Theorem isdrng5 21059

Description: A division ring is a ring in which 1 ≠ 0 and every nonzero element is invertible. (Contributed by Jeff Madsen, 8-Jun-2010.) (Revised by AV, 23-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdrng3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdrng3.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isdrng3.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isdrng3.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isdrng5	⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝑦, 1   𝑦, ·   𝑥, 1   𝑥, ·

Proof of Theorem isdrng5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdrng3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		isdrng3.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		isdrng3.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4		isdrng3.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	isdrng3 21058	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ))
6		eldifi 4070	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ 𝐵)
7		difss 4075	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
8		ssrexv 3983	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 → (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 )
10	1, 4, 2	ringlz 20575	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑥) = 0 )
11		oveq1 7458	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 · 𝑥) = ( 0 · 𝑥))
12	11	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑦 · 𝑥) = 0 ↔ ( 0 · 𝑥) = 0 ))
13	10, 12	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑦 = 0 → (𝑦 · 𝑥) = 0 ))
14	13	necon3d 2980	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑦 · 𝑥) ≠ 0 → 𝑦 ≠ 0 ))
15		neeq1 3021	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 · 𝑥) = 1 → ((𝑦 · 𝑥) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0 ))
16	15	biimparc 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (( 1 ≠ 0 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑦 · 𝑥) ≠ 0 )
17	14, 16	impel 515	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → 𝑦 ≠ 0 )
18	17	an4s 673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → 𝑦 ≠ 0 )
19	18	anassrs 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → 𝑦 ≠ 0 )
20		pm3.2 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑦 ≠ 0 → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )))
21	19, 20	syl5com 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )))
22		eldifsn 4750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ))
23	21, 22	imbitrrdi 255	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
24	23	imdistanda 582	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((𝑦 · 𝑥) = 1 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦 · 𝑥) = 1 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
25		ancom 466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ↔ ((𝑦 · 𝑥) = 1 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
26		ancom 466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ↔ ((𝑦 · 𝑥) = 1 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
27	24, 25, 26	3imtr4g 299	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )))
28	27	reximdv2 3176	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 → ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ))
29	9, 28	impbid2 229	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
30	6, 29	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
31	30	ralbidva 3187	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) → (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
32	31	pm5.32i 585	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
33		df-3an 1105	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ))
34		df-3an 1105	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
35	32, 33, 34	3bitr4i 306	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
36	5, 35	bitri 278	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  {csn 4588  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  ._rcmulr 17473  0_gc0g 17660  1_rcur 20458  Ringcrg 20510  DivRingcdr 21031

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-dvr 20682  df-drng 21033

This theorem is used by: (None)