Theorem ge2nprmge4 16725

Description: A composite integer greater than or equal to 2 is greater than or equal to 4. (Contributed by AV, 5-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ge2nprmge4	⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4))

Proof of Theorem ge2nprmge4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2b2 12942	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋))
2		4z 12631	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℤ
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 4 ∈ ℤ)
4		nnz 12614	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℤ)
5	4	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ ℤ)
6		1z 12627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		zltp1le 12647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (1 < 𝑋 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑋))
8	6, 4, 7	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (1 < 𝑋 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑋))
9		1p1e2 12370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + 1) = 2
10	9	breq1i 5131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 + 1) ≤ 𝑋 ↔ 2 ≤ 𝑋)
11	8, 10	bitrdi 287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (1 < 𝑋 ↔ 2 ≤ 𝑋))
12		2re 12319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		nnre 12252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℝ)
14		leloe 11326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝑋 ↔ (2 < 𝑋 ∨ 2 = 𝑋)))
15	12, 13, 14	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (2 ≤ 𝑋 ↔ (2 < 𝑋 ∨ 2 = 𝑋)))
16		2z 12629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
17		zltp1le 12647	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (2 < 𝑋 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑋))
18	16, 4, 17	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (2 < 𝑋 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑋))
19		2p1e3 12387	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 + 1) = 3
20	19	breq1i 5131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 + 1) ≤ 𝑋 ↔ 3 ≤ 𝑋)
21	18, 20	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (2 < 𝑋 ↔ 3 ≤ 𝑋))
22		3re 12325	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℝ
23		leloe 11326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (3 ≤ 𝑋 ↔ (3 < 𝑋 ∨ 3 = 𝑋)))
24	22, 13, 23	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (3 ≤ 𝑋 ↔ (3 < 𝑋 ∨ 3 = 𝑋)))
25		df-4 12310	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 = (3 + 1)
26		3z 12630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 3 ∈ ℤ
27		zltp1le 12647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (3 < 𝑋 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑋))
28	26, 4, 27	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (3 < 𝑋 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑋))
29	28	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 3 < 𝑋) → (3 + 1) ≤ 𝑋)
30	25, 29	eqbrtrid 5159	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 3 < 𝑋) → 4 ≤ 𝑋)
31	30	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 3 < 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
32	31	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (3 < 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
33		neleq1 3043	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 = 3 → (𝑋 ∉ ℙ ↔ 3 ∉ ℙ))
34	33	eqcoms 2744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (3 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ ↔ 3 ∉ ℙ))
35		3prm 16718	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℙ
36		pm2.24nel 3050	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 ∈ ℙ → (3 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
37	35, 36	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (3 = 𝑋 → (3 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
38	34, 37	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (3 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
40	32, 39	jaod 859	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → ((3 < 𝑋 ∨ 3 = 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
41	24, 40	sylbid 240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (3 ≤ 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
42	21, 41	sylbid 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (2 < 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
43		neleq1 3043	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 = 2 → (𝑋 ∉ ℙ ↔ 2 ∉ ℙ))
44	43	eqcoms 2744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ ↔ 2 ∉ ℙ))
45		2prm 16716	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℙ
46		pm2.24nel 3050	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℙ → (2 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
47	45, 46	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 = 𝑋 → (2 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
48	44, 47	sylbid 240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (2 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
50	42, 49	jaod 859	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → ((2 < 𝑋 ∨ 2 = 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
51	15, 50	sylbid 240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (2 ≤ 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
52	11, 51	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (1 < 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
53	52	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
54	53	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 4 ≤ 𝑋)
55	3, 5, 54	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋))
56	55	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → (4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋)))
57		eluz2 12863	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋))
58	56, 57	imbitrrdi 252	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)))
59	1, 58	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑋 ∉ ℙ → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)))
60	59	imp 406	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∉ wnel 3037   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  1c1 11135   + caddc 11137   < clt 11274   ≤ cle 11275  ℕcn 12245  2c2 12300  3c3 12301  4c4 12302  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857  ℙcprime 16695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fz 13530  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-dvds 16278  df-prm 16696

This theorem is referenced by:  fpprel2  47722