MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmf 16566
Description: Characterization of the least common multiple of a set of integers (without 0): A positiven integer is the least common multiple of a set of integers iff it divides each of the elements of the set and every integer which divides each of the elements of the set is greater than or equal to this integer. (Contributed by AV, 22-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmf ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (𝐾 = (lcm𝑍) ↔ (∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐾,𝑚   𝑘,𝑍,𝑚

Proof of Theorem lcmf
StepHypRef Expression
1 dvdslcmf 16564 . . . . . 6 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍))
213adant3 1132 . . . . 5 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍))
3 lcmfledvds 16565 . . . . . . 7 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘) → (lcm𝑍) ≤ 𝑘))
43expdimp 453 . . . . . 6 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘 → (lcm𝑍) ≤ 𝑘))
54ralrimiva 3146 . . . . 5 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘 → (lcm𝑍) ≤ 𝑘))
62, 5jca 512 . . . 4 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘 → (lcm𝑍) ≤ 𝑘)))
76adantl 482 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘 → (lcm𝑍) ≤ 𝑘)))
8 breq2 5151 . . . . 5 (𝐾 = (lcm𝑍) → (𝑚𝐾𝑚 ∥ (lcm𝑍)))
98ralbidv 3177 . . . 4 (𝐾 = (lcm𝑍) → (∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ↔ ∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍)))
10 breq1 5150 . . . . . 6 (𝐾 = (lcm𝑍) → (𝐾𝑘 ↔ (lcm𝑍) ≤ 𝑘))
1110imbi2d 340 . . . . 5 (𝐾 = (lcm𝑍) → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘) ↔ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘 → (lcm𝑍) ≤ 𝑘)))
1211ralbidv 3177 . . . 4 (𝐾 = (lcm𝑍) → (∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘 → (lcm𝑍) ≤ 𝑘)))
139, 12anbi12d 631 . . 3 (𝐾 = (lcm𝑍) → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘)) ↔ (∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘 → (lcm𝑍) ≤ 𝑘))))
147, 13syl5ibrcom 246 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (𝐾 = (lcm𝑍) → (∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘))))
15 lcmfn0cl 16559 . . . . . 6 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm𝑍) ∈ ℕ)
1615adantl 482 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (lcm𝑍) ∈ ℕ)
17 breq2 5151 . . . . . . . 8 (𝑘 = (lcm𝑍) → (𝑚𝑘𝑚 ∥ (lcm𝑍)))
1817ralbidv 3177 . . . . . . 7 (𝑘 = (lcm𝑍) → (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘 ↔ ∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍)))
19 breq2 5151 . . . . . . 7 (𝑘 = (lcm𝑍) → (𝐾𝑘𝐾 ≤ (lcm𝑍)))
2018, 19imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑘 = (lcm𝑍) → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘) ↔ (∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍) → 𝐾 ≤ (lcm𝑍))))
2120rspcv 3608 . . . . 5 ((lcm𝑍) ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘) → (∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍) → 𝐾 ≤ (lcm𝑍))))
2216, 21syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘) → (∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍) → 𝐾 ≤ (lcm𝑍))))
2322adantld 491 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘)) → (∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍) → 𝐾 ≤ (lcm𝑍))))
242adantl 482 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍))
25 nnre 12215 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
2615nnred 12223 . . . . . . 7 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm𝑍) ∈ ℝ)
27 leloe 11296 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (lcm𝑍) ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ (lcm𝑍) ↔ (𝐾 < (lcm𝑍) ∨ 𝐾 = (lcm𝑍))))
2825, 26, 27syl2an 596 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (𝐾 ≤ (lcm𝑍) ↔ (𝐾 < (lcm𝑍) ∨ 𝐾 = (lcm𝑍))))
29 lcmfledvds 16565 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾) → (lcm𝑍) ≤ 𝐾))
3029expd 416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (𝐾 ∈ ℕ → (∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 → (lcm𝑍) ≤ 𝐾)))
3130impcom 408 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 → (lcm𝑍) ≤ 𝐾))
32 lenlt 11288 . . . . . . . . . . . . 13 (((lcm𝑍) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((lcm𝑍) ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < (lcm𝑍)))
3326, 25, 32syl2anr 597 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((lcm𝑍) ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < (lcm𝑍)))
34 pm2.21 123 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 < (lcm𝑍) → (𝐾 < (lcm𝑍) → 𝐾 = (lcm𝑍)))
3533, 34syl6bi 252 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((lcm𝑍) ≤ 𝐾 → (𝐾 < (lcm𝑍) → 𝐾 = (lcm𝑍))))
3631, 35syldc 48 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (𝐾 < (lcm𝑍) → 𝐾 = (lcm𝑍))))
3736adantr 481 . . . . . . . . 9 ((∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘)) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (𝐾 < (lcm𝑍) → 𝐾 = (lcm𝑍))))
3837com13 88 . . . . . . . 8 (𝐾 < (lcm𝑍) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘)) → 𝐾 = (lcm𝑍))))
39 2a1 28 . . . . . . . 8 (𝐾 = (lcm𝑍) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘)) → 𝐾 = (lcm𝑍))))
4038, 39jaoi 855 . . . . . . 7 ((𝐾 < (lcm𝑍) ∨ 𝐾 = (lcm𝑍)) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘)) → 𝐾 = (lcm𝑍))))
4140com12 32 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((𝐾 < (lcm𝑍) ∨ 𝐾 = (lcm𝑍)) → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘)) → 𝐾 = (lcm𝑍))))
4228, 41sylbid 239 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (𝐾 ≤ (lcm𝑍) → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘)) → 𝐾 = (lcm𝑍))))
4324, 42embantd 59 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍) → 𝐾 ≤ (lcm𝑍)) → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘)) → 𝐾 = (lcm𝑍))))
4443com23 86 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘)) → ((∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍) → 𝐾 ≤ (lcm𝑍)) → 𝐾 = (lcm𝑍))))
4523, 44mpdd 43 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘)) → 𝐾 = (lcm𝑍)))
4614, 45impbid 211 1 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (𝐾 = (lcm𝑍) ↔ (∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wnel 3046  wral 3061  wss 3947   class class class wbr 5147  cfv 6540  Fincfn 8935  cr 11105  0cc0 11106   < clt 11244  cle 11245  cn 12208  cz 12554  cdvds 16193  lcmclcmf 16522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-prod 15846  df-dvds 16194  df-lcmf 16524
This theorem is referenced by:  lcmftp  16569  lcmfunsnlem2lem2  16572
  Copyright terms: Public domain W3C validator