Theorem ranval2 49741

Description: The set of right Kan extensions is the set of universal pairs. Therefore, the explicit universal property can be recovered by oppcup2 49319 and oppcup3lem 49317. (Contributed by Zhi Wang, 4-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isran.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐸))
isran.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘(𝐶 FuncCat 𝐸))
isran.k	⊢ (𝜑 → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) = ⟨𝐽, 𝐾⟩)
ranval2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
ranval2	⊢ (𝜑 → (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Ran 𝐸)𝑋) = (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑋))

Proof of Theorem ranval2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isran.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐸))
2		isran.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘(𝐶 FuncCat 𝐸))
3		isran.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) = ⟨𝐽, 𝐾⟩)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Ran 𝐸)𝑋)) → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) = ⟨𝐽, 𝐾⟩)
5		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Ran 𝐸)𝑋)) → 𝑥 ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Ran 𝐸)𝑋))
6	1, 2, 4, 5	isran 49739	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Ran 𝐸)𝑋)) → 𝑥 ∈ (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑋))
7		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑋)) → 𝑥 ∈ (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑋))
8		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐸) = (𝐷 FuncCat 𝐸)
9		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝐶 FuncCat 𝐸) = (𝐶 FuncCat 𝐸)
10		ranval2.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑋)) → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
12	9	fucbas 17870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 Func 𝐸) = (Base‘(𝐶 FuncCat 𝐸))
13	2, 12	oppcbas 17624	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 Func 𝐸) = (Base‘𝑃)
14	13	uprcl 49295	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑋) → (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩ ∈ (𝑂 Func 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝐶 Func 𝐸)))
15	14	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑋) → 𝑋 ∈ (𝐶 Func 𝐸))
16	15	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑋)) → 𝑋 ∈ (𝐶 Func 𝐸))
17	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑋)) → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) = ⟨𝐽, 𝐾⟩)
18	8, 9, 11, 16, 17, 1, 2	ranval 49731	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑋)) → (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Ran 𝐸)𝑋) = (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑋))
19	7, 18	eleqtrrd 2834	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑋)) → 𝑥 ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Ran 𝐸)𝑋))
20	6, 19	impbida 800	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Ran 𝐸)𝑋) ↔ 𝑥 ∈ (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑋)))
21	20	eqrdv 2729	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Ran 𝐸)𝑋) = (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4579  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  tpos ctpos 8155  oppCatcoppc 17617   Func cfunc 17761   FuncCat cfuc 17852   UP cup 49284   −∘_F cprcof 49484   Ran cran 49717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-hom 17185  df-cco 17186  df-cat 17574  df-cid 17575  df-oppc 17618  df-func 17765  df-cofu 17767  df-nat 17853  df-fuc 17854  df-xpc 18078  df-curf 18120  df-oppf 49234  df-up 49285  df-swapf 49371  df-fuco 49428  df-prcof 49485  df-ran 49719

This theorem is referenced by:  ranval3  49742  ranup  49753