Theorem ge2nprmge4 16792

Description: A composite integer greater than or equal to 2 is greater than or equal to 4. (Contributed by AV, 5-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ge2nprmge4	⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4))

Proof of Theorem ge2nprmge4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2b2 12970	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋))
2		4z 12652	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℤ
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 4 ∈ ℤ)
4		nnz 12636	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℤ)
5	4	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ ℤ)
6		1z 12648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		zltp1le 12668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (1 < 𝑋 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑋))
8	6, 4, 7	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (1 < 𝑋 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑋))
9		1p1e2 12388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + 1) = 2
10	9	breq1i 5110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 + 1) ≤ 𝑋 ↔ 2 ≤ 𝑋)
11	8, 10	bitrdi 290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (1 < 𝑋 ↔ 2 ≤ 𝑋))
12		2re 12339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		nnre 12264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℝ)
14		leloe 11320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝑋 ↔ (2 < 𝑋 ∨ 2 = 𝑋)))
15	12, 13, 14	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (2 ≤ 𝑋 ↔ (2 < 𝑋 ∨ 2 = 𝑋)))
16		2z 12650	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
17		zltp1le 12668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (2 < 𝑋 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑋))
18	16, 4, 17	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (2 < 𝑋 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑋))
19		2p1e3 12406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 + 1) = 3
20	19	breq1i 5110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 + 1) ≤ 𝑋 ↔ 3 ≤ 𝑋)
21	18, 20	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (2 < 𝑋 ↔ 3 ≤ 𝑋))
22		3re 12345	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℝ
23		leloe 11320	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (3 ≤ 𝑋 ↔ (3 < 𝑋 ∨ 3 = 𝑋)))
24	22, 13, 23	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (3 ≤ 𝑋 ↔ (3 < 𝑋 ∨ 3 = 𝑋)))
25		df-4 12329	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 = (3 + 1)
26		3z 12651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 3 ∈ ℤ
27		zltp1le 12668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (3 < 𝑋 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑋))
28	26, 4, 27	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (3 < 𝑋 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑋))
29	28	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 3 < 𝑋) → (3 + 1) ≤ 𝑋)
30	25, 29	eqbrtrid 5140	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 3 < 𝑋) → 4 ≤ 𝑋)
31	30	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 3 < 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
32	31	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (3 < 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
33		neleq1 3067	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 = 3 → (𝑋 ∉ ℙ ↔ 3 ∉ ℙ))
34	33	eqcoms 2768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (3 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ ↔ 3 ∉ ℙ))
35		3prm 16784	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℙ
36		pm2.24nel 3074	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 ∈ ℙ → (3 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
37	35, 36	mp1i 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (3 = 𝑋 → (3 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
38	34, 37	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (3 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
40	32, 39	jaod 873	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → ((3 < 𝑋 ∨ 3 = 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
41	24, 40	sylbid 243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (3 ≤ 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
42	21, 41	sylbid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (2 < 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
43		neleq1 3067	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 = 2 → (𝑋 ∉ ℙ ↔ 2 ∉ ℙ))
44	43	eqcoms 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ ↔ 2 ∉ ℙ))
45		2prm 16782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℙ
46		pm2.24nel 3074	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℙ → (2 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
47	45, 46	mp1i 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 = 𝑋 → (2 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
48	44, 47	sylbid 243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (2 = 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
50	42, 49	jaod 873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → ((2 < 𝑋 ∨ 2 = 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
51	15, 50	sylbid 243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (2 ≤ 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
52	11, 51	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (1 < 𝑋 → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋)))
53	52	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 4 ≤ 𝑋))
54	53	imp 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 4 ≤ 𝑋)
55	3, 5, 54	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋))
56	55	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → (4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋)))
57		eluz2 12893	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋))
58	56, 57	imbitrrdi 255	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) → (𝑋 ∉ ℙ → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)))
59	1, 58	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑋 ∉ ℙ → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)))
60	59	imp 412	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3061   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℝcr 11123  1c1 11125   + caddc 11127   < clt 11267   ≤ cle 11268  ℕcn 12257  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12887  ℙcprime 16761

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-fz 13562  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-dvds 16343  df-prm 16762

This theorem is used by:  fpprel2  48657