MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgrlt 26321
Description: Two ways to say that the degree of 𝐹 is strictly less than 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgreq0.1 𝑁 = (deg‘𝐹)
dgreq0.2 𝐴 = (coeff‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
dgrlt ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐹 = 0𝑝𝑁 < 𝑀) ↔ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)))

Proof of Theorem dgrlt
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → 𝐹 = 0𝑝)
21fveq2d 6911 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
3 dgreq0.1 . . . . . 6 𝑁 = (deg‘𝐹)
4 dgr0 26317 . . . . . . 7 (deg‘0𝑝) = 0
54eqcomi 2744 . . . . . 6 0 = (deg‘0𝑝)
62, 3, 53eqtr4g 2800 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → 𝑁 = 0)
7 nn0ge0 12549 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
87ad2antlr 727 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → 0 ≤ 𝑀)
96, 8eqbrtrd 5170 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → 𝑁𝑀)
101fveq2d 6911 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → (coeff‘𝐹) = (coeff‘0𝑝))
11 dgreq0.2 . . . . . . 7 𝐴 = (coeff‘𝐹)
12 coe0 26310 . . . . . . . 8 (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})
1312eqcomi 2744 . . . . . . 7 (ℕ0 × {0}) = (coeff‘0𝑝)
1410, 11, 133eqtr4g 2800 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → 𝐴 = (ℕ0 × {0}))
1514fveq1d 6909 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → (𝐴𝑀) = ((ℕ0 × {0})‘𝑀))
16 c0ex 11253 . . . . . . 7 0 ∈ V
1716fvconst2 7224 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {0})‘𝑀) = 0)
1817ad2antlr 727 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → ((ℕ0 × {0})‘𝑀) = 0)
1915, 18eqtrd 2775 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → (𝐴𝑀) = 0)
209, 19jca 511 . . 3 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0))
21 dgrcl 26287 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
223, 21eqeltrid 2843 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2322nn0red 12586 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
24 nn0re 12533 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
25 ltle 11347 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑁 < 𝑀𝑁𝑀))
2623, 24, 25syl2an 596 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑀𝑁𝑀))
2726imp 406 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁𝑀)
2811, 3dgrub 26288 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → 𝑀𝑁)
29283expia 1120 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀) ≠ 0 → 𝑀𝑁))
30 lenlt 11337 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
3124, 23, 30syl2anr 597 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
3229, 31sylibd 239 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀) ≠ 0 → ¬ 𝑁 < 𝑀))
3332necon4ad 2957 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑀 → (𝐴𝑀) = 0))
3433imp 406 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐴𝑀) = 0)
3527, 34jca 511 . . 3 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0))
3620, 35jaodan 959 . 2 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹 = 0𝑝𝑁 < 𝑀)) → (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0))
37 leloe 11345 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑁 < 𝑀𝑁 = 𝑀)))
3823, 24, 37syl2an 596 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑁 < 𝑀𝑁 = 𝑀)))
3938biimpa 476 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝑀) → (𝑁 < 𝑀𝑁 = 𝑀))
4039adantrr 717 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)) → (𝑁 < 𝑀𝑁 = 𝑀))
41 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑀 → (𝐴𝑁) = (𝐴𝑀))
423, 11dgreq0 26320 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑁) = 0))
4342ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑁) = 0))
44 simprr 773 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)) → (𝐴𝑀) = 0)
4544eqeq2d 2746 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)) → ((𝐴𝑁) = (𝐴𝑀) ↔ (𝐴𝑁) = 0))
4643, 45bitr4d 282 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑁) = (𝐴𝑀)))
4741, 46imbitrrid 246 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)) → (𝑁 = 𝑀𝐹 = 0𝑝))
4847orim2d 968 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)) → ((𝑁 < 𝑀𝑁 = 𝑀) → (𝑁 < 𝑀𝐹 = 0𝑝)))
4940, 48mpd 15 . . 3 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)) → (𝑁 < 𝑀𝐹 = 0𝑝))
5049orcomd 871 . 2 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)) → (𝐹 = 0𝑝𝑁 < 𝑀))
5136, 50impbida 801 1 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐹 = 0𝑝𝑁 < 𝑀) ↔ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  {csn 4631   class class class wbr 5148   × cxp 5687  cfv 6563  cr 11152  0cc0 11153   < clt 11293  cle 11294  0cn0 12524  0𝑝c0p 25718  Polycply 26238  coeffccoe 26240  degcdgr 26241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-0p 25719  df-ply 26242  df-coe 26244  df-dgr 26245
This theorem is referenced by:  dgrcolem2  26329  plydivlem4  26353  plydiveu  26355  dgrsub2  43124  elaa2lem  46189
  Copyright terms: Public domain W3C validator