Theorem sumsplit 15785

Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumsplit.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
sumsplit.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
sumsplit.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
sumsplit.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑍)
sumsplit.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
sumsplit.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
sumsplit.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
sumsplit.8	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
sumsplit.9	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
sumsplit	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumsplit.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑍)
2		sumsplit.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
3	2	ralrimiva 3153	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 ∈ ℂ)
4		sumsplit.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	4	eqimssi 3994	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ⊆ (ℤ≥‘𝑀)
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
7	6	orcd 884	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑍 ∈ Fin))
8		sumss2 15743	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑍 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑍 ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0))
9	1, 3, 7, 8	syl21anc 848	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0))
10		sumsplit.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		sumsplit.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
12		iftrue 4483	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
13	12	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
14		elun1 4132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))
15	14, 2	sylan2 602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
16	13, 15	eqeltrd 2861	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
17		iffalse 4486	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
18		0cn 11164	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
19	17, 18	eqeltrdi 2869	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
20	19	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
21	16, 20	pm2.61dan 822	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
22	21	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
23		sumsplit.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
24		iftrue 4483	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
25	24	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
26		elun2 4133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 → 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))
27	26, 2	sylan2 602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
28	25, 27	eqeltrd 2861	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
29		iffalse 4486	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐵 → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 0)
30	29, 18	eqeltrdi 2869	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐵 → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
31	30	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
32	28, 31	pm2.61dan 822	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
33	32	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
34		sumsplit.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
35		sumsplit.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
36	4, 10, 11, 22, 23, 33, 34, 35	isumadd 15784	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
37	15	addridd 11376	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶 + 0) = 𝐶)
38		noel 4288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
39		sumsplit.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
40	39	eleq2d 2847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
41		elin 3918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
42	40, 41	bitr3di 288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ∅ ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)))
43	38, 42	mtbii 328	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
44		imnan 403	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
45	43, 44	sylibr 236	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵))
46	45	imp 410	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵)
47	46, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 0)
48	13, 47	oveq12d 7408	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = (𝐶 + 0))
49		iftrue 4483	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = 𝐶)
50	14, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = 𝐶)
51	50	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = 𝐶)
52	37, 48, 51	3eqtr4rd 2807	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
53	32	addlidd 11377	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
54	53	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → (0 + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
55	17	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
56	55	oveq1d 7405	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = (0 + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
57		elun 4104	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵))
58		biorf 947	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵)))
59	57, 58	bitr4id 292	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))
60	59	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))
61	60	ifbid 4501	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
62	54, 56, 61	3eqtr4rd 2807	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
63	52, 62	pm2.61dan 822	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
64	63	sumeq2sdv 15720	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
65	1	unssad 4143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
66	15	ralrimiva 3153	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
67		sumss2 15743	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑍 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑍 ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
68	65, 66, 7, 67	syl21anc 848	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
69	1	unssbd 4144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑍)
70	27	ralrimiva 3153	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
71		sumss2 15743	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑍 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑍 ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
72	69, 70, 7, 71	syl21anc 848	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
73	68, 72	oveq12d 7408	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
74	36, 64, 73	3eqtr4rd 2807	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0))
75	9, 74	eqtr4d 2799	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  ifcif 4477  dom cdm 5643  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  Fincfn 8920  ℂcc 11064  0cc0 11066   + caddc 11069  ℤcz 12561  ℤ_≥cuz 12832  seqcseq 14007   ⇝ cli 15501  Σcsu 15703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-inf2 9589  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9381  df-oi 9451  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-rp 12987  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-seq 14008  df-exp 14068  df-hash 14337  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-clim 15505  df-sum 15704

This theorem is referenced by: (None)