Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  irrapxlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem irrapxlem6 40205
Description: Lemma for irrapx1 40206. Explicit description of a non-closed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
irrapxlem6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem irrapxlem6
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 769 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → 𝑎 ∈ ℚ)
2 simpr1 1195 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → 0 < 𝑎)
3 simpr3 1197 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))
42, 3jca 515 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2)))
5 breq2 5031 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑎 → (0 < 𝑦 ↔ 0 < 𝑎))
6 fvoveq1 7187 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑎 → (abs‘(𝑦𝐴)) = (abs‘(𝑎𝐴)))
7 fveq2 6668 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑎 → (denom‘𝑦) = (denom‘𝑎))
87oveq1d 7179 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑎 → ((denom‘𝑦)↑-2) = ((denom‘𝑎)↑-2))
96, 8breq12d 5040 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑎 → ((abs‘(𝑦𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2) ↔ (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2)))
105, 9anbi12d 634 . . . . 5 (𝑦 = 𝑎 → ((0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2)) ↔ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))))
1110elrab 3585 . . . 4 (𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ↔ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))))
121, 4, 11sylanbrc 586 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))})
13 simpr2 1196 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → (abs‘(𝑎𝐴)) < 𝐵)
14 fvoveq1 7187 . . . . 5 (𝑥 = 𝑎 → (abs‘(𝑥𝐴)) = (abs‘(𝑎𝐴)))
1514breq1d 5037 . . . 4 (𝑥 = 𝑎 → ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵 ↔ (abs‘(𝑎𝐴)) < 𝐵))
1615rspcev 3524 . . 3 ((𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵)
1712, 13, 16syl2anc 587 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵)
18 irrapxlem5 40204 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℚ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2)))
1917, 18r19.29a 3198 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088  wcel 2113  wrex 3054  {crab 3057   class class class wbr 5027  cfv 6333  (class class class)co 7164  0cc0 10608   < clt 10746  cmin 10941  -cneg 10942  2c2 11764  cq 12423  +crp 12465  cexp 13514  abscabs 14676  denomcdenom 16167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-oadd 8128  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-sup 8972  df-inf 8973  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-n0 11970  df-xnn0 12042  df-z 12056  df-uz 12318  df-q 12424  df-rp 12466  df-ico 12820  df-fz 12975  df-fl 13246  df-mod 13322  df-seq 13454  df-exp 13515  df-hash 13776  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-dvds 15693  df-gcd 15931  df-numer 16168  df-denom 16169
This theorem is referenced by:  irrapx1  40206
  Copyright terms: Public domain W3C validator