Theorem dgrlt 26454

Description: Two ways to say that the degree of 𝐹 is strictly less than 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgreq0.1	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
dgreq0.2	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dgrlt	⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐹 = 0𝑝 ∨ 𝑁 < 𝑀) ↔ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ (𝐴‘𝑀) = 0)))

Proof of Theorem dgrlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → 𝐹 = 0𝑝)
2	1	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
3		dgreq0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
4		dgr0 26450	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘0𝑝) = 0
5	4	eqcomi 2774	. . . . . 6 ⊢ 0 = (deg‘0𝑝)
6	2, 3, 5	3eqtr4g 2825	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → 𝑁 = 0)
7		nn0ge0 12540	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
8	7	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → 0 ≤ 𝑀)
9	6, 8	eqbrtrd 5135	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → 𝑁 ≤ 𝑀)
10	1	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → (coeff‘𝐹) = (coeff‘0𝑝))
11		dgreq0.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
12		coe0 26444	. . . . . . . 8 ⊢ (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})
13	12	eqcomi 2774	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 × {0}) = (coeff‘0𝑝)
14	10, 11, 13	3eqtr4g 2825	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → 𝐴 = (ℕ0 × {0}))
15	14	fveq1d 6887	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → (𝐴‘𝑀) = ((ℕ0 × {0})‘𝑀))
16		c0ex 11211	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
17	16	fvconst2 7206	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {0})‘𝑀) = 0)
18	17	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → ((ℕ0 × {0})‘𝑀) = 0)
19	15, 18	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → (𝐴‘𝑀) = 0)
20	9, 19	jca 521	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ (𝐴‘𝑀) = 0))
21		dgrcl 26421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
22	3, 21	eqeltrid 2869	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23	22	nn0red 12577	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
24		nn0re 12524	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
25		ltle 11309	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑁 < 𝑀 → 𝑁 ≤ 𝑀))
26	23, 24, 25	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑀 → 𝑁 ≤ 𝑀))
27	26	imp 412	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ≤ 𝑀)
28	11, 3	dgrub 26422	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝑀 ≤ 𝑁)
29	28	3expia 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑀) ≠ 0 → 𝑀 ≤ 𝑁))
30		lenlt 11299	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
31	24, 23, 30	syl2anr 609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
32	29, 31	sylibd 242	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑀) ≠ 0 → ¬ 𝑁 < 𝑀))
33	32	necon4ad 2979	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑀 → (𝐴‘𝑀) = 0))
34	33	imp 412	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐴‘𝑀) = 0)
35	27, 34	jca 521	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ (𝐴‘𝑀) = 0))
36	20, 35	jaodan 972	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹 = 0𝑝 ∨ 𝑁 < 𝑀)) → (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ (𝐴‘𝑀) = 0))
37		leloe 11307	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀)))
38	23, 24, 37	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀)))
39	38	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀))
40	39	adantrr 730	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ (𝐴‘𝑀) = 0)) → (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀))
41		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (𝐴‘𝑁) = (𝐴‘𝑀))
42	3, 11	dgreq0 26453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴‘𝑁) = 0))
43	42	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ (𝐴‘𝑀) = 0)) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴‘𝑁) = 0))
44		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ (𝐴‘𝑀) = 0)) → (𝐴‘𝑀) = 0)
45	44	eqeq2d 2776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ (𝐴‘𝑀) = 0)) → ((𝐴‘𝑁) = (𝐴‘𝑀) ↔ (𝐴‘𝑁) = 0))
46	43, 45	bitr4d 285	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ (𝐴‘𝑀) = 0)) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴‘𝑁) = (𝐴‘𝑀)))
47	41, 46	imbitrrid 249	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ (𝐴‘𝑀) = 0)) → (𝑁 = 𝑀 → 𝐹 = 0𝑝))
48	47	orim2d 982	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ (𝐴‘𝑀) = 0)) → ((𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀) → (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝐹 = 0𝑝)))
49	40, 48	mpd 16	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ (𝐴‘𝑀) = 0)) → (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝐹 = 0𝑝))
50	49	orcomd 885	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ (𝐴‘𝑀) = 0)) → (𝐹 = 0𝑝 ∨ 𝑁 < 𝑀))
51	36, 50	impbida 813	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐹 = 0𝑝 ∨ 𝑁 < 𝑀) ↔ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ (𝐴‘𝑀) = 0)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  {csn 4591   class class class wbr 5111   × cxp 5661  ‘cfv 6540  ℝcr 11110  0cc0 11111   < clt 11254   ≤ cle 11255  ℕ₀cn0 12515  0_𝑝c0p 25859  Polycply 26372  coeffccoe 26374  degcdgr 26375

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-fl 13839  df-seq 14052  df-exp 14112  df-hash 14381  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-clim 15559  df-rlim 15560  df-sum 15758  df-0p 25860  df-ply 26376  df-coe 26378  df-dgr 26379

This theorem is used by:  dgrcolem2  26462  plydivlem4  26488  plydiveu  26490  dgrsub2  43895  elaa2lem  46980