MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsslinds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsslinds 21253
Description: Linear independence is unchanged by working in a subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsslindf.u π‘ˆ = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lsslindf.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs 𝑆)
Assertion
Ref Expression
lsslinds ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ↔ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)))

Proof of Theorem lsslinds
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lsslindf.u . . . . . . . 8 π‘ˆ = (LSubSpβ€˜π‘Š)
31, 2lssss 20412 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ π‘ˆ β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
4 lsslindf.x . . . . . . . 8 𝑋 = (π‘Š β†Ύs 𝑆)
54, 1ressbas2 17125 . . . . . . 7 (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜π‘‹))
63, 5syl 17 . . . . . 6 (𝑆 ∈ π‘ˆ β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜π‘‹))
763ad2ant2 1135 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜π‘‹))
87sseq2d 3977 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ (𝐹 βŠ† 𝑆 ↔ 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘‹)))
933ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
10 sstr2 3952 . . . . . 6 (𝐹 βŠ† 𝑆 β†’ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) β†’ 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)))
119, 10mpan9 508 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
12 simpl3 1194 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) ∧ 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 𝐹 βŠ† 𝑆)
1311, 12impbida 800 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ (𝐹 βŠ† 𝑆 ↔ 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)))
148, 13bitr3d 281 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ (𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘‹) ↔ 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)))
15 rnresi 6028 . . . . 5 ran ( I β†Ύ 𝐹) = 𝐹
1615sseq1i 3973 . . . 4 (ran ( I β†Ύ 𝐹) βŠ† 𝑆 ↔ 𝐹 βŠ† 𝑆)
172, 4lsslindf 21252 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ ran ( I β†Ύ 𝐹) βŠ† 𝑆) β†’ (( I β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑋 ↔ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š))
1816, 17syl3an3br 1409 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ (( I β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑋 ↔ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š))
1914, 18anbi12d 632 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ ((𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘‹) ∧ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑋) ↔ (𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š)))
204ovexi 7392 . . 3 𝑋 ∈ V
21 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
2221islinds 21231 . . 3 (𝑋 ∈ V β†’ (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ↔ (𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘‹) ∧ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑋)))
2320, 22mp1i 13 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ↔ (𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘‹) ∧ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑋)))
241islinds 21231 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š)))
25243ad2ant1 1134 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š)))
2619, 23, 253bitr4d 311 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ↔ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106   I cid 5531  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088   β†Ύs cress 17117  LModclmod 20336  LSubSpclss 20407   LIndF clindf 21226  LIndSclinds 21227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448  df-lindf 21228  df-linds 21229
This theorem is referenced by:  islinds3  21256  lssdimle  32360  dimkerim  32379  fedgmullem2  32382
  Copyright terms: Public domain W3C validator