MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ge2nprmge4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ge2nprmge4 16739
Description: A composite integer greater than or equal to 2 is greater than or equal to 4. (Contributed by AV, 5-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
ge2nprmge4 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ‘4))

Proof of Theorem ge2nprmge4
StepHypRef Expression
1 eluz2b2 12964 . . 3 (𝑋 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋))
2 4z 12653 . . . . . . 7 4 ∈ ℤ
32a1i 11 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 4 ∈ ℤ)
4 nnz 12636 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℤ)
54ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ ℤ)
6 1z 12649 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℤ
7 zltp1le 12669 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (1 < 𝑋 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑋))
86, 4, 7sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℕ → (1 < 𝑋 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑋))
9 1p1e2 12392 . . . . . . . . . . 11 (1 + 1) = 2
109breq1i 5149 . . . . . . . . . 10 ((1 + 1) ≤ 𝑋 ↔ 2 ≤ 𝑋)
118, 10bitrdi 287 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℕ → (1 < 𝑋 ↔ 2 ≤ 𝑋))
12 2re 12341 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
13 nnre 12274 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℝ)
14 leloe 11348 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝑋 ↔ (2 < 𝑋 ∨ 2 = 𝑋)))
1512, 13, 14sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℕ → (2 ≤ 𝑋 ↔ (2 < 𝑋 ∨ 2 = 𝑋)))
16 2z 12651 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℤ
17 zltp1le 12669 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (2 < 𝑋 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑋))
1816, 4, 17sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℕ → (2 < 𝑋 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑋))
19 2p1e3 12409 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 1) = 3
2019breq1i 5149 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 + 1) ≤ 𝑋 ↔ 3 ≤ 𝑋)
2118, 20bitrdi 287 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℕ → (2 < 𝑋 ↔ 3 ≤ 𝑋))
22 3re 12347 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℝ
23 leloe 11348 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (3 ≤ 𝑋 ↔ (3 < 𝑋 ∨ 3 = 𝑋)))
2422, 13, 23sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℕ → (3 ≤ 𝑋 ↔ (3 < 𝑋 ∨ 3 = 𝑋)))
25 df-4 12332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 = (3 + 1)
26 3z 12652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 ∈ ℤ
27 zltp1le 12669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (3 < 𝑋 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑋))
2826, 4, 27sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 ∈ ℕ → (3 < 𝑋 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑋))
2928biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 3 < 𝑋) → (3 + 1) ≤ 𝑋)
3025, 29eqbrtrid 5177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 3 < 𝑋) → 4 ≤ 𝑋)
3130a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 3 < 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
3231ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℕ → (3 < 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
33 neleq1 3051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 = 3 → (𝑋 ∉ ℙ ↔ 3 ∉ ℙ))
3433eqcoms 2744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ ↔ 3 ∉ ℙ))
35 3prm 16732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℙ
36 pm2.24nel 3058 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 ∈ ℙ → (3 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
3735, 36mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 = 𝑋 → (3 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
3834, 37sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℕ → (3 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
4032, 39jaod 859 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℕ → ((3 < 𝑋 ∨ 3 = 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
4124, 40sylbid 240 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℕ → (3 ≤ 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
4221, 41sylbid 240 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℕ → (2 < 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
43 neleq1 3051 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 = 2 → (𝑋 ∉ ℙ ↔ 2 ∉ ℙ))
4443eqcoms 2744 . . . . . . . . . . . . 13 (2 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ ↔ 2 ∉ ℙ))
45 2prm 16730 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℙ
46 pm2.24nel 3058 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℙ → (2 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
4745, 46mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (2 = 𝑋 → (2 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
4844, 47sylbid 240 . . . . . . . . . . . 12 (2 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
4948a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℕ → (2 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
5042, 49jaod 859 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℕ → ((2 < 𝑋 ∨ 2 = 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
5115, 50sylbid 240 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℕ → (2 ≤ 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
5211, 51sylbid 240 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℕ → (1 < 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
5352imp 406 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
5453imp 406 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 4 ≤ 𝑋)
553, 5, 543jca 1128 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋))
5655ex 412 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → (4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋)))
57 eluz2 12885 . . . 4 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋))
5856, 57imbitrrdi 252 . . 3 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 𝑋 ∈ (ℤ‘4)))
591, 58sylbi 217 . 2 (𝑋 ∈ (ℤ‘2) → (𝑋 ∉ ℙ → 𝑋 ∈ (ℤ‘4)))
6059imp 406 1 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ‘4))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wnel 3045   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  cr 11155  1c1 11157   + caddc 11159   < clt 11296  cle 11297  cn 12267  2c2 12322  3c3 12323  4c4 12324  cz 12615  cuz 12879  cprime 16709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-dvds 16292  df-prm 16710
This theorem is referenced by:  fpprel2  47733
  Copyright terms: Public domain W3C validator