Theorem cxplea 24995

Description: Ordering property for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cxplea	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (𝐴↑𝑐𝐵) ≤ (𝐴↑𝑐𝐶))

Proof of Theorem cxplea

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1174	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)
2		simpl1l 1205	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		simpr 477	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
4		simpl2 1173	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 1 < 𝐴) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
5		cxple 24994	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐴↑𝑐𝐵) ≤ (𝐴↑𝑐𝐶)))
6	2, 3, 4, 5	syl21anc 826	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 1 < 𝐴) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐴↑𝑐𝐵) ≤ (𝐴↑𝑐𝐶)))
7	1, 6	mpbid 224	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴↑𝑐𝐵) ≤ (𝐴↑𝑐𝐶))
8		1le1 11067	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 1
9		simp2l 1180	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	recnd 10466	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℂ)
11		1cxp 24971	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (1↑𝑐𝐵) = 1)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (1↑𝑐𝐵) = 1)
13		simp2r 1181	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
14	13	recnd 10466	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
15		1cxp 24971	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (1↑𝑐𝐶) = 1)
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (1↑𝑐𝐶) = 1)
17	12, 16	breq12d 4938	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ((1↑𝑐𝐵) ≤ (1↑𝑐𝐶) ↔ 1 ≤ 1))
18	8, 17	mpbiri 250	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (1↑𝑐𝐵) ≤ (1↑𝑐𝐶))
19		oveq1 6981	. . . . 5 ⊢ (1 = 𝐴 → (1↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝑐𝐵))
20		oveq1 6981	. . . . 5 ⊢ (1 = 𝐴 → (1↑𝑐𝐶) = (𝐴↑𝑐𝐶))
21	19, 20	breq12d 4938	. . . 4 ⊢ (1 = 𝐴 → ((1↑𝑐𝐵) ≤ (1↑𝑐𝐶) ↔ (𝐴↑𝑐𝐵) ≤ (𝐴↑𝑐𝐶)))
22	18, 21	syl5ibcom 237	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (1 = 𝐴 → (𝐴↑𝑐𝐵) ≤ (𝐴↑𝑐𝐶)))
23	22	imp 398	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 1 = 𝐴) → (𝐴↑𝑐𝐵) ≤ (𝐴↑𝑐𝐶))
24		1re 10437	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
25		leloe 10525	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (1 ≤ 𝐴 ↔ (1 < 𝐴 ∨ 1 = 𝐴)))
26	24, 25	mpan 678	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 ↔ (1 < 𝐴 ∨ 1 = 𝐴)))
27	26	biimpa 469	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (1 < 𝐴 ∨ 1 = 𝐴))
28	27	3ad2ant1 1114	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (1 < 𝐴 ∨ 1 = 𝐴))
29	7, 23, 28	mpjaodan 942	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (𝐴↑𝑐𝐵) ≤ (𝐴↑𝑐𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∨ wo 834   ∧ w3a 1069   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   class class class wbr 4925  (class class class)co 6974  ℂcc 10331  ℝcr 10332  1c1 10334   < clt 10472   ≤ cle 10473  ↑_𝑐ccxp 24855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-inf2 8896  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411  ax-addf 10412  ax-mulf 10413

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-iin 4791  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-se 5363  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-isom 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-of 7225  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-supp 7632  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-2o 7904  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-pm 8207  df-ixp 8258  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-fsupp 8627  df-fi 8668  df-sup 8699  df-inf 8700  df-oi 8767  df-card 9160  df-cda 9386  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-7 11506  df-8 11507  df-9 11508  df-n0 11706  df-z 11792  df-dec 11910  df-uz 12057  df-q 12161  df-rp 12203  df-xneg 12322  df-xadd 12323  df-xmul 12324  df-ioo 12556  df-ioc 12557  df-ico 12558  df-icc 12559  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-fl 12975  df-mod 13051  df-seq 13183  df-exp 13243  df-fac 13447  df-bc 13476  df-hash 13504  df-shft 14285  df-cj 14317  df-re 14318  df-im 14319  df-sqrt 14453  df-abs 14454  df-limsup 14687  df-clim 14704  df-rlim 14705  df-sum 14902  df-ef 15279  df-sin 15281  df-cos 15282  df-pi 15284  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-mulr 16433  df-starv 16434  df-sca 16435  df-vsca 16436  df-ip 16437  df-tset 16438  df-ple 16439  df-ds 16441  df-unif 16442  df-hom 16443  df-cco 16444  df-rest 16550  df-topn 16551  df-0g 16569  df-gsum 16570  df-topgen 16571  df-pt 16572  df-prds 16575  df-xrs 16629  df-qtop 16634  df-imas 16635  df-xps 16637  df-mre 16727  df-mrc 16728  df-acs 16730  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-submnd 17816  df-mulg 18024  df-cntz 18230  df-cmn 18680  df-psmet 20254  df-xmet 20255  df-met 20256  df-bl 20257  df-mopn 20258  df-fbas 20259  df-fg 20260  df-cnfld 20263  df-top 21221  df-topon 21238  df-topsp 21260  df-bases 21273  df-cld 21346  df-ntr 21347  df-cls 21348  df-nei 21425  df-lp 21463  df-perf 21464  df-cn 21554  df-cnp 21555  df-haus 21642  df-tx 21889  df-hmeo 22082  df-fil 22173  df-fm 22265  df-flim 22266  df-flf 22267  df-xms 22648  df-ms 22649  df-tms 22650  df-cncf 23204  df-limc 24182  df-dv 24183  df-log 24856  df-cxp 24857

This theorem is referenced by:  cxplead  25020