Theorem isdrng5 20854

Description: A division ring is a ring in which 1 ≠ 0 and every nonzero element is invertible. (Contributed by Jeff Madsen, 8-Jun-2010.) (Revised by AV, 23-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdrng3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdrng3.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isdrng3.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isdrng3.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isdrng5	⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝑦, 1   𝑦, ·   𝑥, 1   𝑥, ·

Proof of Theorem isdrng5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdrng3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		isdrng3.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		isdrng3.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4		isdrng3.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	isdrng3 20853	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ))
6		eldifi 4085	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ 𝐵)
7		difss 4090	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
8		ssrexv 4007	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 → (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 )
10	1, 4, 2	ringlz 20372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑥) = 0 )
11		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 · 𝑥) = ( 0 · 𝑥))
12	11	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑦 · 𝑥) = 0 ↔ ( 0 · 𝑥) = 0 ))
13	10, 12	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑦 = 0 → (𝑦 · 𝑥) = 0 ))
14	13	necon3d 2979	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑦 · 𝑥) ≠ 0 → 𝑦 ≠ 0 ))
15		neeq1 3020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 · 𝑥) = 1 → ((𝑦 · 𝑥) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0 ))
16	15	biimparc 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (( 1 ≠ 0 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑦 · 𝑥) ≠ 0 )
17	14, 16	impel 514	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → 𝑦 ≠ 0 )
18	17	an4s 672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → 𝑦 ≠ 0 )
19	18	anassrs 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → 𝑦 ≠ 0 )
20		pm3.2 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑦 ≠ 0 → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )))
21	19, 20	syl5com 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )))
22		eldifsn 4753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ))
23	21, 22	imbitrrdi 255	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
24	23	imdistanda 581	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((𝑦 · 𝑥) = 1 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦 · 𝑥) = 1 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
25		ancom 465	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ↔ ((𝑦 · 𝑥) = 1 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
26		ancom 465	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ↔ ((𝑦 · 𝑥) = 1 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
27	24, 25, 26	3imtr4g 299	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )))
28	27	reximdv2 3175	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 → ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ))
29	9, 28	impbid2 229	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
30	6, 29	sylan2 604	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
31	30	ralbidva 3186	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) → (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
32	31	pm5.32i 584	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
33		df-3an 1105	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ))
34		df-3an 1105	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
35	32, 33, 34	3bitr4i 306	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
36	5, 35	bitri 278	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  {csn 4589  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  ._rcmulr 17306  0_gc0g 17487  1_rcur 20258  Ringcrg 20310  DivRingcdr 20827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-drng 20829

This theorem is referenced by: (None)