Theorem isumadd 15740

Description: Addition of infinite sums. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumadd.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumadd.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumadd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isumadd.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumadd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
isumadd.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
isumadd.7	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
isumadd.8	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
isumadd	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 (𝐴 + 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 + Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem isumadd

Dummy variables 𝑗 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumadd.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		isumadd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		fveq2 6861	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
4		fveq2 6861	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐺‘𝑚) = (𝐺‘𝑘))
5	3, 4	oveq12d 7408	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑚) + (𝐺‘𝑚)) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐺‘𝑘)))
6		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) + (𝐺‘𝑚))) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) + (𝐺‘𝑚)))
7		ovex 7423	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑘) + (𝐺‘𝑘)) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 6971	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) + (𝐺‘𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐺‘𝑘)))
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) + (𝐺‘𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐺‘𝑘)))
10		isumadd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
11		isumadd.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
12	10, 11	oveq12d 7408	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) + (𝐺‘𝑘)) = (𝐴 + 𝐵))
13	9, 12	eqtrd 2765	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) + (𝐺‘𝑚)))‘𝑘) = (𝐴 + 𝐵))
14		isumadd.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
15		isumadd.6	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
16	14, 15	addcld 11200	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
17		isumadd.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
18	1, 2, 10, 14, 17	isumclim2 15731	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)
19		seqex 13975	. . . 4 ⊢ seq𝑀( + , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) + (𝐺‘𝑚)))) ∈ V
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) + (𝐺‘𝑚)))) ∈ V)
21		isumadd.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
22	1, 2, 11, 15, 21	isumclim2 15731	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)
23	10, 14	eqeltrd 2829	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
24	1, 2, 23	serf 14002	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
25	24	ffvelcdmda 7059	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
26	11, 15	eqeltrd 2829	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
27	1, 2, 26	serf 14002	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺):𝑍⟶ℂ)
28	27	ffvelcdmda 7059	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℂ)
29		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
30	29, 1	eleqtrdi 2839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
31		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → 𝜑)
32		elfzuz 13488	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
33	32, 1	eleqtrrdi 2840	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ 𝑍)
34	33	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
35	31, 34, 23	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
36	31, 34, 26	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
37	34, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) + (𝐺‘𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐺‘𝑘)))
38	30, 35, 36, 37	seradd 14016	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) + (𝐺‘𝑚))))‘𝑗) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) + (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑗)))
39	1, 2, 18, 20, 22, 25, 28, 38	climadd 15605	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) + (𝐺‘𝑚)))) ⇝ (Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 + Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵))
40	1, 2, 13, 16, 39	isumclim 15730	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 (𝐴 + 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 + Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5191  dom cdm 5641  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073   + caddc 11078  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ...cfz 13475  seqcseq 13973   ⇝ cli 15457  Σcsu 15659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-sum 15660

This theorem is referenced by:  sumsplit  15741  binomcxplemnotnn0  44352