Theorem ge2nprmge4 15874

Description: A composite integer greater than or equal to 2 is greater than or equal to 4. (Contributed by AV, 5-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ge2nprmge4	⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4))

Proof of Theorem ge2nprmge4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2b2 12170	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋))
2		4z 11866	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℤ
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 4 ∈ ℤ)
4		nnz 11854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℤ)
5	4	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ ℤ)
6		1z 11862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		zltp1le 11882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (1 < 𝑋 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑋))
8	6, 4, 7	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (1 < 𝑋 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑋))
9		1p1e2 11612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + 1) = 2
10	9	breq1i 4971	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 + 1) ≤ 𝑋 ↔ 2 ≤ 𝑋)
11	8, 10	syl6bb 288	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (1 < 𝑋 ↔ 2 ≤ 𝑋))
12		2re 11561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		nnre 11495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℝ)
14		leloe 10576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝑋 ↔ (2 < 𝑋 ∨ 2 = 𝑋)))
15	12, 13, 14	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (2 ≤ 𝑋 ↔ (2 < 𝑋 ∨ 2 = 𝑋)))
16		2z 11864	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
17		zltp1le 11882	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (2 < 𝑋 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑋))
18	16, 4, 17	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (2 < 𝑋 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑋))
19		2p1e3 11629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 + 1) = 3
20	19	breq1i 4971	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 + 1) ≤ 𝑋 ↔ 3 ≤ 𝑋)
21	18, 20	syl6bb 288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (2 < 𝑋 ↔ 3 ≤ 𝑋))
22		3re 11567	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℝ
23		leloe 10576	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (3 ≤ 𝑋 ↔ (3 < 𝑋 ∨ 3 = 𝑋)))
24	22, 13, 23	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (3 ≤ 𝑋 ↔ (3 < 𝑋 ∨ 3 = 𝑋)))
25		df-4 11552	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 = (3 + 1)
26		3z 11865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 3 ∈ ℤ
27		zltp1le 11882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (3 < 𝑋 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑋))
28	26, 4, 27	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (3 < 𝑋 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑋))
29	28	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 3 < 𝑋) → (3 + 1) ≤ 𝑋)
30	25, 29	eqbrtrid 4999	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 3 < 𝑋) → 4 ≤ 𝑋)
31	30	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 3 < 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
32	31	ex 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (3 < 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
33		neleq1 3094	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 = 3 → (𝑋 ∉ ℙ ↔ 3 ∉ ℙ))
34	33	eqcoms 2802	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (3 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ ↔ 3 ∉ ℙ))
35		3prm 15867	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℙ
36		elnelall 3102	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 ∈ ℙ → (3 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
37	35, 36	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (3 = 𝑋 → (3 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
38	34, 37	sylbid 241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (3 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
40	32, 39	jaod 854	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → ((3 < 𝑋 ∨ 3 = 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
41	24, 40	sylbid 241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (3 ≤ 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
42	21, 41	sylbid 241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (2 < 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
43		neleq1 3094	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 = 2 → (𝑋 ∉ ℙ ↔ 2 ∉ ℙ))
44	43	eqcoms 2802	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ ↔ 2 ∉ ℙ))
45		2prm 15865	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℙ
46		elnelall 3102	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℙ → (2 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
47	45, 46	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 = 𝑋 → (2 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
48	44, 47	sylbid 241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (2 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
50	42, 49	jaod 854	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → ((2 < 𝑋 ∨ 2 = 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
51	15, 50	sylbid 241	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (2 ≤ 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
52	11, 51	sylbid 241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (1 < 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
53	52	imp 407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
54	53	imp 407	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 4 ≤ 𝑋)
55	3, 5, 54	3jca 1121	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋))
56	55	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → (4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋)))
57		eluz2 12099	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋))
58	56, 57	syl6ibr 253	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)))
59	1, 58	sylbi 218	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑋 ∉ ℙ → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)))
60	59	imp 407	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 842   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2080   ∉ wnel 3089   class class class wbr 4964  ‘cfv 6228  (class class class)co 7019  ℝcr 10385  1c1 10387   + caddc 10389   < clt 10524   ≤ cle 10525  ℕcn 11488  2c2 11542  3c3 11543  4c4 11544  ℤcz 11831  ℤ_≥cuz 12093  ℙcprime 15844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463  ax-pre-sup 10464

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-om 7440  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-1o 7956  df-2o 7957  df-er 8142  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-fin 8364  df-sup 8755  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-div 11148  df-nn 11489  df-2 11550  df-3 11551  df-4 11552  df-n0 11748  df-z 11832  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-dvds 15441  df-prm 15845

This theorem is referenced by:  fpprel2  43402