MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ge2nprmge4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ge2nprmge4 16671
Description: A composite integer greater than or equal to 2 is greater than or equal to 4. (Contributed by AV, 5-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
ge2nprmge4 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ‘4))

Proof of Theorem ge2nprmge4
StepHypRef Expression
1 eluz2b2 12935 . . 3 (𝑋 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋))
2 4z 12626 . . . . . . 7 4 ∈ ℤ
32a1i 11 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 4 ∈ ℤ)
4 nnz 12609 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℤ)
54ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ ℤ)
6 1z 12622 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℤ
7 zltp1le 12642 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (1 < 𝑋 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑋))
86, 4, 7sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℕ → (1 < 𝑋 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑋))
9 1p1e2 12367 . . . . . . . . . . 11 (1 + 1) = 2
109breq1i 5150 . . . . . . . . . 10 ((1 + 1) ≤ 𝑋 ↔ 2 ≤ 𝑋)
118, 10bitrdi 286 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℕ → (1 < 𝑋 ↔ 2 ≤ 𝑋))
12 2re 12316 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
13 nnre 12249 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℝ)
14 leloe 11330 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝑋 ↔ (2 < 𝑋 ∨ 2 = 𝑋)))
1512, 13, 14sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℕ → (2 ≤ 𝑋 ↔ (2 < 𝑋 ∨ 2 = 𝑋)))
16 2z 12624 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℤ
17 zltp1le 12642 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (2 < 𝑋 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑋))
1816, 4, 17sylancr 585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℕ → (2 < 𝑋 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑋))
19 2p1e3 12384 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 1) = 3
2019breq1i 5150 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 + 1) ≤ 𝑋 ↔ 3 ≤ 𝑋)
2118, 20bitrdi 286 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℕ → (2 < 𝑋 ↔ 3 ≤ 𝑋))
22 3re 12322 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℝ
23 leloe 11330 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (3 ≤ 𝑋 ↔ (3 < 𝑋 ∨ 3 = 𝑋)))
2422, 13, 23sylancr 585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℕ → (3 ≤ 𝑋 ↔ (3 < 𝑋 ∨ 3 = 𝑋)))
25 df-4 12307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 = (3 + 1)
26 3z 12625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 ∈ ℤ
27 zltp1le 12642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (3 < 𝑋 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑋))
2826, 4, 27sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 ∈ ℕ → (3 < 𝑋 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑋))
2928biimpa 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 3 < 𝑋) → (3 + 1) ≤ 𝑋)
3025, 29eqbrtrid 5178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 3 < 𝑋) → 4 ≤ 𝑋)
3130a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 3 < 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
3231ex 411 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℕ → (3 < 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
33 neleq1 3042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 = 3 → (𝑋 ∉ ℙ ↔ 3 ∉ ℙ))
3433eqcoms 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ ↔ 3 ∉ ℙ))
35 3prm 16664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℙ
36 pm2.24nel 3049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 ∈ ℙ → (3 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
3735, 36mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 = 𝑋 → (3 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
3834, 37sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℕ → (3 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
4032, 39jaod 857 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℕ → ((3 < 𝑋 ∨ 3 = 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
4124, 40sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℕ → (3 ≤ 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
4221, 41sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℕ → (2 < 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
43 neleq1 3042 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 = 2 → (𝑋 ∉ ℙ ↔ 2 ∉ ℙ))
4443eqcoms 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (2 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ ↔ 2 ∉ ℙ))
45 2prm 16662 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℙ
46 pm2.24nel 3049 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℙ → (2 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
4745, 46mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (2 = 𝑋 → (2 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
4844, 47sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 (2 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
4948a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℕ → (2 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
5042, 49jaod 857 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℕ → ((2 < 𝑋 ∨ 2 = 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
5115, 50sylbid 239 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℕ → (2 ≤ 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
5211, 51sylbid 239 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℕ → (1 < 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
5352imp 405 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
5453imp 405 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 4 ≤ 𝑋)
553, 5, 543jca 1125 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋))
5655ex 411 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → (4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋)))
57 eluz2 12858 . . . 4 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋))
5856, 57imbitrrdi 251 . . 3 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 𝑋 ∈ (ℤ‘4)))
591, 58sylbi 216 . 2 (𝑋 ∈ (ℤ‘2) → (𝑋 ∉ ℙ → 𝑋 ∈ (ℤ‘4)))
6059imp 405 1 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ‘4))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wnel 3036   class class class wbr 5143  cfv 6543  (class class class)co 7416  cr 11137  1c1 11139   + caddc 11141   < clt 11278  cle 11279  cn 12242  2c2 12297  3c3 12298  4c4 12299  cz 12588  cuz 12852  cprime 16641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-dvds 16231  df-prm 16642
This theorem is referenced by:  fpprel2  47144
  Copyright terms: Public domain W3C validator