Theorem isum1p 15198

Description: The infinite sum of a converging infinite series equals the first term plus the infinite sum of the rest of it. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isum1p.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isum1p.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isum1p.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isum1p.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isum1p.6	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
isum1p	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = ((𝐹‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))𝐴))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isum1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isum1p.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		eqid 2823	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑀 + 1))
3		isum1p.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		uzid 12261	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		peano2uz 12304	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8	7, 1	eleqtrrdi 2926	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ 𝑍)
9		isum1p.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
10		isum1p.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		isum1p.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
12	1, 2, 8, 9, 10, 11	isumsplit 15197	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑀 + 1) − 1))𝐴 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))𝐴))
13	3	zcnd 12091	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
14		ax-1cn 10597	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
15		pncan 10894	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
16	13, 14, 15	sylancl 588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
17	16	oveq2d 7174	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀...((𝑀 + 1) − 1)) = (𝑀...𝑀))
18	17	sumeq1d 15060	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑀 + 1) − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐴)
19		elfzuz 12907	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
20	19, 1	eleqtrrdi 2926	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘 ∈ 𝑍)
21	20, 9	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
22	21	sumeq2dv 15062	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)(𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐴)
23		fveq2 6672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑀))
24	23	eleq1d 2899	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ))
25	9, 10	eqeltrd 2915	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
26	25	ralrimiva 3184	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
27	5, 1	eleqtrrdi 2926	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
28	24, 26, 27	rspcdva 3627	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ)
29	23	fsum1 15104	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)(𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑀))
30	3, 28, 29	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)(𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑀))
31	18, 22, 30	3eqtr2d 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑀 + 1) − 1))𝐴 = (𝐹‘𝑀))
32	31	oveq1d 7173	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑀 + 1) − 1))𝐴 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))𝐴) = ((𝐹‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))𝐴))
33	12, 32	eqtrd 2858	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = ((𝐹‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  dom cdm 5557  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  1c1 10540   + caddc 10542   − cmin 10872  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  ...cfz 12895  seqcseq 13372   ⇝ cli 14843  Σcsu 15044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-sum 15045

This theorem is referenced by:  isumnn0nn  15199  efsep  15465  rpnnen2lem9  15577  binomcxplemnotnn0  40695