Theorem lcmf 15823

Description: Characterization of the least common multiple of a set of integers (without 0): A positiven integer is the least common multiple of a set of integers iff it divides each of the elements of the set and every integer which divides each of the elements of the set is greater than or equal to this integer. (Contributed by AV, 22-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmf	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (𝐾 = (lcm‘𝑍) ↔ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 → 𝐾 ≤ 𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾,𝑚   𝑘,𝑍,𝑚

Proof of Theorem lcmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdslcmf 15821	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ (lcm‘𝑍))
2	1	3adant3 1112	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ (lcm‘𝑍))
3		lcmfledvds 15822	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘) → (lcm‘𝑍) ≤ 𝑘))
4	3	expdimp 445	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 → (lcm‘𝑍) ≤ 𝑘))
5	4	ralrimiva 3126	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 → (lcm‘𝑍) ≤ 𝑘))
6	2, 5	jca 504	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 → (lcm‘𝑍) ≤ 𝑘)))
7	6	adantl 474	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 → (lcm‘𝑍) ≤ 𝑘)))
8		breq2 4927	. . . . 5 ⊢ (𝐾 = (lcm‘𝑍) → (𝑚 ∥ 𝐾 ↔ 𝑚 ∥ (lcm‘𝑍)))
9	8	ralbidv 3141	. . . 4 ⊢ (𝐾 = (lcm‘𝑍) → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ (lcm‘𝑍)))
10		breq1 4926	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = (lcm‘𝑍) → (𝐾 ≤ 𝑘 ↔ (lcm‘𝑍) ≤ 𝑘))
11	10	imbi2d 333	. . . . 5 ⊢ (𝐾 = (lcm‘𝑍) → ((∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 → 𝐾 ≤ 𝑘) ↔ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 → (lcm‘𝑍) ≤ 𝑘)))
12	11	ralbidv 3141	. . . 4 ⊢ (𝐾 = (lcm‘𝑍) → (∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 → 𝐾 ≤ 𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 → (lcm‘𝑍) ≤ 𝑘)))
13	9, 12	anbi12d 621	. . 3 ⊢ (𝐾 = (lcm‘𝑍) → ((∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 → 𝐾 ≤ 𝑘)) ↔ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 → (lcm‘𝑍) ≤ 𝑘))))
14	7, 13	syl5ibrcom 239	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (𝐾 = (lcm‘𝑍) → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 → 𝐾 ≤ 𝑘))))
15		lcmfn0cl 15816	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm‘𝑍) ∈ ℕ)
16	15	adantl 474	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (lcm‘𝑍) ∈ ℕ)
17		breq2 4927	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (lcm‘𝑍) → (𝑚 ∥ 𝑘 ↔ 𝑚 ∥ (lcm‘𝑍)))
18	17	ralbidv 3141	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (lcm‘𝑍) → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ (lcm‘𝑍)))
19		breq2 4927	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (lcm‘𝑍) → (𝐾 ≤ 𝑘 ↔ 𝐾 ≤ (lcm‘𝑍)))
20	18, 19	imbi12d 337	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (lcm‘𝑍) → ((∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 → 𝐾 ≤ 𝑘) ↔ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) → 𝐾 ≤ (lcm‘𝑍))))
21	20	rspcv 3525	. . . . 5 ⊢ ((lcm‘𝑍) ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 → 𝐾 ≤ 𝑘) → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) → 𝐾 ≤ (lcm‘𝑍))))
22	16, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 → 𝐾 ≤ 𝑘) → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) → 𝐾 ≤ (lcm‘𝑍))))
23	22	adantld 483	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 → 𝐾 ≤ 𝑘)) → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) → 𝐾 ≤ (lcm‘𝑍))))
24	2	adantl 474	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ (lcm‘𝑍))
25		nnre 11439	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
26	15	nnred 11448	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm‘𝑍) ∈ ℝ)
