MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isum1p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isum1p 15733
Description: The infinite sum of a converging infinite series equals the first term plus the infinite sum of the rest of it. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isum1p.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isum1p.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isum1p.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isum1p.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isum1p.6 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isum1p (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = ((𝐹𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))𝐴))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isum1p
StepHypRef Expression
1 isum1p.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 eqid 2737 . . 3 (ℤ‘(𝑀 + 1)) = (ℤ‘(𝑀 + 1))
3 isum1p.3 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 uzid 12785 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
6 peano2uz 12833 . . . . 5 (𝑀 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
87, 1eleqtrrdi 2849 . . 3 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ 𝑍)
9 isum1p.4 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
10 isum1p.5 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
11 isum1p.6 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
121, 2, 8, 9, 10, 11isumsplit 15732 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑀 + 1) − 1))𝐴 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))𝐴))
133zcnd 12615 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
14 ax-1cn 11116 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
15 pncan 11414 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
1613, 14, 15sylancl 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
1716oveq2d 7378 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀...((𝑀 + 1) − 1)) = (𝑀...𝑀))
1817sumeq1d 15593 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑀 + 1) − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐴)
19 elfzuz 13444 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
2019, 1eleqtrrdi 2849 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘𝑍)
2120, 9sylan2 594 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
2221sumeq2dv 15595 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)(𝐹𝑘) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐴)
23 fveq2 6847 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
2423eleq1d 2823 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑀) ∈ ℂ))
259, 10eqeltrd 2838 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2625ralrimiva 3144 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
275, 1eleqtrrdi 2849 . . . . . 6 (𝜑𝑀𝑍)
2824, 26, 27rspcdva 3585 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℂ)
2923fsum1 15639 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑀) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)(𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
303, 28, 29syl2anc 585 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)(𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
3118, 22, 303eqtr2d 2783 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑀 + 1) − 1))𝐴 = (𝐹𝑀))
3231oveq1d 7377 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑀 + 1) − 1))𝐴 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))𝐴) = ((𝐹𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))𝐴))
3312, 32eqtrd 2777 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = ((𝐹𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  dom cdm 5638  cfv 6501  (class class class)co 7362  cc 11056  1c1 11059   + caddc 11061  cmin 11392  cz 12506  cuz 12770  ...cfz 13431  seqcseq 13913  cli 15373  Σcsu 15577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  isumnn0nn  15734  efsep  15999  rpnnen2lem9  16111  binomcxplemnotnn0  42710
  Copyright terms: Public domain W3C validator