Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  irrapxlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem irrapxlem6 41336
Description: Lemma for irrapx1 41337. Explicit description of a non-closed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
irrapxlem6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem irrapxlem6
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 767 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → 𝑎 ∈ ℚ)
2 simpr1 1194 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → 0 < 𝑎)
3 simpr3 1196 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))
42, 3jca 512 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2)))
5 breq2 5145 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑎 → (0 < 𝑦 ↔ 0 < 𝑎))
6 fvoveq1 7416 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑎 → (abs‘(𝑦𝐴)) = (abs‘(𝑎𝐴)))
7 fveq2 6878 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑎 → (denom‘𝑦) = (denom‘𝑎))
87oveq1d 7408 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑎 → ((denom‘𝑦)↑-2) = ((denom‘𝑎)↑-2))
96, 8breq12d 5154 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑎 → ((abs‘(𝑦𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2) ↔ (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2)))
105, 9anbi12d 631 . . . . 5 (𝑦 = 𝑎 → ((0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2)) ↔ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))))
1110elrab 3679 . . . 4 (𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ↔ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))))
121, 4, 11sylanbrc 583 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))})
13 simpr2 1195 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → (abs‘(𝑎𝐴)) < 𝐵)
14 fvoveq1 7416 . . . . 5 (𝑥 = 𝑎 → (abs‘(𝑥𝐴)) = (abs‘(𝑎𝐴)))
1514breq1d 5151 . . . 4 (𝑥 = 𝑎 → ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵 ↔ (abs‘(𝑎𝐴)) < 𝐵))
1615rspcev 3609 . . 3 ((𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵)
1712, 13, 16syl2anc 584 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵)
18 irrapxlem5 41335 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℚ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2)))
1917, 18r19.29a 3161 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087  wcel 2106  wrex 3069  {crab 3431   class class class wbr 5141  cfv 6532  (class class class)co 7393  0cc0 11092   < clt 11230  cmin 11426  -cneg 11427  2c2 12249  cq 12914  +crp 12956  cexp 14009  abscabs 15163  denomcdenom 16652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-oadd 8452  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9419  df-inf 9420  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-n0 12455  df-xnn0 12527  df-z 12541  df-uz 12805  df-q 12915  df-rp 12957  df-ico 13312  df-fz 13467  df-fl 13739  df-mod 13817  df-seq 13949  df-exp 14010  df-hash 14273  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-dvds 16180  df-gcd 16418  df-numer 16653  df-denom 16654
This theorem is referenced by:  irrapx1  41337
  Copyright terms: Public domain W3C validator