MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsslinds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsslinds 20963
Description: Linear independence is unchanged by working in a subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsslindf.u 𝑈 = (LSubSp‘𝑊)
lsslindf.x 𝑋 = (𝑊s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
lsslinds ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈𝐹𝑆) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)))

Proof of Theorem lsslinds
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . . . . . . 8 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 lsslindf.u . . . . . . . 8 𝑈 = (LSubSp‘𝑊)
31, 2lssss 19696 . . . . . . 7 (𝑆𝑈𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
4 lsslindf.x . . . . . . . 8 𝑋 = (𝑊s 𝑆)
54, 1ressbas2 16546 . . . . . . 7 (𝑆 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑆 = (Base‘𝑋))
63, 5syl 17 . . . . . 6 (𝑆𝑈𝑆 = (Base‘𝑋))
763ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈𝐹𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝑋))
87sseq2d 3983 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈𝐹𝑆) → (𝐹𝑆𝐹 ⊆ (Base‘𝑋)))
933ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈𝐹𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
10 sstr2 3958 . . . . . 6 (𝐹𝑆 → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊)))
119, 10mpan9 510 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈𝐹𝑆) ∧ 𝐹𝑆) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊))
12 simpl3 1190 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝐹𝑆)
1311, 12impbida 800 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈𝐹𝑆) → (𝐹𝑆𝐹 ⊆ (Base‘𝑊)))
148, 13bitr3d 284 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈𝐹𝑆) → (𝐹 ⊆ (Base‘𝑋) ↔ 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊)))
15 rnresi 5926 . . . . 5 ran ( I ↾ 𝐹) = 𝐹
1615sseq1i 3979 . . . 4 (ran ( I ↾ 𝐹) ⊆ 𝑆𝐹𝑆)
172, 4lsslindf 20962 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran ( I ↾ 𝐹) ⊆ 𝑆) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑋 ↔ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊))
1816, 17syl3an3br 1405 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈𝐹𝑆) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑋 ↔ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊))
1914, 18anbi12d 633 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈𝐹𝑆) → ((𝐹 ⊆ (Base‘𝑋) ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑋) ↔ (𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)))
204ovexi 7174 . . 3 𝑋 ∈ V
21 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
2221islinds 20941 . . 3 (𝑋 ∈ V → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ (𝐹 ⊆ (Base‘𝑋) ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑋)))
2320, 22mp1i 13 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈𝐹𝑆) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ (𝐹 ⊆ (Base‘𝑋) ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑋)))
241islinds 20941 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)))
25243ad2ant1 1130 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈𝐹𝑆) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)))
2619, 23, 253bitr4d 314 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈𝐹𝑆) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3479  wss 3918   class class class wbr 5049   I cid 5442  ran crn 5539  cres 5540  cfv 6338  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  s cress 16475  LModclmod 19622  LSubSpclss 19691   LIndF clindf 20936  LIndSclinds 20937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-subg 18267  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-lmod 19624  df-lss 19692  df-lsp 19732  df-lindf 20938  df-linds 20939
This theorem is referenced by:  islinds3  20966  lssdimle  31029  dimkerim  31046  fedgmullem2  31049
  Copyright terms: Public domain W3C validator