Theorem isumadd 15690

Description: Addition of infinite sums. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumadd.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumadd.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumadd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isumadd.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumadd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
isumadd.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
isumadd.7	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
isumadd.8	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
isumadd	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 (𝐴 + 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 + Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem isumadd

Dummy variables 𝑗 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumadd.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		isumadd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		fveq2 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
4		fveq2 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐺‘𝑚) = (𝐺‘𝑘))
5	3, 4	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑚) + (𝐺‘𝑚)) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐺‘𝑘)))
6		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) + (𝐺‘𝑚))) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) + (𝐺‘𝑚)))
7		ovex 7391	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑘) + (𝐺‘𝑘)) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 6941	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) + (𝐺‘𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐺‘𝑘)))
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) + (𝐺‘𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐺‘𝑘)))
10		isumadd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
11		isumadd.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
12	10, 11	oveq12d 7376	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) + (𝐺‘𝑘)) = (𝐴 + 𝐵))
13	9, 12	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) + (𝐺‘𝑚)))‘𝑘) = (𝐴 + 𝐵))
14		isumadd.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
15		isumadd.6	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
16	14, 15	addcld 11151	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
17		isumadd.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
18	1, 2, 10, 14, 17	isumclim2 15681	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)
19		seqex 13926	. . . 4 ⊢ seq𝑀( + , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) + (𝐺‘𝑚)))) ∈ V
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) + (𝐺‘𝑚)))) ∈ V)
21		isumadd.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
22	1, 2, 11, 15, 21	isumclim2 15681	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)
23	10, 14	eqeltrd 2836	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
24	1, 2, 23	serf 13953	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
25	24	ffvelcdmda 7029	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
26	11, 15	eqeltrd 2836	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
27	1, 2, 26	serf 13953	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺):𝑍⟶ℂ)
28	27	ffvelcdmda 7029	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℂ)
29		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
30	29, 1	eleqtrdi 2846	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
31		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → 𝜑)
32		elfzuz 13436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
33	32, 1	eleqtrrdi 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ 𝑍)
34	33	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
35	31, 34, 23	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
36	31, 34, 26	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
37	34, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) + (𝐺‘𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐺‘𝑘)))
38	30, 35, 36, 37	seradd 13967	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) + (𝐺‘𝑚))))‘𝑗) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) + (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑗)))
39	1, 2, 18, 20, 22, 25, 28, 38	climadd 15555	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) + (𝐺‘𝑚)))) ⇝ (Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 + Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵))
40	1, 2, 13, 16, 39	isumclim 15680	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 (𝐴 + 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 + Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ↦ cmpt 5179  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   + caddc 11029  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ...cfz 13423  seqcseq 13924   ⇝ cli 15407  Σcsu 15609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-sum 15610

This theorem is referenced by:  sumsplit  15691  binomcxplemnotnn0  44593