Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  irrapxlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem irrapxlem6 41867
Description: Lemma for irrapx1 41868. Explicit description of a non-closed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
irrapxlem6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑦 ∈ β„š ∣ (0 < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘¦)↑-2))} (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝐡)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦

Proof of Theorem irrapxlem6
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 765 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ β„š) ∧ (0 < π‘Ž ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐴)) < 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘Ž)↑-2))) β†’ π‘Ž ∈ β„š)
2 simpr1 1192 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ β„š) ∧ (0 < π‘Ž ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐴)) < 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘Ž)↑-2))) β†’ 0 < π‘Ž)
3 simpr3 1194 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ β„š) ∧ (0 < π‘Ž ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐴)) < 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘Ž)↑-2))) β†’ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘Ž)↑-2))
42, 3jca 510 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ β„š) ∧ (0 < π‘Ž ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐴)) < 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘Ž)↑-2))) β†’ (0 < π‘Ž ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘Ž)↑-2)))
5 breq2 5151 . . . . . 6 (𝑦 = π‘Ž β†’ (0 < 𝑦 ↔ 0 < π‘Ž))
6 fvoveq1 7434 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘Ž β†’ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) = (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐴)))
7 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘Ž β†’ (denomβ€˜π‘¦) = (denomβ€˜π‘Ž))
87oveq1d 7426 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘Ž β†’ ((denomβ€˜π‘¦)↑-2) = ((denomβ€˜π‘Ž)↑-2))
96, 8breq12d 5160 . . . . . 6 (𝑦 = π‘Ž β†’ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘¦)↑-2) ↔ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘Ž)↑-2)))
105, 9anbi12d 629 . . . . 5 (𝑦 = π‘Ž β†’ ((0 < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘¦)↑-2)) ↔ (0 < π‘Ž ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘Ž)↑-2))))
1110elrab 3682 . . . 4 (π‘Ž ∈ {𝑦 ∈ β„š ∣ (0 < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘¦)↑-2))} ↔ (π‘Ž ∈ β„š ∧ (0 < π‘Ž ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘Ž)↑-2))))
121, 4, 11sylanbrc 581 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ β„š) ∧ (0 < π‘Ž ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐴)) < 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘Ž)↑-2))) β†’ π‘Ž ∈ {𝑦 ∈ β„š ∣ (0 < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘¦)↑-2))})
13 simpr2 1193 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ β„š) ∧ (0 < π‘Ž ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐴)) < 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘Ž)↑-2))) β†’ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐴)) < 𝐡)
14 fvoveq1 7434 . . . . 5 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) = (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐴)))
1514breq1d 5157 . . . 4 (π‘₯ = π‘Ž β†’ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝐡 ↔ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐴)) < 𝐡))
1615rspcev 3611 . . 3 ((π‘Ž ∈ {𝑦 ∈ β„š ∣ (0 < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘¦)↑-2))} ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐴)) < 𝐡) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑦 ∈ β„š ∣ (0 < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘¦)↑-2))} (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝐡)
1712, 13, 16syl2anc 582 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ β„š) ∧ (0 < π‘Ž ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐴)) < 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘Ž)↑-2))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑦 ∈ β„š ∣ (0 < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘¦)↑-2))} (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝐡)
18 irrapxlem5 41866 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ β„š (0 < π‘Ž ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐴)) < 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘Ž)↑-2)))
1917, 18r19.29a 3160 1 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑦 ∈ β„š ∣ (0 < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘¦)↑-2))} (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3068  {crab 3430   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  0cc0 11112   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449  2c2 12271  β„šcq 12936  β„+crp 12978  β†‘cexp 14031  abscabs 15185  denomcdenom 16674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-ico 13334  df-fz 13489  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-numer 16675  df-denom 16676
This theorem is referenced by:  irrapx1  41868
  Copyright terms: Public domain W3C validator