Theorem ge2nprmge4 16748

Description: A composite integer greater than or equal to 2 is greater than or equal to 4. (Contributed by AV, 5-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ge2nprmge4	⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4))

Proof of Theorem ge2nprmge4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2b2 12986	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋))
2		4z 12677	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℤ
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 4 ∈ ℤ)
4		nnz 12660	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℤ)
5	4	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ ℤ)
6		1z 12673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		zltp1le 12693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (1 < 𝑋 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑋))
8	6, 4, 7	sylancr 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (1 < 𝑋 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑋))
9		1p1e2 12418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + 1) = 2
10	9	breq1i 5173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 + 1) ≤ 𝑋 ↔ 2 ≤ 𝑋)
11	8, 10	bitrdi 287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (1 < 𝑋 ↔ 2 ≤ 𝑋))
12		2re 12367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		nnre 12300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℝ)
14		leloe 11376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝑋 ↔ (2 < 𝑋 ∨ 2 = 𝑋)))
15	12, 13, 14	sylancr 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (2 ≤ 𝑋 ↔ (2 < 𝑋 ∨ 2 = 𝑋)))
16		2z 12675	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
17		zltp1le 12693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (2 < 𝑋 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑋))
18	16, 4, 17	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (2 < 𝑋 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑋))
19		2p1e3 12435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 + 1) = 3
20	19	breq1i 5173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 + 1) ≤ 𝑋 ↔ 3 ≤ 𝑋)
21	18, 20	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (2 < 𝑋 ↔ 3 ≤ 𝑋))
22		3re 12373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℝ
23		leloe 11376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (3 ≤ 𝑋 ↔ (3 < 𝑋 ∨ 3 = 𝑋)))
24	22, 13, 23	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (3 ≤ 𝑋 ↔ (3 < 𝑋 ∨ 3 = 𝑋)))
25		df-4 12358	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 = (3 + 1)
26		3z 12676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 3 ∈ ℤ
27		zltp1le 12693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (3 < 𝑋 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑋))
28	26, 4, 27	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (3 < 𝑋 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑋))
29	28	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 3 < 𝑋) → (3 + 1) ≤ 𝑋)
30	25, 29	eqbrtrid 5201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 3 < 𝑋) → 4 ≤ 𝑋)
31	30	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 3 < 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
32	31	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (3 < 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
33		neleq1 3058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 = 3 → (𝑋 ∉ ℙ ↔ 3 ∉ ℙ))
34	33	eqcoms 2748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (3 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ ↔ 3 ∉ ℙ))
35		3prm 16741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℙ
36		pm2.24nel 3065	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 ∈ ℙ → (3 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
37	35, 36	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (3 = 𝑋 → (3 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
38	34, 37	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (3 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
40	32, 39	jaod 858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → ((3 < 𝑋 ∨ 3 = 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
41	24, 40	sylbid 240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (3 ≤ 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
42	21, 41	sylbid 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (2 < 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
43		neleq1 3058	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 = 2 → (𝑋 ∉ ℙ ↔ 2 ∉ ℙ))
44	43	eqcoms 2748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ ↔ 2 ∉ ℙ))
45		2prm 16739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℙ
46		pm2.24nel 3065	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℙ → (2 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
47	45, 46	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 = 𝑋 → (2 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
48	44, 47	sylbid 240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (2 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
50	42, 49	jaod 858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → ((2 < 𝑋 ∨ 2 = 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
51	15, 50	sylbid 240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (2 ≤ 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
52	11, 51	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (1 < 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
53	52	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
54	53	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 4 ≤ 𝑋)
55	3, 5, 54	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋))
56	55	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → (4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋)))
57		eluz2 12909	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋))
58	56, 57	imbitrrdi 252	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)))
59	1, 58	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑋 ∉ ℙ → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)))
60	59	imp 406	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3052   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℕcn 12293  2c2 12348  3c3 12349  4c4 12350  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ℙcprime 16718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-prm 16719

This theorem is referenced by:  fpprel2  47615