Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  irrapxlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem irrapxlem6 40649
Description: Lemma for irrapx1 40650. Explicit description of a non-closed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
irrapxlem6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem irrapxlem6
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 766 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → 𝑎 ∈ ℚ)
2 simpr1 1193 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → 0 < 𝑎)
3 simpr3 1195 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))
42, 3jca 512 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2)))
5 breq2 5078 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑎 → (0 < 𝑦 ↔ 0 < 𝑎))
6 fvoveq1 7298 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑎 → (abs‘(𝑦𝐴)) = (abs‘(𝑎𝐴)))
7 fveq2 6774 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑎 → (denom‘𝑦) = (denom‘𝑎))
87oveq1d 7290 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑎 → ((denom‘𝑦)↑-2) = ((denom‘𝑎)↑-2))
96, 8breq12d 5087 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑎 → ((abs‘(𝑦𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2) ↔ (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2)))
105, 9anbi12d 631 . . . . 5 (𝑦 = 𝑎 → ((0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2)) ↔ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))))
1110elrab 3624 . . . 4 (𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ↔ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))))
121, 4, 11sylanbrc 583 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))})
13 simpr2 1194 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → (abs‘(𝑎𝐴)) < 𝐵)
14 fvoveq1 7298 . . . . 5 (𝑥 = 𝑎 → (abs‘(𝑥𝐴)) = (abs‘(𝑎𝐴)))
1514breq1d 5084 . . . 4 (𝑥 = 𝑎 → ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵 ↔ (abs‘(𝑎𝐴)) < 𝐵))
1615rspcev 3561 . . 3 ((𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵)
1712, 13, 16syl2anc 584 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵)
18 irrapxlem5 40648 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℚ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2)))
1917, 18r19.29a 3218 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086  wcel 2106  wrex 3065  {crab 3068   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871   < clt 11009  cmin 11205  -cneg 11206  2c2 12028  cq 12688  +crp 12730  cexp 13782  abscabs 14945  denomcdenom 16438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-ico 13085  df-fz 13240  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-numer 16439  df-denom 16440
This theorem is referenced by:  irrapx1  40650
  Copyright terms: Public domain W3C validator