Theorem isdrng5 20917

Description: A division ring is a ring in which 1 ≠ 0 and every nonzero element is invertible. (Contributed by Jeff Madsen, 8-Jun-2010.) (Revised by AV, 23-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdrng3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdrng3.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isdrng3.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isdrng3.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isdrng5	⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝑦, 1   𝑦, ·   𝑥, 1   𝑥, ·

Proof of Theorem isdrng5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdrng3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		isdrng3.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		isdrng3.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4		isdrng3.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	isdrng3 20916	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ))
6		eldifi 4078	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ 𝐵)
7		difss 4083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
8		ssrexv 4001	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 → (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 )
10	1, 4, 2	ringlz 20435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑥) = 0 )
11		oveq1 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 · 𝑥) = ( 0 · 𝑥))
12	11	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑦 · 𝑥) = 0 ↔ ( 0 · 𝑥) = 0 ))
13	10, 12	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑦 = 0 → (𝑦 · 𝑥) = 0 ))
14	13	necon3d 2976	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑦 · 𝑥) ≠ 0 → 𝑦 ≠ 0 ))
15		neeq1 3017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 · 𝑥) = 1 → ((𝑦 · 𝑥) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0 ))
16	15	biimparc 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (( 1 ≠ 0 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑦 · 𝑥) ≠ 0 )
17	14, 16	impel 515	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → 𝑦 ≠ 0 )
18	17	an4s 673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → 𝑦 ≠ 0 )
19	18	anassrs 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → 𝑦 ≠ 0 )
20		pm3.2 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑦 ≠ 0 → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )))
21	19, 20	syl5com 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )))
22		eldifsn 4748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ))
23	21, 22	imbitrrdi 255	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
24	23	imdistanda 582	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((𝑦 · 𝑥) = 1 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦 · 𝑥) = 1 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
25		ancom 466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ↔ ((𝑦 · 𝑥) = 1 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
26		ancom 466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ↔ ((𝑦 · 𝑥) = 1 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
27	24, 25, 26	3imtr4g 299	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )))
28	27	reximdv2 3172	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 → ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ))
29	9, 28	impbid2 229	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
30	6, 29	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
31	30	ralbidva 3183	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) → (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
32	31	pm5.32i 585	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
33		df-3an 1105	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ))
34		df-3an 1105	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
35	32, 33, 34	3bitr4i 306	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
36	5, 35	bitri 278	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301  ._rcmulr 17343  0_gc0g 17524  1_rcur 20320  Ringcrg 20372  DivRingcdr 20890

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-0g 17526  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-ring 20374  df-oppr 20478  df-dvdsr 20498  df-unit 20499  df-invr 20529  df-dvr 20542  df-drng 20892

This theorem is used by: (None)