MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumadd 15716
Description: Addition of infinite sums. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumadd.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
isumadd.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
isumadd.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
isumadd.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
isumadd.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = 𝐡)
isumadd.6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
isumadd.7 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
isumadd.8 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isumadd (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 (𝐴 + 𝐡) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴 + Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐡))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝑀   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝐡(π‘˜)

Proof of Theorem isumadd
Dummy variables 𝑗 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumadd.1 . 2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 isumadd.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 fveq2 6884 . . . . . 6 (π‘š = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘˜))
4 fveq2 6884 . . . . . 6 (π‘š = π‘˜ β†’ (πΊβ€˜π‘š) = (πΊβ€˜π‘˜))
53, 4oveq12d 7422 . . . . 5 (π‘š = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘š) + (πΊβ€˜π‘š)) = ((πΉβ€˜π‘˜) + (πΊβ€˜π‘˜)))
6 eqid 2726 . . . . 5 (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š) + (πΊβ€˜π‘š))) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š) + (πΊβ€˜π‘š)))
7 ovex 7437 . . . . 5 ((πΉβ€˜π‘˜) + (πΊβ€˜π‘˜)) ∈ V
85, 6, 7fvmpt 6991 . . . 4 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š) + (πΊβ€˜π‘š)))β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜) + (πΊβ€˜π‘˜)))
98adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š) + (πΊβ€˜π‘š)))β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜) + (πΊβ€˜π‘˜)))
10 isumadd.3 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
11 isumadd.5 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = 𝐡)
1210, 11oveq12d 7422 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) + (πΊβ€˜π‘˜)) = (𝐴 + 𝐡))
139, 12eqtrd 2766 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š) + (πΊβ€˜π‘š)))β€˜π‘˜) = (𝐴 + 𝐡))
14 isumadd.4 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
15 isumadd.6 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1614, 15addcld 11234 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ β„‚)
17 isumadd.7 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
181, 2, 10, 14, 17isumclim2 15707 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴)
19 seqex 13971 . . . 4 seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š) + (πΊβ€˜π‘š)))) ∈ V
2019a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š) + (πΊβ€˜π‘š)))) ∈ V)
21 isumadd.8 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
221, 2, 11, 15, 21isumclim2 15707 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐡)
2310, 14eqeltrd 2827 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
241, 2, 23serf 13998 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹):π‘βŸΆβ„‚)
2524ffvelcdmda 7079 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
2611, 15eqeltrd 2827 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
271, 2, 26serf 13998 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐺):π‘βŸΆβ„‚)
2827ffvelcdmda 7079 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
29 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
3029, 1eleqtrdi 2837 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
31 simpll 764 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ πœ‘)
32 elfzuz 13500 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3332, 1eleqtrrdi 2838 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
3433adantl 481 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
3531, 34, 23syl2anc 583 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3631, 34, 26syl2anc 583 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3734, 8syl 17 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š) + (πΊβ€˜π‘š)))β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜) + (πΊβ€˜π‘˜)))
3830, 35, 36, 37seradd 14012 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š) + (πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘—) = ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) + (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘—)))
391, 2, 18, 20, 22, 25, 28, 38climadd 15579 . 2 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š) + (πΊβ€˜π‘š)))) ⇝ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴 + Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐡))
401, 2, 13, 16, 39isumclim 15706 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 (𝐴 + 𝐡) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴 + Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107   + caddc 11112  β„€cz 12559  β„€β‰₯cuz 12823  ...cfz 13487  seqcseq 13969   ⇝ cli 15431  Ξ£csu 15635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-sum 15636
This theorem is referenced by:  sumsplit  15717  binomcxplemnotnn0  43673
  Copyright terms: Public domain W3C validator