MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsslinds Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsslinds 21767
Description: Linear independence is unchanged by working in a subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsslindf.u π‘ˆ = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lsslindf.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs 𝑆)
Assertion
Ref Expression
lsslinds ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ↔ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)))
Proof of Theorem lsslinds
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lsslindf.u . . . . . . . 8 π‘ˆ = (LSubSpβ€˜π‘Š)
31, 2lssss 20822 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ π‘ˆ β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
4 lsslindf.x . . . . . . . 8 𝑋 = (π‘Š β†Ύs 𝑆)
54, 1ressbas2 17215 . . . . . . 7 (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜π‘‹))
63, 5syl 17 . . . . . 6 (𝑆 ∈ π‘ˆ β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜π‘‹))
763ad2ant2 1131 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜π‘‹))
87sseq2d 4004 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ (𝐹 βŠ† 𝑆 ↔ 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘‹)))
933ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
10 sstr2 3979 . . . . . 6 (𝐹 βŠ† 𝑆 β†’ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) β†’ 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)))
119, 10mpan9 505 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
12 simpl3 1190 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) ∧ 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 𝐹 βŠ† 𝑆)
1311, 12impbida 799 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ (𝐹 βŠ† 𝑆 ↔ 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)))
148, 13bitr3d 280 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ (𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘‹) ↔ 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)))
15 rnresi 6071 . . . . 5 ran ( I β†Ύ 𝐹) = 𝐹
1615sseq1i 4000 . . . 4 (ran ( I β†Ύ 𝐹) βŠ† 𝑆 ↔ 𝐹 βŠ† 𝑆)
172, 4lsslindf 21766 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ ran ( I β†Ύ 𝐹) βŠ† 𝑆) β†’ (( I β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑋 ↔ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š))
1816, 17syl3an3br 1405 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ (( I β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑋 ↔ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š))
1914, 18anbi12d 630 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ ((𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘‹) ∧ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑋) ↔ (𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š)))
204ovexi 7448 . . 3 𝑋 ∈ V
21 eqid 2725 . . . 4 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
2221islinds 21745 . . 3 (𝑋 ∈ V β†’ (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ↔ (𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘‹) ∧ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑋)))
2320, 22mp1i 13 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ↔ (𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘‹) ∧ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑋)))
241islinds 21745 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š)))
25243ad2ant1 1130 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š)))
2619, 23, 253bitr4d 310 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ↔ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   βŠ† wss 3939   class class class wbr 5141   I cid 5567  ran crn 5671   β†Ύ cres 5672  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7414  Basecbs 17177   β†Ύs cress 17206  LModclmod 20745  LSubSpclss 20817   LIndF clindf 21740  LIndSclinds 21741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-subg 19080  df-mgp 20077  df-ur 20124  df-ring 20177  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lsp 20858  df-lindf 21742  df-linds 21743
This theorem is referenced by:  islinds3  21770  lssdimle  33334  dimkerim  33354  fedgmullem2  33357
  Copyright terms: Public domain W3C validator