Theorem sumsplit 15741

Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumsplit.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
sumsplit.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
sumsplit.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
sumsplit.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑍)
sumsplit.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
sumsplit.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
sumsplit.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
sumsplit.8	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
sumsplit.9	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
sumsplit	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumsplit.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑍)
2		sumsplit.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
3	2	ralrimiva 3126	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 ∈ ℂ)
4		sumsplit.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	4	eqimssi 4010	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ⊆ (ℤ≥‘𝑀)
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
7	6	orcd 873	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑍 ∈ Fin))
8		sumss2 15699	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑍 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑍 ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0))
9	1, 3, 7, 8	syl21anc 837	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0))
10		sumsplit.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		sumsplit.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
12		iftrue 4497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
13	12	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
14		elun1 4148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))
15	14, 2	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
16	13, 15	eqeltrd 2829	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
17		iffalse 4500	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
18		0cn 11173	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
19	17, 18	eqeltrdi 2837	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
20	19	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
21	16, 20	pm2.61dan 812	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
23		sumsplit.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
24		iftrue 4497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
25	24	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
26		elun2 4149	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 → 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))
27	26, 2	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
28	25, 27	eqeltrd 2829	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
29		iffalse 4500	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐵 → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 0)
30	29, 18	eqeltrdi 2837	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐵 → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
31	30	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
32	28, 31	pm2.61dan 812	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
33	32	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
34		sumsplit.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
35		sumsplit.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
36	4, 10, 11, 22, 23, 33, 34, 35	isumadd 15740	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
37	15	addridd 11381	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶 + 0) = 𝐶)
38		noel 4304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
39		sumsplit.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
40	39	eleq2d 2815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
41		elin 3933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
42	40, 41	bitr3di 286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ∅ ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)))
43	38, 42	mtbii 326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
44		imnan 399	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
45	43, 44	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵))
46	45	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵)
47	46, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 0)
48	13, 47	oveq12d 7408	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = (𝐶 + 0))
49		iftrue 4497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = 𝐶)
50	14, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = 𝐶)
51	50	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = 𝐶)
52	37, 48, 51	3eqtr4rd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
53	32	addlidd 11382	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
54	53	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → (0 + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
55	17	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
56	55	oveq1d 7405	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = (0 + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
57		elun 4119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵))
58		biorf 936	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵)))
59	57, 58	bitr4id 290	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))
60	59	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))
61	60	ifbid 4515	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
62	54, 56, 61	3eqtr4rd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
63	52, 62	pm2.61dan 812	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
64	63	sumeq2sdv 15676	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
65	1	unssad 4159	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
66	15	ralrimiva 3126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
67		sumss2 15699	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑍 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑍 ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
68	65, 66, 7, 67	syl21anc 837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
69	1	unssbd 4160	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑍)
70	27	ralrimiva 3126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
71		sumss2 15699	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑍 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑍 ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
72	69, 70, 7, 71	syl21anc 837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
73	68, 72	oveq12d 7408	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
74	36, 64, 73	3eqtr4rd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0))
75	9, 74	eqtr4d 2768	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   ∪ cun 3915   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  ifcif 4491  dom cdm 5641  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Fincfn 8921  ℂcc 11073  0cc0 11075   + caddc 11078  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  seqcseq 13973   ⇝ cli 15457  Σcsu 15659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-sum 15660

This theorem is referenced by: (None)