Theorem irrapxlem6 43011

Description: Lemma for irrapx1 43012. Explicit description of a non-closed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
irrapxlem6	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem irrapxlem6

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 768	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → 𝑎 ∈ ℚ)
2		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → 0 < 𝑎)
3		simpr3 1197	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))
4	2, 3	jca 511	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2)))
5		breq2 5100	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (0 < 𝑦 ↔ 0 < 𝑎))
6		fvoveq1 7379	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (abs‘(𝑦 − 𝐴)) = (abs‘(𝑎 − 𝐴)))
7		fveq2 6832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (denom‘𝑦) = (denom‘𝑎))
8	7	oveq1d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ((denom‘𝑦)↑-2) = ((denom‘𝑎)↑-2))
9	6, 8	breq12d 5109	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ((abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2) ↔ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2)))
10	5, 9	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ((0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2)) ↔ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))))
11	10	elrab 3644	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ↔ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))))
12	1, 4, 11	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))})
13		simpr2 1196	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵)
14		fvoveq1 7379	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) = (abs‘(𝑎 − 𝐴)))
15	14	breq1d 5106	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ↔ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵))
16	15	rspcev 3574	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)
17	12, 13, 16	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)
18		irrapxlem5 43010	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℚ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2)))
19	17, 18	r19.29a 3142	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3058  {crab 3397   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  0cc0 11024   < clt 11164   − cmin 11362  -cneg 11363  2c2 12198  ℚcq 12859  ℝ⁺crp 12903  ↑cexp 13982  abscabs 15155  denomcdenom 16659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-inf 9344  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-ico 13265  df-fz 13422  df-fl 13710  df-mod 13788  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-dvds 16178  df-gcd 16420  df-numer 16660  df-denom 16661

This theorem is referenced by:  irrapx1  43012