MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ge2nprmge4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ge2nprmge4 15874
Description: A composite integer greater than or equal to 2 is greater than or equal to 4. (Contributed by AV, 5-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
ge2nprmge4 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ‘4))

Proof of Theorem ge2nprmge4
StepHypRef Expression
1 eluz2b2 12170 . . 3 (𝑋 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋))
2 4z 11866 . . . . . . 7 4 ∈ ℤ
32a1i 11 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 4 ∈ ℤ)
4 nnz 11854 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℤ)
54ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ ℤ)
6 1z 11862 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℤ
7 zltp1le 11882 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (1 < 𝑋 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑋))
86, 4, 7sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℕ → (1 < 𝑋 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑋))
9 1p1e2 11612 . . . . . . . . . . 11 (1 + 1) = 2
109breq1i 4971 . . . . . . . . . 10 ((1 + 1) ≤ 𝑋 ↔ 2 ≤ 𝑋)
118, 10syl6bb 288 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℕ → (1 < 𝑋 ↔ 2 ≤ 𝑋))
12 2re 11561 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
13 nnre 11495 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℝ)
14 leloe 10576 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝑋 ↔ (2 < 𝑋 ∨ 2 = 𝑋)))
1512, 13, 14sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℕ → (2 ≤ 𝑋 ↔ (2 < 𝑋 ∨ 2 = 𝑋)))
16 2z 11864 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℤ
17 zltp1le 11882 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (2 < 𝑋 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑋))
1816, 4, 17sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℕ → (2 < 𝑋 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑋))
19 2p1e3 11629 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 1) = 3
2019breq1i 4971 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 + 1) ≤ 𝑋 ↔ 3 ≤ 𝑋)
2118, 20syl6bb 288 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℕ → (2 < 𝑋 ↔ 3 ≤ 𝑋))
22 3re 11567 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℝ
23 leloe 10576 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (3 ≤ 𝑋 ↔ (3 < 𝑋 ∨ 3 = 𝑋)))
2422, 13, 23sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℕ → (3 ≤ 𝑋 ↔ (3 < 𝑋 ∨ 3 = 𝑋)))
25 df-4 11552 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 = (3 + 1)
26 3z 11865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 ∈ ℤ
27 zltp1le 11882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (3 < 𝑋 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑋))
2826, 4, 27sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 ∈ ℕ → (3 < 𝑋 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑋))
2928biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 3 < 𝑋) → (3 + 1) ≤ 𝑋)
3025, 29eqbrtrid 4999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 3 < 𝑋) → 4 ≤ 𝑋)
3130a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 3 < 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
3231ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℕ → (3 < 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
33 neleq1 3094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 = 3 → (𝑋 ∉ ℙ ↔ 3 ∉ ℙ))
3433eqcoms 2802 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ ↔ 3 ∉ ℙ))
35 3prm 15867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℙ
36 elnelall 3102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 ∈ ℙ → (3 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
3735, 36mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 = 𝑋 → (3 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
3834, 37sylbid 241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℕ → (3 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
4032, 39jaod 854 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℕ → ((3 < 𝑋 ∨ 3 = 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
4124, 40sylbid 241 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℕ → (3 ≤ 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
4221, 41sylbid 241 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℕ → (2 < 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
43 neleq1 3094 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 = 2 → (𝑋 ∉ ℙ ↔ 2 ∉ ℙ))
4443eqcoms 2802 . . . . . . . . . . . . 13 (2 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ ↔ 2 ∉ ℙ))
45 2prm 15865 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℙ
46 elnelall 3102 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℙ → (2 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
4745, 46mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (2 = 𝑋 → (2 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
4844, 47sylbid 241 . . . . . . . . . . . 12 (2 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
4948a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℕ → (2 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
5042, 49jaod 854 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℕ → ((2 < 𝑋 ∨ 2 = 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
5115, 50sylbid 241 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℕ → (2 ≤ 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
5211, 51sylbid 241 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℕ → (1 < 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
5352imp 407 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
5453imp 407 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 4 ≤ 𝑋)
553, 5, 543jca 1121 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋))
5655ex 413 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → (4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋)))
57 eluz2 12099 . . . 4 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋))
5856, 57syl6ibr 253 . . 3 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 𝑋 ∈ (ℤ‘4)))
591, 58sylbi 218 . 2 (𝑋 ∈ (ℤ‘2) → (𝑋 ∉ ℙ → 𝑋 ∈ (ℤ‘4)))
6059imp 407 1 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ‘4))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 842  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2080  wnel 3089   class class class wbr 4964  cfv 6228  (class class class)co 7019  cr 10385  1c1 10387   + caddc 10389   < clt 10524  cle 10525  cn 11488  2c2 11542  3c3 11543  4c4 11544  cz 11831  cuz 12093  cprime 15844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463  ax-pre-sup 10464
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-om 7440  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-1o 7956  df-2o 7957  df-er 8142  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-fin 8364  df-sup 8755  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-div 11148  df-nn 11489  df-2 11550  df-3 11551  df-4 11552  df-n0 11748  df-z 11832  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-dvds 15441  df-prm 15845
This theorem is referenced by:  fpprel2  43402
  Copyright terms: Public domain W3C validator