Theorem irrapxlem6 42788

Description: Lemma for irrapx1 42789. Explicit description of a non-closed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
irrapxlem6	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem irrapxlem6

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 768	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → 𝑎 ∈ ℚ)
2		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → 0 < 𝑎)
3		simpr3 1197	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))
4	2, 3	jca 511	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2)))
5		breq2 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (0 < 𝑦 ↔ 0 < 𝑎))
6		fvoveq1 7392	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (abs‘(𝑦 − 𝐴)) = (abs‘(𝑎 − 𝐴)))
7		fveq2 6840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (denom‘𝑦) = (denom‘𝑎))
8	7	oveq1d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ((denom‘𝑦)↑-2) = ((denom‘𝑎)↑-2))
9	6, 8	breq12d 5115	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ((abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2) ↔ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2)))
10	5, 9	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ((0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2)) ↔ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))))
11	10	elrab 3656	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ↔ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))))
12	1, 4, 11	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))})
13		simpr2 1196	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵)
14		fvoveq1 7392	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) = (abs‘(𝑎 − 𝐴)))
15	14	breq1d 5112	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ↔ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵))
16	15	rspcev 3585	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)
17	12, 13, 16	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℚ) ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)
18		irrapxlem5 42787	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℚ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐴)) < ((denom‘𝑎)↑-2)))
19	17, 18	r19.29a 3141	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {crab 3402   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044   < clt 11184   − cmin 11381  -cneg 11382  2c2 12217  ℚcq 12883  ℝ⁺crp 12927  ↑cexp 14002  abscabs 15176  denomcdenom 16680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-oadd 8415  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-ico 13288  df-fz 13445  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16199  df-gcd 16441  df-numer 16681  df-denom 16682

This theorem is referenced by:  irrapx1  42789