Theorem ranval2 50484

Description: The set of right Kan extensions is the set of universal pairs. Therefore, the explicit universal property can be recovered by oppcup2 50062 and oppcup3lem 50060. (Contributed by Zhi Wang, 4-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isran.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐸))
isran.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘(𝐶 FuncCat 𝐸))
isran.k	⊢ (𝜑 → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) = ⟨𝐽, 𝐾⟩)
ranval2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
ranval2	⊢ (𝜑 → (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Ran 𝐸)𝑋) = (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑋))

Proof of Theorem ranval2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isran.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐸))
2		isran.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘(𝐶 FuncCat 𝐸))
3		isran.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) = ⟨𝐽, 𝐾⟩)
4	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Ran 𝐸)𝑋)) → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) = ⟨𝐽, 𝐾⟩)
5		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Ran 𝐸)𝑋)) → 𝑥 ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Ran 𝐸)𝑋))
6	1, 2, 4, 5	isran 50482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Ran 𝐸)𝑋)) → 𝑥 ∈ (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑋))
7		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑋)) → 𝑥 ∈ (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑋))
8		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐸) = (𝐷 FuncCat 𝐸)
9		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝐶 FuncCat 𝐸) = (𝐶 FuncCat 𝐸)
10		ranval2.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
11	10	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑋)) → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
12	9	fucbas 18046	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 Func 𝐸) = (Base‘(𝐶 FuncCat 𝐸))
13	2, 12	oppcbas 17800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 Func 𝐸) = (Base‘𝑃)
14	13	uprcl 50038	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑋) → (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩ ∈ (𝑂 Func 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝐶 Func 𝐸)))
15	14	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑋) → 𝑋 ∈ (𝐶 Func 𝐸))
16	15	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑋)) → 𝑋 ∈ (𝐶 Func 𝐸))
17	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑋)) → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) = ⟨𝐽, 𝐾⟩)
18	8, 9, 11, 16, 17, 1, 2	ranval 50474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑋)) → (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Ran 𝐸)𝑋) = (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑋))
19	7, 18	eleqtrrd 2868	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑋)) → 𝑥 ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Ran 𝐸)𝑋))
20	6, 19	impbida 813	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Ran 𝐸)𝑋) ↔ 𝑥 ∈ (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑋)))
21	20	eqrdv 2763	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Ran 𝐸)𝑋) = (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4597  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  tpos ctpos 8227  oppCatcoppc 17793   Func cfunc 17937   FuncCat cfuc 18028   UP cup 50027   −∘_F cprcof 50227   Ran cran 50460

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12732  df-uz 12883  df-fz 13556  df-struct 17233  df-sets 17250  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-hom 17360  df-cco 17361  df-cat 17750  df-cid 17751  df-oppc 17794  df-func 17941  df-cofu 17943  df-nat 18029  df-fuc 18030  df-xpc 18254  df-curf 18296  df-oppf 49977  df-up 50028  df-swapf 50114  df-fuco 50171  df-prcof 50228  df-ran 50462

This theorem is used by:  ranval3  50485  ranup  50496