Theorem lsslinds 22050

Description: Linear independence is unchanged by working in a subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsslindf.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑊)
lsslindf.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lsslinds	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)))

Proof of Theorem lsslinds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		lsslindf.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lssss 21126	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑈 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
4		lsslindf.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑆)
5	4, 1	ressbas2 17336	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑆 = (Base‘𝑋))
6	3, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑈 → 𝑆 = (Base‘𝑋))
7	6	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝑋))
8	7	sseq2d 3966	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) → (𝐹 ⊆ 𝑆 ↔ 𝐹 ⊆ (Base‘𝑋)))
9	3	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
10		sstr2 3941	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝑆 → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊)))
11	9, 10	mpan9 516	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊))
12		simpl3 1212	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝐹 ⊆ 𝑆)
13	11, 12	impbida 813	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) → (𝐹 ⊆ 𝑆 ↔ 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊)))
14	8, 13	bitr3d 284	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) → (𝐹 ⊆ (Base‘𝑋) ↔ 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊)))
15		rnresi 6075	. . . . 5 ⊢ ran ( I ↾ 𝐹) = 𝐹
16	15	sseq1i 3962	. . . 4 ⊢ (ran ( I ↾ 𝐹) ⊆ 𝑆 ↔ 𝐹 ⊆ 𝑆)
17	2, 4	lsslindf 22049	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ ran ( I ↾ 𝐹) ⊆ 𝑆) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑋 ↔ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊))
18	16, 17	syl3an3br 1435	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑋 ↔ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊))
19	14, 18	anbi12d 644	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) → ((𝐹 ⊆ (Base‘𝑋) ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑋) ↔ (𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)))
20	4	ovexi 7451	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ V
21		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
22	21	islinds 22028	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ (𝐹 ⊆ (Base‘𝑋) ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑋)))
23	20, 22	mp1i 14	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ (𝐹 ⊆ (Base‘𝑋) ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑋)))
24	1	islinds 22028	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)))
25	24	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)))
26	19, 23, 25	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107   I cid 5553  ran crn 5660   ↾ cres 5661  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307   ↾_s cress 17328  LModclmod 21050  LSubSpclss 21121   LIndF clindf 22023  LIndSclinds 22024

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-subg 19252  df-mgp 20280  df-ur 20327  df-ring 20380  df-lmod 21052  df-lss 21122  df-lsp 21162  df-lindf 22025  df-linds 22026

This theorem is used by:  islinds3  22053  lssdimle  34126  dimkerim  34145  fedgmullem2  34148