Theorem lcmfdvds 16666

Description: The least common multiple of a set of integers divides any integer which is divisible by all elements of the set. (Contributed by AV, 26-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmfdvds	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 → (lcm‘𝑍) ∥ 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐾   𝑚,𝑍

Proof of Theorem lcmfdvds

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5101	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑚 ∥ 𝑘 ↔ 𝑚 ∥ 𝐾))
2	1	ralbidv 3184	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾))
3		breq2 5101	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝑘 ↔ (lcm‘𝑍) ∥ 𝐾))
4	2, 3	imbi12d 346	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 → (lcm‘𝑍) ∥ 𝑘) ↔ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 → (lcm‘𝑍) ∥ 𝐾)))
5	4	rspccv 3577	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℤ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 → (lcm‘𝑍) ∥ 𝑘) → (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 → (lcm‘𝑍) ∥ 𝐾)))
6	5	adantr 484	. . 3 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ℤ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 → (lcm‘𝑍) ∥ 𝑘) ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ (lcm‘(𝑍 ∪ {𝑛})) = ((lcm‘𝑍) lcm 𝑛)) → (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 → (lcm‘𝑍) ∥ 𝐾)))
7		lcmfunsnlem 16665	. . 3 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (∀𝑘 ∈ ℤ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 → (lcm‘𝑍) ∥ 𝑘) ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ (lcm‘(𝑍 ∪ {𝑛})) = ((lcm‘𝑍) lcm 𝑛)))
8	6, 7	syl11 33	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 → (lcm‘𝑍) ∥ 𝐾)))
9	8	3impib 1128	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 → (lcm‘𝑍) ∥ 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902  {csn 4579   class class class wbr 5097  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  Fincfn 8920  ℤcz 12561   ∥ cdvds 16276   lcm clcm 16612  lcmclcmf 16613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-inf2 9589  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9381  df-inf 9382  df-oi 9451  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-rp 12987  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-fl 13795  df-mod 13873  df-seq 14008  df-exp 14068  df-hash 14337  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-clim 15505  df-prod 15924  df-dvds 16277  df-gcd 16519  df-lcm 16614  df-lcmf 16615

This theorem is referenced by:  lcmfdvdsb  16667