MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isum1p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isum1p 15825
Description: The infinite sum of a converging infinite series equals the first term plus the infinite sum of the rest of it. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isum1p.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isum1p.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isum1p.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isum1p.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isum1p.6 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isum1p (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = ((𝐹𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))𝐴))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isum1p
StepHypRef Expression
1 isum1p.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 eqid 2727 . . 3 (ℤ‘(𝑀 + 1)) = (ℤ‘(𝑀 + 1))
3 isum1p.3 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 uzid 12873 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
6 peano2uz 12921 . . . . 5 (𝑀 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
87, 1eleqtrrdi 2839 . . 3 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ 𝑍)
9 isum1p.4 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
10 isum1p.5 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
11 isum1p.6 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
121, 2, 8, 9, 10, 11isumsplit 15824 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑀 + 1) − 1))𝐴 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))𝐴))
133zcnd 12703 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
14 ax-1cn 11202 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
15 pncan 11502 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
1613, 14, 15sylancl 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
1716oveq2d 7440 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀...((𝑀 + 1) − 1)) = (𝑀...𝑀))
1817sumeq1d 15685 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑀 + 1) − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐴)
19 elfzuz 13535 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
2019, 1eleqtrrdi 2839 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘𝑍)
2120, 9sylan2 591 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
2221sumeq2dv 15687 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)(𝐹𝑘) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐴)
23 fveq2 6900 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
2423eleq1d 2813 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑀) ∈ ℂ))
259, 10eqeltrd 2828 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2625ralrimiva 3142 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
275, 1eleqtrrdi 2839 . . . . . 6 (𝜑𝑀𝑍)
2824, 26, 27rspcdva 3610 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℂ)
2923fsum1 15731 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑀) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)(𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
303, 28, 29syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)(𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
3118, 22, 303eqtr2d 2773 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑀 + 1) − 1))𝐴 = (𝐹𝑀))
3231oveq1d 7439 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑀 + 1) − 1))𝐴 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))𝐴) = ((𝐹𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))𝐴))
3312, 32eqtrd 2767 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = ((𝐹𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  dom cdm 5680  cfv 6551  (class class class)co 7424  cc 11142  1c1 11145   + caddc 11147  cmin 11480  cz 12594  cuz 12858  ...cfz 13522  seqcseq 14004  cli 15466  Σcsu 15670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-inf2 9670  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14328  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-clim 15470  df-sum 15671
This theorem is referenced by:  isumnn0nn  15826  efsep  16092  rpnnen2lem9  16204  binomcxplemnotnn0  43796
  Copyright terms: Public domain W3C validator