MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ge2nprmge4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ge2nprmge4 16645
Description: A composite integer greater than or equal to 2 is greater than or equal to 4. (Contributed by AV, 5-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
ge2nprmge4 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ‘4))

Proof of Theorem ge2nprmge4
StepHypRef Expression
1 eluz2b2 12909 . . 3 (𝑋 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋))
2 4z 12600 . . . . . . 7 4 ∈ ℤ
32a1i 11 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 4 ∈ ℤ)
4 nnz 12583 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℤ)
54ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ ℤ)
6 1z 12596 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℤ
7 zltp1le 12616 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (1 < 𝑋 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑋))
86, 4, 7sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℕ → (1 < 𝑋 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑋))
9 1p1e2 12341 . . . . . . . . . . 11 (1 + 1) = 2
109breq1i 5148 . . . . . . . . . 10 ((1 + 1) ≤ 𝑋 ↔ 2 ≤ 𝑋)
118, 10bitrdi 287 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℕ → (1 < 𝑋 ↔ 2 ≤ 𝑋))
12 2re 12290 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
13 nnre 12223 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℝ)
14 leloe 11304 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝑋 ↔ (2 < 𝑋 ∨ 2 = 𝑋)))
1512, 13, 14sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℕ → (2 ≤ 𝑋 ↔ (2 < 𝑋 ∨ 2 = 𝑋)))
16 2z 12598 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℤ
17 zltp1le 12616 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (2 < 𝑋 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑋))
1816, 4, 17sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℕ → (2 < 𝑋 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑋))
19 2p1e3 12358 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 1) = 3
2019breq1i 5148 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 + 1) ≤ 𝑋 ↔ 3 ≤ 𝑋)
2118, 20bitrdi 287 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℕ → (2 < 𝑋 ↔ 3 ≤ 𝑋))
22 3re 12296 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℝ
23 leloe 11304 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (3 ≤ 𝑋 ↔ (3 < 𝑋 ∨ 3 = 𝑋)))
2422, 13, 23sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℕ → (3 ≤ 𝑋 ↔ (3 < 𝑋 ∨ 3 = 𝑋)))
25 df-4 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 = (3 + 1)
26 3z 12599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 ∈ ℤ
27 zltp1le 12616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (3 < 𝑋 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑋))
2826, 4, 27sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 ∈ ℕ → (3 < 𝑋 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑋))
2928biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 3 < 𝑋) → (3 + 1) ≤ 𝑋)
3025, 29eqbrtrid 5176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 3 < 𝑋) → 4 ≤ 𝑋)
3130a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 3 < 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
3231ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℕ → (3 < 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
33 neleq1 3046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 = 3 → (𝑋 ∉ ℙ ↔ 3 ∉ ℙ))
3433eqcoms 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ ↔ 3 ∉ ℙ))
35 3prm 16638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℙ
36 pm2.24nel 3053 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 ∈ ℙ → (3 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
3735, 36mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 = 𝑋 → (3 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
3834, 37sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℕ → (3 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
4032, 39jaod 856 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℕ → ((3 < 𝑋 ∨ 3 = 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
4124, 40sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℕ → (3 ≤ 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
4221, 41sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℕ → (2 < 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
43 neleq1 3046 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 = 2 → (𝑋 ∉ ℙ ↔ 2 ∉ ℙ))
4443eqcoms 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (2 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ ↔ 2 ∉ ℙ))
45 2prm 16636 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℙ
46 pm2.24nel 3053 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℙ → (2 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
4745, 46mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (2 = 𝑋 → (2 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
4844, 47sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 (2 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
4948a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℕ → (2 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
5042, 49jaod 856 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℕ → ((2 < 𝑋 ∨ 2 = 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
5115, 50sylbid 239 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℕ → (2 ≤ 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
5211, 51sylbid 239 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℕ → (1 < 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
5352imp 406 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
5453imp 406 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 4 ≤ 𝑋)
553, 5, 543jca 1125 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋))
5655ex 412 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → (4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋)))
57 eluz2 12832 . . . 4 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋))
5856, 57imbitrrdi 251 . . 3 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 𝑋 ∈ (ℤ‘4)))
591, 58sylbi 216 . 2 (𝑋 ∈ (ℤ‘2) → (𝑋 ∉ ℙ → 𝑋 ∈ (ℤ‘4)))
6059imp 406 1 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ‘4))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wnel 3040   class class class wbr 5141  cfv 6537  (class class class)co 7405  cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252  cle 11253  cn 12216  2c2 12271  3c3 12272  4c4 12273  cz 12562  cuz 12826  cprime 16615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-prm 16616
This theorem is referenced by:  fpprel2  46981
  Copyright terms: Public domain W3C validator