MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgrlt 26306
Description: Two ways to say that the degree of 𝐹 is strictly less than 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgreq0.1 𝑁 = (deg‘𝐹)
dgreq0.2 𝐴 = (coeff‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
dgrlt ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐹 = 0𝑝𝑁 < 𝑀) ↔ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)))

Proof of Theorem dgrlt
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → 𝐹 = 0𝑝)
21fveq2d 6910 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
3 dgreq0.1 . . . . . 6 𝑁 = (deg‘𝐹)
4 dgr0 26302 . . . . . . 7 (deg‘0𝑝) = 0
54eqcomi 2746 . . . . . 6 0 = (deg‘0𝑝)
62, 3, 53eqtr4g 2802 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → 𝑁 = 0)
7 nn0ge0 12551 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
87ad2antlr 727 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → 0 ≤ 𝑀)
96, 8eqbrtrd 5165 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → 𝑁𝑀)
101fveq2d 6910 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → (coeff‘𝐹) = (coeff‘0𝑝))
11 dgreq0.2 . . . . . . 7 𝐴 = (coeff‘𝐹)
12 coe0 26295 . . . . . . . 8 (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})
1312eqcomi 2746 . . . . . . 7 (ℕ0 × {0}) = (coeff‘0𝑝)
1410, 11, 133eqtr4g 2802 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → 𝐴 = (ℕ0 × {0}))
1514fveq1d 6908 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → (𝐴𝑀) = ((ℕ0 × {0})‘𝑀))
16 c0ex 11255 . . . . . . 7 0 ∈ V
1716fvconst2 7224 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {0})‘𝑀) = 0)
1817ad2antlr 727 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → ((ℕ0 × {0})‘𝑀) = 0)
1915, 18eqtrd 2777 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → (𝐴𝑀) = 0)
209, 19jca 511 . . 3 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0))
21 dgrcl 26272 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
223, 21eqeltrid 2845 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2322nn0red 12588 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
24 nn0re 12535 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
25 ltle 11349 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑁 < 𝑀𝑁𝑀))
2623, 24, 25syl2an 596 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑀𝑁𝑀))
2726imp 406 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁𝑀)
2811, 3dgrub 26273 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → 𝑀𝑁)
29283expia 1122 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀) ≠ 0 → 𝑀𝑁))
30 lenlt 11339 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
3124, 23, 30syl2anr 597 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
3229, 31sylibd 239 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀) ≠ 0 → ¬ 𝑁 < 𝑀))
3332necon4ad 2959 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑀 → (𝐴𝑀) = 0))
3433imp 406 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐴𝑀) = 0)
3527, 34jca 511 . . 3 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0))
3620, 35jaodan 960 . 2 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹 = 0𝑝𝑁 < 𝑀)) → (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0))
37 leloe 11347 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑁 < 𝑀𝑁 = 𝑀)))
3823, 24, 37syl2an 596 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑁 < 𝑀𝑁 = 𝑀)))
3938biimpa 476 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝑀) → (𝑁 < 𝑀𝑁 = 𝑀))
4039adantrr 717 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)) → (𝑁 < 𝑀𝑁 = 𝑀))
41 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑀 → (𝐴𝑁) = (𝐴𝑀))
423, 11dgreq0 26305 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑁) = 0))
4342ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑁) = 0))
44 simprr 773 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)) → (𝐴𝑀) = 0)
4544eqeq2d 2748 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)) → ((𝐴𝑁) = (𝐴𝑀) ↔ (𝐴𝑁) = 0))
4643, 45bitr4d 282 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑁) = (𝐴𝑀)))
4741, 46imbitrrid 246 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)) → (𝑁 = 𝑀𝐹 = 0𝑝))
4847orim2d 969 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)) → ((𝑁 < 𝑀𝑁 = 𝑀) → (𝑁 < 𝑀𝐹 = 0𝑝)))
4940, 48mpd 15 . . 3 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)) → (𝑁 < 𝑀𝐹 = 0𝑝))
5049orcomd 872 . 2 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)) → (𝐹 = 0𝑝𝑁 < 𝑀))
5136, 50impbida 801 1 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐹 = 0𝑝𝑁 < 𝑀) ↔ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  {csn 4626   class class class wbr 5143   × cxp 5683  cfv 6561  cr 11154  0cc0 11155   < clt 11295  cle 11296  0cn0 12526  0𝑝c0p 25704  Polycply 26223  coeffccoe 26225  degcdgr 26226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-0p 25705  df-ply 26227  df-coe 26229  df-dgr 26230
This theorem is referenced by:  dgrcolem2  26314  plydivlem4  26338  plydiveu  26340  dgrsub2  43147  elaa2lem  46248
  Copyright terms: Public domain W3C validator