Theorem lsslinds 20969

Description: Linear independence is unchanged by working in a subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsslindf.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑊)
lsslindf.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lsslinds	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)))

Proof of Theorem lsslinds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		lsslindf.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lssss 19702	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑈 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
4		lsslindf.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑆)
5	4, 1	ressbas2 16549	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑆 = (Base‘𝑋))
6	3, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑈 → 𝑆 = (Base‘𝑋))
7	6	3ad2ant2 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝑋))
8	7	sseq2d 3998	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) → (𝐹 ⊆ 𝑆 ↔ 𝐹 ⊆ (Base‘𝑋)))
9	3	3ad2ant2 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
10		sstr2 3973	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝑆 → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊)))
11	9, 10	mpan9 509	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊))
12		simpl3 1189	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝐹 ⊆ 𝑆)
13	11, 12	impbida 799	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) → (𝐹 ⊆ 𝑆 ↔ 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊)))
14	8, 13	bitr3d 283	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) → (𝐹 ⊆ (Base‘𝑋) ↔ 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊)))
15		rnresi 5937	. . . . 5 ⊢ ran ( I ↾ 𝐹) = 𝐹
16	15	sseq1i 3994	. . . 4 ⊢ (ran ( I ↾ 𝐹) ⊆ 𝑆 ↔ 𝐹 ⊆ 𝑆)
17	2, 4	lsslindf 20968	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ ran ( I ↾ 𝐹) ⊆ 𝑆) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑋 ↔ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊))
18	16, 17	syl3an3br 1404	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑋 ↔ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊))
19	14, 18	anbi12d 632	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) → ((𝐹 ⊆ (Base‘𝑋) ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑋) ↔ (𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)))
20	4	ovexi 7184	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ V
21		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
22	21	islinds 20947	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ (𝐹 ⊆ (Base‘𝑋) ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑋)))
23	20, 22	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ (𝐹 ⊆ (Base‘𝑋) ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑋)))
24	1	islinds 20947	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)))
25	24	3ad2ant1 1129	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)))
26	19, 23, 25	3bitr4d 313	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 ⊆ 𝑆) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494   ⊆ wss 3935   class class class wbr 5058   I cid 5453  ran crn 5550   ↾ cres 5551  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  Basecbs 16477   ↾_s cress 16478  LModclmod 19628  LSubSpclss 19697   LIndF clindf 20942  LIndSclinds 20943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-subg 18270  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-lsp 19738  df-lindf 20944  df-linds 20945

This theorem is referenced by:  islinds3  20972  lssdimle  31001  dimkerim  31018  fedgmullem2  31021