Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isum1p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isum1p 15191
 Description: The infinite sum of a converging infinite series equals the first term plus the infinite sum of the rest of it. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isum1p.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isum1p.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isum1p.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isum1p.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isum1p.6 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isum1p (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = ((𝐹𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))𝐴))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isum1p
StepHypRef Expression
1 isum1p.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 eqid 2798 . . 3 (ℤ‘(𝑀 + 1)) = (ℤ‘(𝑀 + 1))
3 isum1p.3 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 uzid 12249 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
6 peano2uz 12292 . . . . 5 (𝑀 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
87, 1eleqtrrdi 2901 . . 3 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ 𝑍)
9 isum1p.4 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
10 isum1p.5 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
11 isum1p.6 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
121, 2, 8, 9, 10, 11isumsplit 15190 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑀 + 1) − 1))𝐴 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))𝐴))
133zcnd 12079 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
14 ax-1cn 10587 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
15 pncan 10884 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
1613, 14, 15sylancl 589 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
1716oveq2d 7152 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀...((𝑀 + 1) − 1)) = (𝑀...𝑀))
1817sumeq1d 15053 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑀 + 1) − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐴)
19 elfzuz 12901 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
2019, 1eleqtrrdi 2901 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘𝑍)
2120, 9sylan2 595 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
2221sumeq2dv 15055 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)(𝐹𝑘) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐴)
23 fveq2 6646 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
2423eleq1d 2874 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑀) ∈ ℂ))
259, 10eqeltrd 2890 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2625ralrimiva 3149 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
275, 1eleqtrrdi 2901 . . . . . 6 (𝜑𝑀𝑍)
2824, 26, 27rspcdva 3573 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℂ)
2923fsum1 15097 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑀) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)(𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
303, 28, 29syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)(𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
3118, 22, 303eqtr2d 2839 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑀 + 1) − 1))𝐴 = (𝐹𝑀))
3231oveq1d 7151 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑀 + 1) − 1))𝐴 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))𝐴) = ((𝐹𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))𝐴))
3312, 32eqtrd 2833 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = ((𝐹𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  dom cdm 5520  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  ℂcc 10527  1c1 10530   + caddc 10532   − cmin 10862  ℤcz 11972  ℤ≥cuz 12234  ...cfz 12888  seqcseq 13367   ⇝ cli 14836  Σcsu 15037 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-inf2 9091  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-sup 8893  df-oi 8961  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-rp 12381  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-seq 13368  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038 This theorem is referenced by:  isumnn0nn  15192  efsep  15458  rpnnen2lem9  15570  binomcxplemnotnn0  41103
 Copyright terms: Public domain W3C validator