MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumsplit 15801
Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sumsplit.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
sumsplit.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
sumsplit.3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
sumsplit.4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑍)
sumsplit.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
sumsplit.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
sumsplit.7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
sumsplit.8 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
sumsplit.9 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
sumsplit (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumsplit
StepHypRef Expression
1 sumsplit.4 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑍)
2 sumsplit.7 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
32ralrimiva 3144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 ∈ ℂ)
4 sumsplit.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
54eqimssi 4056 . . . . 5 𝑍 ⊆ (ℤ𝑀)
65a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑍 ⊆ (ℤ𝑀))
76orcd 873 . . 3 (𝜑 → (𝑍 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝑍 ∈ Fin))
8 sumss2 15759 . . 3 ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑍 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝑍 ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = Σ𝑘𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0))
91, 3, 7, 8syl21anc 838 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = Σ𝑘𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0))
10 sumsplit.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
11 sumsplit.5 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
12 iftrue 4537 . . . . . . . 8 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
1312adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
14 elun1 4192 . . . . . . . 8 (𝑘𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝐵))
1514, 2sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
1613, 15eqeltrd 2839 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
17 iffalse 4540 . . . . . . . 8 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 0)
18 0cn 11251 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
1917, 18eqeltrdi 2847 . . . . . . 7 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
2019adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
2116, 20pm2.61dan 813 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
2221adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
23 sumsplit.6 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
24 iftrue 4537 . . . . . . . 8 (𝑘𝐵 → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
2524adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
26 elun2 4193 . . . . . . . 8 (𝑘𝐵𝑘 ∈ (𝐴𝐵))
2726, 2sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
2825, 27eqeltrd 2839 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
29 iffalse 4540 . . . . . . . 8 𝑘𝐵 → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) = 0)
3029, 18eqeltrdi 2847 . . . . . . 7 𝑘𝐵 → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
3130adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐵) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
3228, 31pm2.61dan 813 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
3332adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
34 sumsplit.8 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
35 sumsplit.9 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
364, 10, 11, 22, 23, 33, 34, 35isumadd 15800 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
3715addridd 11459 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶 + 0) = 𝐶)
38 noel 4344 . . . . . . . . . . 11 ¬ 𝑘 ∈ ∅
39 sumsplit.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
4039eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
41 elin 3979 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
4240, 41bitr3di 286 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘 ∈ ∅ ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
4338, 42mtbii 326 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
44 imnan 399 . . . . . . . . . 10 ((𝑘𝐴 → ¬ 𝑘𝐵) ↔ ¬ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
4543, 44sylibr 234 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝐴 → ¬ 𝑘𝐵))
4645imp 406 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 𝑘𝐵)
4746, 29syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) = 0)
4813, 47oveq12d 7449 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (𝐶 + 0))
49 iftrue 4537 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = 𝐶)
5014, 49syl 17 . . . . . . 7 (𝑘𝐴 → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = 𝐶)
5150adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = 𝐶)
5237, 48, 513eqtr4rd 2786 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
5332addlidd 11460 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
5453adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐴) → (0 + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
5517adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 0)
5655oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (0 + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
57 elun 4163 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
58 biorf 936 . . . . . . . . 9 𝑘𝐴 → (𝑘𝐵 ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
5957, 58bitr4id 290 . . . . . . . 8 𝑘𝐴 → (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑘𝐵))
6059adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐴) → (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑘𝐵))
6160ifbid 4554 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
6254, 56, 613eqtr4rd 2786 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
6352, 62pm2.61dan 813 . . . 4 (𝜑 → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
6463sumeq2sdv 15736 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = Σ𝑘𝑍 (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
651unssad 4203 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑍)
6615ralrimiva 3144 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
67 sumss2 15759 . . . . 5 (((𝐴𝑍 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑍 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝑍 ∈ Fin)) → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
6865, 66, 7, 67syl21anc 838 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
691unssbd 4204 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑍)
7027ralrimiva 3144 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
71 sumss2 15759 . . . . 5 (((𝐵𝑍 ∧ ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑍 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝑍 ∈ Fin)) → Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
7269, 70, 7, 71syl21anc 838 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
7368, 72oveq12d 7449 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶) = (Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
7436, 64, 733eqtr4rd 2786 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶) = Σ𝑘𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0))
759, 74eqtr4d 2778 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  cun 3961  cin 3962  wss 3963  c0 4339  ifcif 4531  dom cdm 5689  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cc 11151  0cc0 11153   + caddc 11156  cz 12611  cuz 12876  seqcseq 14039  cli 15517  Σcsu 15719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator