Theorem ioovonmbl 43710

Description: Any n-dimensional open interval is Lebesgue measurable. This is the first statement in Proposition 115G (c) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioovonmbl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
ioovonmbl.s	⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
ioovonmbl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ*)
ioovonmbl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
ioovonmbl	⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝑖,𝑋   𝜑,𝑖

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑖)

Proof of Theorem ioovonmbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioovonmbl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		ioovonmbl.s	. 2 ⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
3		ioovonmbl.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ*)
4		ioovonmbl.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ*)
5	1, 3, 4	ioorrnopnxr 43343	. 2 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
6	1, 2, 5	opnvonmbl 43667	1 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  dom cdm 5527  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  Xcixp 8484  Fincfn 8532  ℝ^*cxr 10717  (,)cioo 12784  volncvoln 43571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-inf2 9142  ax-cc 9900  ax-ac2 9928  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658  ax-addf 10659  ax-mulf 10660

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-disj 5001  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7410  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-supp 7841  df-tpos 7907  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-2o 8118  df-oadd 8121  df-omul 8122  df-er 8304  df-map 8423  df-pm 8424  df-ixp 8485  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-fsupp 8872  df-fi 8913  df-sup 8944  df-inf 8945  df-oi 9012  df-dju 9368  df-card 9406  df-acn 9409  df-ac 9581  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-dec 12143  df-uz 12288  df-q 12394  df-rp 12436  df-xneg 12553  df-xadd 12554  df-xmul 12555  df-ioo 12788  df-ico 12790  df-icc 12791  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-fl 13216  df-seq 13424  df-exp 13485  df-hash 13746  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sqrt 14647  df-abs 14648  df-clim 14898  df-rlim 14899  df-sum 15096  df-prod 15313  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-starv 16643  df-sca 16644  df-vsca 16645  df-ip 16646  df-tset 16647  df-ple 16648  df-ds 16650  df-unif 16651  df-hom 16652  df-cco 16653  df-rest 16759  df-topn 16760  df-0g 16778  df-gsum 16779  df-topgen 16780  df-prds 16784  df-pws 16786  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-mhm 18027  df-submnd 18028  df-grp 18177  df-minusg 18178  df-sbg 18179  df-subg 18348  df-ghm 18428  df-cntz 18519  df-cmn 18980  df-abl 18981  df-mgp 19313  df-ur 19325  df-ring 19372  df-cring 19373  df-oppr 19449  df-dvdsr 19467  df-unit 19468  df-invr 19498  df-dvr 19509  df-rnghom 19543  df-drng 19577  df-field 19578  df-subrg 19606  df-abv 19661  df-staf 19689  df-srng 19690  df-lmod 19709  df-lss 19777  df-lmhm 19867  df-lvec 19948  df-sra 20017  df-rgmod 20018  df-psmet 20163  df-xmet 20164  df-met 20165  df-bl 20166  df-mopn 20167  df-cnfld 20172  df-refld 20375  df-phl 20396  df-dsmm 20502  df-frlm 20517  df-top 21599  df-topon 21616  df-topsp 21638  df-bases 21651  df-cmp 22092  df-xms 23027  df-ms 23028  df-nm 23289  df-ngp 23290  df-tng 23291  df-nrg 23292  df-nlm 23293  df-clm 23769  df-cph 23874  df-tcph 23875  df-rrx 24090  df-ovol 24169  df-vol 24170  df-salg 43345  df-sumge0 43396  df-mea 43483  df-ome 43523  df-caragen 43525  df-ovoln 43570  df-voln 43572

This theorem is referenced by:  iccvonmbllem  43711  vonioolem2  43714  vonioo  43715