Theorem irrapxlem6 43276

Description: Lemma for irrapx1 43277. Explicit description of a non-closed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
irrapxlem6	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem irrapxlem6

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 769	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → 𝑎 ∈ ℚ)
2		simpr1 1196	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → 0 < 𝑎)
3		simpr3 1198	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))
4	2, 3	jca 511	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2)))
5		breq2 5090	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (0 < 𝑦 ↔ 0 < 𝑎))
6		fvoveq1 7384	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (abs‘(𝑦 − 𝐴)) = (abs‘(𝑎 − 𝐴)))
7		fveq2 6835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (denom‘𝑦) = (denom‘𝑎))
8	7	oveq1d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ((denom‘𝑦)↑-2) = ((denom‘𝑎)↑-2))
9	6, 8	breq12d 5099	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ((abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2) ↔ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2)))
10	5, 9	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ((0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2)) ↔ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))))
11	10	elrab 3635	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ↔ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))))
12	1, 4, 11	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))})
13		simpr2 1197	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵)
14		fvoveq1 7384	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) = (abs‘(𝑎 − 𝐴)))
15	14	breq1d 5096	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ↔ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵))
16	15	rspcev 3565	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)
17	12, 13, 16	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)
18		irrapxlem5 43275	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℚ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2)))
19	17, 18	r19.29a 3146	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  {crab 3390   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  0cc0 11032   < clt 11173   − cmin 11371  -cneg 11372  2c2 12230  ℚcq 12892  ℝ⁺crp 12936  ↑cexp 14017  abscabs 15190  denomcdenom 16698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-xnn0 12505  df-z 12519  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-ico 13298  df-fz 13456  df-fl 13745  df-mod 13823  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-dvds 16216  df-gcd 16458  df-numer 16699  df-denom 16700

This theorem is referenced by:  irrapx1  43277