Theorem isum1p 15553

Description: The infinite sum of a converging infinite series equals the first term plus the infinite sum of the rest of it. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isum1p.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isum1p.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isum1p.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isum1p.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isum1p.6	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
isum1p	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = ((𝐹‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))𝐴))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isum1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isum1p.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑀 + 1))
3		isum1p.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		uzid 12597	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		peano2uz 12641	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8	7, 1	eleqtrrdi 2850	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ 𝑍)
9		isum1p.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
10		isum1p.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		isum1p.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
12	1, 2, 8, 9, 10, 11	isumsplit 15552	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑀 + 1) − 1))𝐴 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))𝐴))
13	3	zcnd 12427	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
14		ax-1cn 10929	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
15		pncan 11227	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
16	13, 14, 15	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
17	16	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀...((𝑀 + 1) − 1)) = (𝑀...𝑀))
18	17	sumeq1d 15413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑀 + 1) − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐴)
19		elfzuz 13252	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
20	19, 1	eleqtrrdi 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘 ∈ 𝑍)
21	20, 9	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
22	21	sumeq2dv 15415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)(𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐴)
23		fveq2 6774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑀))
24	23	eleq1d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ))
25	9, 10	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
26	25	ralrimiva 3103	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
27	5, 1	eleqtrrdi 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
28	24, 26, 27	rspcdva 3562	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ)
29	23	fsum1 15459	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)(𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑀))
30	3, 28, 29	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)(𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑀))
31	18, 22, 30	3eqtr2d 2784	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑀 + 1) − 1))𝐴 = (𝐹‘𝑀))
32	31	oveq1d 7290	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑀 + 1) − 1))𝐴 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))𝐴) = ((𝐹‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))𝐴))
33	12, 32	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = ((𝐹‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  dom cdm 5589  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  1c1 10872   + caddc 10874   − cmin 11205  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ...cfz 13239  seqcseq 13721   ⇝ cli 15193  Σcsu 15397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398

This theorem is referenced by:  isumnn0nn  15554  efsep  15819  rpnnen2lem9  15931  binomcxplemnotnn0  41974