Theorem isumadd 15753

Description: Addition of infinite sums. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumadd.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumadd.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumadd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isumadd.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumadd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
isumadd.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
isumadd.7	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
isumadd.8	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
isumadd	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 (𝐴 + 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 + Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem isumadd

Dummy variables 𝑗 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumadd.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		isumadd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		fveq2 6902	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
4		fveq2 6902	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐺‘𝑚) = (𝐺‘𝑘))
5	3, 4	oveq12d 7444	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑚) + (𝐺‘𝑚)) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐺‘𝑘)))
6		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) + (𝐺‘𝑚))) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) + (𝐺‘𝑚)))
7		ovex 7459	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑘) + (𝐺‘𝑘)) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 7010	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) + (𝐺‘𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐺‘𝑘)))
9	8	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) + (𝐺‘𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐺‘𝑘)))
10		isumadd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
11		isumadd.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
12	10, 11	oveq12d 7444	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) + (𝐺‘𝑘)) = (𝐴 + 𝐵))
13	9, 12	eqtrd 2768	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) + (𝐺‘𝑚)))‘𝑘) = (𝐴 + 𝐵))
14		isumadd.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
15		isumadd.6	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
16	14, 15	addcld 11271	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
17		isumadd.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
18	1, 2, 10, 14, 17	isumclim2 15744	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)
19		seqex 14008	. . . 4 ⊢ seq𝑀( + , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) + (𝐺‘𝑚)))) ∈ V
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) + (𝐺‘𝑚)))) ∈ V)
21		isumadd.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
22	1, 2, 11, 15, 21	isumclim2 15744	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)
23	10, 14	eqeltrd 2829	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
24	1, 2, 23	serf 14035	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
25	24	ffvelcdmda 7099	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
26	11, 15	eqeltrd 2829	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
27	1, 2, 26	serf 14035	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺):𝑍⟶ℂ)
28	27	ffvelcdmda 7099	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℂ)
29		simpr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
30	29, 1	eleqtrdi 2839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
31		simpll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → 𝜑)
32		elfzuz 13537	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
33	32, 1	eleqtrrdi 2840	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ 𝑍)
34	33	adantl 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
35	31, 34, 23	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
36	31, 34, 26	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
37	34, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) + (𝐺‘𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐺‘𝑘)))
38	30, 35, 36, 37	seradd 14049	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) + (𝐺‘𝑚))))‘𝑗) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) + (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑗)))
39	1, 2, 18, 20, 22, 25, 28, 38	climadd 15616	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) + (𝐺‘𝑚)))) ⇝ (Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 + Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵))
40	1, 2, 13, 16, 39	isumclim 15743	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 (𝐴 + 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 + Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   ↦ cmpt 5235  dom cdm 5682  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℂcc 11144   + caddc 11149  ℤcz 12596  ℤ_≥cuz 12860  ...cfz 13524  seqcseq 14006   ⇝ cli 15468  Σcsu 15672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673

This theorem is referenced by:  sumsplit  15754  binomcxplemnotnn0  43824