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑋) = (𝑃𝑁)) → 𝑃 pGrp 𝐺)
3635ex 403 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑋) = (𝑃𝑁) → 𝑃 pGrp 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wral 3090  wrex 3091  Vcvv 3398   class class class wbr 4886  cfv 6135  (class class class)co 6922  Fincfn 8241  cn 11374  0cn0 11642  cexp 13178  chash 13435  cdvds 15387  cprime 15790   pCnt cpc 15945  Basecbs 16255  Grpcgrp 17809  odcod 18328   pGrp cpgp 18330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-disj 4855  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-omul 7848  df-er 8026  df-ec 8028  df-qs 8032  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-acn 9101  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-sum 14825  df-dvds 15388  df-gcd 15623  df-prm 15791  df-pc 15946  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mulg 17928  df-subg 17975  df-eqg 17977  df-od 18332  df-pgp 18334
This theorem is referenced by:  pgp0  18395  pgpfi  18404
  Copyright terms: Public domain W3C validator