Theorem isdrng5 20884

Description: A division ring is a ring in which 1 ≠ 0 and every nonzero element is invertible. (Contributed by Jeff Madsen, 8-Jun-2010.) (Revised by AV, 23-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdrng3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdrng3.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isdrng3.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isdrng3.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isdrng5	⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝑦, 1   𝑦, ·   𝑥, 1   𝑥, ·

Proof of Theorem isdrng5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdrng3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		isdrng3.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		isdrng3.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4		isdrng3.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	isdrng3 20883	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ))
6		eldifi 4085	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ 𝐵)
7		difss 4090	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
8		ssrexv 4008	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 → (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 )
10	1, 4, 2	ringlz 20402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑥) = 0 )
11		oveq1 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 · 𝑥) = ( 0 · 𝑥))
12	11	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑦 · 𝑥) = 0 ↔ ( 0 · 𝑥) = 0 ))
13	10, 12	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑦 = 0 → (𝑦 · 𝑥) = 0 ))
14	13	necon3d 2981	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑦 · 𝑥) ≠ 0 → 𝑦 ≠ 0 ))
15		neeq1 3022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 · 𝑥) = 1 → ((𝑦 · 𝑥) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0 ))
16	15	biimparc 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (( 1 ≠ 0 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑦 · 𝑥) ≠ 0 )
17	14, 16	impel 515	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → 𝑦 ≠ 0 )
18	17	an4s 673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → 𝑦 ≠ 0 )
19	18	anassrs 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → 𝑦 ≠ 0 )
20		pm3.2 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑦 ≠ 0 → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )))
21	19, 20	syl5com 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )))
22		eldifsn 4755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ))
23	21, 22	imbitrrdi 255	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
24	23	imdistanda 582	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((𝑦 · 𝑥) = 1 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦 · 𝑥) = 1 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
25		ancom 466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ↔ ((𝑦 · 𝑥) = 1 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
26		ancom 466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ↔ ((𝑦 · 𝑥) = 1 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
27	24, 25, 26	3imtr4g 299	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )))
28	27	reximdv2 3177	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 → ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ))
29	9, 28	impbid2 229	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
30	6, 29	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
31	30	ralbidva 3188	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) → (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
32	31	pm5.32i 585	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
33		df-3an 1105	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ))
34		df-3an 1105	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
35	32, 33, 34	3bitr4i 306	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
36	5, 35	bitri 278	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  {csn 4591  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17287  ._rcmulr 17329  0_gc0g 17510  1_rcur 20287  Ringcrg 20339  DivRingcdr 20857

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-0g 17512  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-grp 19027  df-minusg 19028  df-cmn 19876  df-abl 19877  df-mgp 20241  df-rng 20255  df-ur 20288  df-ring 20341  df-oppr 20445  df-dvdsr 20465  df-unit 20466  df-invr 20496  df-dvr 20509  df-drng 20859

This theorem is used by: (None)