Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumadd Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Addition of infinite sums. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumadd.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isumadd.4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumadd.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
isumadd.6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
isumadd.7 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
isumadd.8 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isumadd (𝜑 → Σ𝑘𝑍 (𝐴 + 𝐵) = (Σ𝑘𝑍 𝐴 + Σ𝑘𝑍 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Dummy variables 𝑗 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumadd.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 isumadd.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 fveq2 6646 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
4 fveq2 6646 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (𝐺𝑚) = (𝐺𝑘))
53, 4oveq12d 7154 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
6 eqid 2798 . . . . 5 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚))) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))
7 ovex 7169 . . . . 5 ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)) ∈ V
85, 6, 7fvmpt 6746 . . . 4 (𝑘𝑍 → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
98adantl 485 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
10 isumadd.3 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
11 isumadd.5 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
1210, 11oveq12d 7154 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)) = (𝐴 + 𝐵))
139, 12eqtrd 2833 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))‘𝑘) = (𝐴 + 𝐵))
14 isumadd.4 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
15 isumadd.6 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
1614, 15addcld 10652 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
17 isumadd.7 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
181, 2, 10, 14, 17isumclim2 15108 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘𝑍 𝐴)
19 seqex 13369 . . . 4 seq𝑀( + , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))) ∈ V
2019a1i 11 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))) ∈ V)
21 isumadd.8 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
221, 2, 11, 15, 21isumclim2 15108 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘𝑍 𝐵)
2310, 14eqeltrd 2890 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
241, 2, 23serf 13397 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
2524ffvelrnda 6829 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
2611, 15eqeltrd 2890 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
271, 2, 26serf 13397 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺):𝑍⟶ℂ)
2827ffvelrnda 6829 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℂ)
29 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
3029, 1eleqtrdi 2900 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
31 simpll 766 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → 𝜑)
32 elfzuz 12901 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3332, 1eleqtrrdi 2901 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘𝑍)
3433adantl 485 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → 𝑘𝑍)
3531, 34, 23syl2anc 587 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3631, 34, 26syl2anc 587 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3734, 8syl 17 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
3830, 35, 36, 37seradd 13411 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚))))‘𝑗) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) + (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑗)))
391, 2, 18, 20, 22, 25, 28, 38climadd 14983 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))) ⇝ (Σ𝑘𝑍 𝐴 + Σ𝑘𝑍 𝐵))
401, 2, 13, 16, 39isumclim 15107 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 (𝐴 + 𝐵) = (Σ𝑘𝑍 𝐴 + Σ𝑘𝑍 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ↦ cmpt 5111  dom cdm 5520  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  ℂcc 10527   + caddc 10532  ℤcz 11972  ℤ≥cuz 12234  ...cfz 12888  seqcseq 13367   ⇝ cli 14836  Σcsu 15037 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-inf2 9091  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-sup 8893  df-oi 8961  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-rp 12381  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-seq 13368  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038 This theorem is referenced by:  sumsplit  15118  binomcxplemnotnn0  41103
 Copyright terms: Public domain W3C validator