Theorem irrapxlem6 43404

Description: Lemma for irrapx1 43405. Explicit description of a non-closed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
irrapxlem6	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem irrapxlem6

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 778	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → 𝑎 ∈ ℚ)
2		simpr1 1208	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → 0 < 𝑎)
3		simpr3 1210	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))
4	2, 3	jca 519	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2)))
5		breq2 5104	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (0 < 𝑦 ↔ 0 < 𝑎))
6		fvoveq1 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (abs‘(𝑦 − 𝐴)) = (abs‘(𝑎 − 𝐴)))
7		fveq2 6867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (denom‘𝑦) = (denom‘𝑎))
8	7	oveq1d 7411	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ((denom‘𝑦)↑-2) = ((denom‘𝑎)↑-2))
9	6, 8	breq12d 5113	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ((abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2) ↔ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2)))
10	5, 9	anbi12d 641	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ((0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2)) ↔ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))))
11	10	elrab 3650	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ↔ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))))
12	1, 4, 11	sylanbrc 592	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))})
13		simpr2 1209	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵)
14		fvoveq1 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) = (abs‘(𝑎 − 𝐴)))
15	14	breq1d 5110	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ↔ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵))
16	15	rspcev 3581	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)
17	12, 13, 16	syl2anc 593	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)
18		irrapxlem5 43403	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℚ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2)))
19	17, 18	r19.29a 3170	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   ∈ wcel 2142  ∃wrex 3086  {crab 3414   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  0cc0 11073   < clt 11216   − cmin 11414  -cneg 11415  2c2 12272  ℚcq 12949  ℝ⁺crp 12993  ↑cexp 14074  abscabs 15261  denomcdenom 16769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-inf 9389  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-ico 13355  df-fz 13513  df-fl 13802  df-mod 13880  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14344  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-dvds 16287  df-gcd 16529  df-numer 16770  df-denom 16771

This theorem is referenced by:  irrapx1  43405