Theorem lsslinds 21791

Description: Linear independence is unchanged by working in a subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsslindf.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑊)
lsslindf.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lsslinds	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)))

Proof of Theorem lsslinds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		lsslindf.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lssss 20893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑈 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
4		lsslindf.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑆)
5	4, 1	ressbas2 17259	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑆 = (Base‘𝑋))
6	3, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑈 → 𝑆 = (Base‘𝑋))
7	6	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝑋))
8	7	sseq2d 3991	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) → (𝐹 ⊆ 𝑆 ↔ 𝐹 ⊆ (Base‘𝑋)))
9	3	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
10		sstr2 3965	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝑆 → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊)))
11	9, 10	mpan9 506	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊))
12		simpl3 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝐹 ⊆ 𝑆)
13	11, 12	impbida 800	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) → (𝐹 ⊆ 𝑆 ↔ 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊)))
14	8, 13	bitr3d 281	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) → (𝐹 ⊆ (Base‘𝑋) ↔ 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊)))
15		rnresi 6062	. . . . 5 ⊢ ran ( I ↾ 𝐹) = 𝐹
16	15	sseq1i 3987	. . . 4 ⊢ (ran ( I ↾ 𝐹) ⊆ 𝑆 ↔ 𝐹 ⊆ 𝑆)
17	2, 4	lsslindf 21790	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ ran ( I ↾ 𝐹) ⊆ 𝑆) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑋 ↔ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊))
18	16, 17	syl3an3br 1410	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑋 ↔ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊))
19	14, 18	anbi12d 632	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) → ((𝐹 ⊆ (Base‘𝑋) ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑋) ↔ (𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)))
20	4	ovexi 7439	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ V
21		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
22	21	islinds 21769	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ (𝐹 ⊆ (Base‘𝑋) ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑋)))
23	20, 22	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ (𝐹 ⊆ (Base‘𝑋) ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑋)))
24	1	islinds 21769	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)))
25	24	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)))
26	19, 23, 25	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119   I cid 5547  ran crn 5655   ↾ cres 5656  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228   ↾_s cress 17251  LModclmod 20817  LSubSpclss 20888   LIndF clindf 21764  LIndSclinds 21765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-subg 19106  df-mgp 20101  df-ur 20142  df-ring 20195  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-lindf 21766  df-linds 21767

This theorem is referenced by:  islinds3  21794  lssdimle  33647  dimkerim  33667  fedgmullem2  33670