Theorem isdrng5 21001

Description: A division ring is a ring in which 1 ≠ 0 and every nonzero element is invertible. (Contributed by Jeff Madsen, 8-Jun-2010.) (Revised by AV, 23-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdrng3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdrng3.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isdrng3.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isdrng3.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isdrng5	⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝑦, 1   𝑦, ·   𝑥, 1   𝑥, ·

Proof of Theorem isdrng5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdrng3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		isdrng3.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		isdrng3.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4		isdrng3.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	isdrng3 21000	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ))
6		eldifi 4078	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ 𝐵)
7		difss 4083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
8		ssrexv 4001	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 → (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 )
10	1, 4, 2	ringlz 20517	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑥) = 0 )
11		oveq1 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 · 𝑥) = ( 0 · 𝑥))
12	11	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑦 · 𝑥) = 0 ↔ ( 0 · 𝑥) = 0 ))
13	10, 12	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑦 = 0 → (𝑦 · 𝑥) = 0 ))
14	13	necon3d 2977	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑦 · 𝑥) ≠ 0 → 𝑦 ≠ 0 ))
15		neeq1 3018	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 · 𝑥) = 1 → ((𝑦 · 𝑥) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0 ))
16	15	biimparc 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (( 1 ≠ 0 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑦 · 𝑥) ≠ 0 )
17	14, 16	impel 515	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → 𝑦 ≠ 0 )
18	17	an4s 673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → 𝑦 ≠ 0 )
19	18	anassrs 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → 𝑦 ≠ 0 )
20		pm3.2 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑦 ≠ 0 → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )))
21	19, 20	syl5com 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )))
22		eldifsn 4748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ))
23	21, 22	imbitrrdi 255	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
24	23	imdistanda 582	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((𝑦 · 𝑥) = 1 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦 · 𝑥) = 1 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
25		ancom 466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ↔ ((𝑦 · 𝑥) = 1 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
26		ancom 466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ↔ ((𝑦 · 𝑥) = 1 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
27	24, 25, 26	3imtr4g 299	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )))
28	27	reximdv2 3173	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 → ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ))
29	9, 28	impbid2 229	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
30	6, 29	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
31	30	ralbidva 3184	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) → (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
32	31	pm5.32i 585	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
33		df-3an 1105	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ))
34		df-3an 1105	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
35	32, 33, 34	3bitr4i 306	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
36	5, 35	bitri 278	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  ._rcmulr 17422  0_gc0g 17603  1_rcur 20400  Ringcrg 20452  DivRingcdr 20973

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8236  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-0g 17605  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-ring 20454  df-oppr 20560  df-dvdsr 20580  df-unit 20581  df-invr 20611  df-dvr 20624  df-drng 20975

This theorem is used by: (None)