Theorem sumsplit 14956

Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumsplit.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
sumsplit.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
sumsplit.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
sumsplit.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑍)
sumsplit.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
sumsplit.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
sumsplit.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
sumsplit.8	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
sumsplit.9	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
sumsplit	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumsplit.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑍)
2		sumsplit.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
3	2	ralrimiva 3149	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 ∈ ℂ)
4		sumsplit.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	4	eqimssi 3946	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ⊆ (ℤ≥‘𝑀)
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
7	6	orcd 870	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑍 ∈ Fin))
8		sumss2 14916	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑍 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑍 ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0))
9	1, 3, 7, 8	syl21anc 834	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0))
10		sumsplit.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		sumsplit.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
12		iftrue 4387	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
13	12	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
14		elun1 4073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))
15	14, 2	sylan2 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
16	13, 15	eqeltrd 2883	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
17		iffalse 4390	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
18		0cn 10479	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
19	17, 18	syl6eqel 2891	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
20	19	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
21	16, 20	pm2.61dan 809	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
22	21	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
23		sumsplit.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
24		iftrue 4387	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
25	24	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
26		elun2 4074	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 → 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))
27	26, 2	sylan2 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
28	25, 27	eqeltrd 2883	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
29		iffalse 4390	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐵 → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 0)
30	29, 18	syl6eqel 2891	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐵 → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
31	30	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
32	28, 31	pm2.61dan 809	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
33	32	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
34		sumsplit.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
35		sumsplit.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
36	4, 10, 11, 22, 23, 33, 34, 35	isumadd 14955	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
37	15	addid1d 10687	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶 + 0) = 𝐶)
38		noel 4216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
39		elin 4090	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
40		sumsplit.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
41	40	eleq2d 2868	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
42	39, 41	syl5rbbr 287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ∅ ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)))
43	38, 42	mtbii 327	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
44		imnan 400	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
45	43, 44	sylibr 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵))
46	45	imp 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵)
47	46, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 0)
48	13, 47	oveq12d 7034	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = (𝐶 + 0))
49		iftrue 4387	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = 𝐶)
50	14, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = 𝐶)
51	50	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = 𝐶)
52	37, 48, 51	3eqtr4rd 2842	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
53	32	addid2d 10688	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
54	53	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → (0 + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
55	17	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
56	55	oveq1d 7031	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = (0 + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
57		biorf 931	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵)))
58		elun 4046	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵))
59	57, 58	syl6rbbr 291	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))
60	59	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))
61	60	ifbid 4403	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
62	54, 56, 61	3eqtr4rd 2842	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
63	52, 62	pm2.61dan 809	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
64	63	sumeq2sdv 14894	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
65	1	unssad 4084	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
66	15	ralrimiva 3149	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
67		sumss2 14916	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑍 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑍 ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
68	65, 66, 7, 67	syl21anc 834	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
69	1	unssbd 4085	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑍)
70	27	ralrimiva 3149	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
71		sumss2 14916	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑍 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑍 ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
72	69, 70, 7, 71	syl21anc 834	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
73	68, 72	oveq12d 7034	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
74	36, 64, 73	3eqtr4rd 2842	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0))
75	9, 74	eqtr4d 2834	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 842   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ∀wral 3105   ∪ cun 3857   ∩ cin 3858   ⊆ wss 3859  ∅c0 4211  ifcif 4381  dom cdm 5443  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  Fincfn 8357  ℂcc 10381  0cc0 10383   + caddc 10386  ℤcz 11829  ℤ_≥cuz 12093  seqcseq 13219   ⇝ cli 14675  Σcsu 14876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-clim 14679  df-sum 14877

This theorem is referenced by: (None)