MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsslinds Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsslinds 21726
Description: Linear independence is unchanged by working in a subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsslindf.u π‘ˆ = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lsslindf.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs 𝑆)
Assertion
Ref Expression
lsslinds ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ↔ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)))
Proof of Theorem lsslinds
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lsslindf.u . . . . . . . 8 π‘ˆ = (LSubSpβ€˜π‘Š)
31, 2lssss 20783 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ π‘ˆ β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
4 lsslindf.x . . . . . . . 8 𝑋 = (π‘Š β†Ύs 𝑆)
54, 1ressbas2 17191 . . . . . . 7 (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜π‘‹))
63, 5syl 17 . . . . . 6 (𝑆 ∈ π‘ˆ β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜π‘‹))
763ad2ant2 1131 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜π‘‹))
87sseq2d 4009 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ (𝐹 βŠ† 𝑆 ↔ 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘‹)))
933ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
10 sstr2 3984 . . . . . 6 (𝐹 βŠ† 𝑆 β†’ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) β†’ 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)))
119, 10mpan9 506 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
12 simpl3 1190 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) ∧ 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 𝐹 βŠ† 𝑆)
1311, 12impbida 798 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ (𝐹 βŠ† 𝑆 ↔ 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)))
148, 13bitr3d 281 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ (𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘‹) ↔ 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)))
15 rnresi 6068 . . . . 5 ran ( I β†Ύ 𝐹) = 𝐹
1615sseq1i 4005 . . . 4 (ran ( I β†Ύ 𝐹) βŠ† 𝑆 ↔ 𝐹 βŠ† 𝑆)
172, 4lsslindf 21725 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ ran ( I β†Ύ 𝐹) βŠ† 𝑆) β†’ (( I β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑋 ↔ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š))
1816, 17syl3an3br 1405 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ (( I β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑋 ↔ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š))
1914, 18anbi12d 630 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ ((𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘‹) ∧ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑋) ↔ (𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š)))
204ovexi 7439 . . 3 𝑋 ∈ V
21 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
2221islinds 21704 . . 3 (𝑋 ∈ V β†’ (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ↔ (𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘‹) ∧ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑋)))
2320, 22mp1i 13 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ↔ (𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘‹) ∧ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF 𝑋)))
241islinds 21704 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š)))
25243ad2ant1 1130 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š)))
2619, 23, 253bitr4d 311 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ↔ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   I cid 5566  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778   LIndF clindf 21699  LIndSclinds 21700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lindf 21701  df-linds 21702
This theorem is referenced by:  islinds3  21729  lssdimle  33210  dimkerim  33230  fedgmullem2  33233
  Copyright terms: Public domain W3C validator