27		leloe 10519	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (lcm‘𝑍) ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ (lcm‘𝑍) ↔ (𝐾 < (lcm‘𝑍) ∨ 𝐾 = (lcm‘𝑍))))
28	25, 26, 27	syl2an 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (𝐾 ≤ (lcm‘𝑍) ↔ (𝐾 < (lcm‘𝑍) ∨ 𝐾 = (lcm‘𝑍))))
29		lcmfledvds 15822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾) → (lcm‘𝑍) ≤ 𝐾))
30	29	expd 408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (𝐾 ∈ ℕ → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 → (lcm‘𝑍) ≤ 𝐾)))
31	30	impcom 399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 → (lcm‘𝑍) ≤ 𝐾))
32		lenlt 10511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((lcm‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((lcm‘𝑍) ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < (lcm‘𝑍)))
33	26, 25, 32	syl2anr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((lcm‘𝑍) ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < (lcm‘𝑍)))
34		pm2.21 121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝐾 < (lcm‘𝑍) → (𝐾 < (lcm‘𝑍) → 𝐾 = (lcm‘𝑍)))
35	33, 34	syl6bi 245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((lcm‘𝑍) ≤ 𝐾 → (𝐾 < (lcm‘𝑍) → 𝐾 = (lcm‘𝑍))))
36	31, 35	syldc 48	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (𝐾 < (lcm‘𝑍) → 𝐾 = (lcm‘𝑍))))
37	36	adantr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 → 𝐾 ≤ 𝑘)) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (𝐾 < (lcm‘𝑍) → 𝐾 = (lcm‘𝑍))))
38	37	com13 88	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 < (lcm‘𝑍) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 → 𝐾 ≤ 𝑘)) → 𝐾 = (lcm‘𝑍))))
39		2a1 28	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 = (lcm‘𝑍) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 → 𝐾 ≤ 𝑘)) → 𝐾 = (lcm‘𝑍))))
40	38, 39	jaoi 843	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 < (lcm‘𝑍) ∨ 𝐾 = (lcm‘𝑍)) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 → 𝐾 ≤ 𝑘)) → 𝐾 = (lcm‘𝑍))))
41	40	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((𝐾 < (lcm‘𝑍) ∨ 𝐾 = (lcm‘𝑍)) → ((∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 → 𝐾 ≤ 𝑘)) → 𝐾 = (lcm‘𝑍))))
42	28, 41	sylbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (𝐾 ≤ (lcm‘𝑍) → ((∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 → 𝐾 ≤ 𝑘)) → 𝐾 = (lcm‘𝑍))))
43	24, 42	embantd 59	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) → 𝐾 ≤ (lcm‘𝑍)) → ((∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 → 𝐾 ≤ 𝑘)) → 𝐾 = (lcm‘𝑍))))
44	43	com23 86	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 → 𝐾 ≤ 𝑘)) → ((∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) → 𝐾 ≤ (lcm‘𝑍)) → 𝐾 = (lcm‘𝑍))))
45	23, 44	mpdd 43	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 → 𝐾 ≤ 𝑘)) → 𝐾 = (lcm‘𝑍)))
46	14, 45	impbid 204	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (𝐾 = (lcm‘𝑍) ↔ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 → 𝐾 ≤ 𝑘))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∨ wo 833   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2048   ∉ wnel 3067  ∀wral 3082   ⊆ wss 3825   class class class wbr 4923  ‘cfv 6182  Fincfn 8298  ℝcr 10326  0cc0 10327   < clt 10466   ≤ cle 10467  ℕcn 11431  ℤcz 11786   ∥ cdvds 15457  lcmclcmf 15779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8890  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-se 5360  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-sup 8693  df-inf 8694  df-oi 8761  df-card 9154  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-rp 12198  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-seq 13178  df-exp 13238  df-hash 13499  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-clim 14696  df-prod 15110  df-dvds 15458  df-lcmf 15781

This theorem is referenced by:  lcmftp  15826  lcmfunsnlem2lem2  15829