Theorem ge2nprmge4 16334

Description: A composite integer greater than or equal to 2 is greater than or equal to 4. (Contributed by AV, 5-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ge2nprmge4	⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4))

Proof of Theorem ge2nprmge4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2b2 12590	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋))
2		4z 12284	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℤ
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 4 ∈ ℤ)
4		nnz 12272	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℤ)
5	4	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ ℤ)
6		1z 12280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		zltp1le 12300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (1 < 𝑋 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑋))
8	6, 4, 7	sylancr 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (1 < 𝑋 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑋))
9		1p1e2 12028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + 1) = 2
10	9	breq1i 5077	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 + 1) ≤ 𝑋 ↔ 2 ≤ 𝑋)
11	8, 10	bitrdi 286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (1 < 𝑋 ↔ 2 ≤ 𝑋))
12		2re 11977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		nnre 11910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℝ)
14		leloe 10992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝑋 ↔ (2 < 𝑋 ∨ 2 = 𝑋)))
15	12, 13, 14	sylancr 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (2 ≤ 𝑋 ↔ (2 < 𝑋 ∨ 2 = 𝑋)))
16		2z 12282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
17		zltp1le 12300	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (2 < 𝑋 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑋))
18	16, 4, 17	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (2 < 𝑋 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑋))
19		2p1e3 12045	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 + 1) = 3
20	19	breq1i 5077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 + 1) ≤ 𝑋 ↔ 3 ≤ 𝑋)
21	18, 20	bitrdi 286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (2 < 𝑋 ↔ 3 ≤ 𝑋))
22		3re 11983	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℝ
23		leloe 10992	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (3 ≤ 𝑋 ↔ (3 < 𝑋 ∨ 3 = 𝑋)))
24	22, 13, 23	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (3 ≤ 𝑋 ↔ (3 < 𝑋 ∨ 3 = 𝑋)))
25		df-4 11968	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 = (3 + 1)
26		3z 12283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 3 ∈ ℤ
27		zltp1le 12300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (3 < 𝑋 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑋))
28	26, 4, 27	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (3 < 𝑋 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑋))
29	28	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 3 < 𝑋) → (3 + 1) ≤ 𝑋)
30	25, 29	eqbrtrid 5105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 3 < 𝑋) → 4 ≤ 𝑋)
31	30	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 3 < 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
32	31	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (3 < 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
33		neleq1 3053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 = 3 → (𝑋 ∉ ℙ ↔ 3 ∉ ℙ))
34	33	eqcoms 2746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (3 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ ↔ 3 ∉ ℙ))
35		3prm 16327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℙ
36		elnelall 3061	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 ∈ ℙ → (3 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
37	35, 36	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (3 = 𝑋 → (3 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
38	34, 37	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (3 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
40	32, 39	jaod 855	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → ((3 < 𝑋 ∨ 3 = 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
41	24, 40	sylbid 239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (3 ≤ 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
42	21, 41	sylbid 239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (2 < 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
43		neleq1 3053	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 = 2 → (𝑋 ∉ ℙ ↔ 2 ∉ ℙ))
44	43	eqcoms 2746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ ↔ 2 ∉ ℙ))
45		2prm 16325	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℙ
46		elnelall 3061	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℙ → (2 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
47	45, 46	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 = 𝑋 → (2 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
48	44, 47	sylbid 239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (2 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
50	42, 49	jaod 855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → ((2 < 𝑋 ∨ 2 = 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
51	15, 50	sylbid 239	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (2 ≤ 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
52	11, 51	sylbid 239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (1 < 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
53	52	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
54	53	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 4 ≤ 𝑋)
55	3, 5, 54	3jca 1126	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋))
56	55	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → (4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋)))
57		eluz2 12517	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋))
58	56, 57	syl6ibr 251	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)))
59	1, 58	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑋 ∉ ℙ → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)))
60	59	imp 406	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3048   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940   ≤ cle 10941  ℕcn 11903  2c2 11958  3c3 11959  4c4 11960  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ℙcprime 16304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-prm 16305

This theorem is referenced by:  fpprel2  45081