MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrlt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dgrlt 25780
Description: Two ways to say that the degree of 𝐹 is strictly less than 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgreq0.1 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
dgreq0.2 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
dgrlt ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝐹 = 0𝑝 ∨ 𝑁 < 𝑀) ↔ (𝑁 ≀ 𝑀 ∧ (π΄β€˜π‘€) = 0)))
Proof of Theorem dgrlt
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) β†’ 𝐹 = 0𝑝)
21fveq2d 6896 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) β†’ (degβ€˜πΉ) = (degβ€˜0𝑝))
3 dgreq0.1 . . . . . 6 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
4 dgr0 25776 . . . . . . 7 (degβ€˜0𝑝) = 0
54eqcomi 2742 . . . . . 6 0 = (degβ€˜0𝑝)
62, 3, 53eqtr4g 2798 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) β†’ 𝑁 = 0)
7 nn0ge0 12497 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ 𝑀)
87ad2antlr 726 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) β†’ 0 ≀ 𝑀)
96, 8eqbrtrd 5171 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) β†’ 𝑁 ≀ 𝑀)
101fveq2d 6896 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) β†’ (coeffβ€˜πΉ) = (coeffβ€˜0𝑝))
11 dgreq0.2 . . . . . . 7 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
12 coe0 25770 . . . . . . . 8 (coeffβ€˜0𝑝) = (β„•0 Γ— {0})
1312eqcomi 2742 . . . . . . 7 (β„•0 Γ— {0}) = (coeffβ€˜0𝑝)
1410, 11, 133eqtr4g 2798 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) β†’ 𝐴 = (β„•0 Γ— {0}))
1514fveq1d 6894 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) β†’ (π΄β€˜π‘€) = ((β„•0 Γ— {0})β€˜π‘€))
16 c0ex 11208 . . . . . . 7 0 ∈ V
1716fvconst2 7205 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((β„•0 Γ— {0})β€˜π‘€) = 0)
1817ad2antlr 726 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) β†’ ((β„•0 Γ— {0})β€˜π‘€) = 0)
1915, 18eqtrd 2773 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) β†’ (π΄β€˜π‘€) = 0)
209, 19jca 513 . . 3 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) β†’ (𝑁 ≀ 𝑀 ∧ (π΄β€˜π‘€) = 0))
21 dgrcl 25747 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
223, 21eqeltrid 2838 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2322nn0red 12533 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
24 nn0re 12481 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
25 ltle 11302 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (𝑁 < 𝑀 β†’ 𝑁 ≀ 𝑀))
2623, 24, 25syl2an 597 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 < 𝑀 β†’ 𝑁 ≀ 𝑀))
2726imp 408 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 < 𝑀) β†’ 𝑁 ≀ 𝑀)
2811, 3dgrub 25748 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘€) β‰  0) β†’ 𝑀 ≀ 𝑁)
29283expia 1122 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘€) β‰  0 β†’ 𝑀 ≀ 𝑁))
30 lenlt 11292 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (𝑀 ≀ 𝑁 ↔ Β¬ 𝑁 < 𝑀))
3124, 23, 30syl2anr 598 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ≀ 𝑁 ↔ Β¬ 𝑁 < 𝑀))
3229, 31sylibd 238 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘€) β‰  0 β†’ Β¬ 𝑁 < 𝑀))
3332necon4ad 2960 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 < 𝑀 β†’ (π΄β€˜π‘€) = 0))
3433imp 408 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 < 𝑀) β†’ (π΄β€˜π‘€) = 0)
3527, 34jca 513 . . 3 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 < 𝑀) β†’ (𝑁 ≀ 𝑀 ∧ (π΄β€˜π‘€) = 0))
3620, 35jaodan 957 . 2 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (𝐹 = 0𝑝 ∨ 𝑁 < 𝑀)) β†’ (𝑁 ≀ 𝑀 ∧ (π΄β€˜π‘€) = 0))
37 leloe 11300 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (𝑁 ≀ 𝑀 ↔ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀)))
3823, 24, 37syl2an 597 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ≀ 𝑀 ↔ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀)))
3938biimpa 478 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ≀ 𝑀) β†’ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀))
4039adantrr 716 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (𝑁 ≀ 𝑀 ∧ (π΄β€˜π‘€) = 0)) β†’ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀))
41 fveq2 6892 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑀 β†’ (π΄β€˜π‘) = (π΄β€˜π‘€))
423, 11dgreq0 25779 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐹 = 0𝑝 ↔ (π΄β€˜π‘) = 0))
4342ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (𝑁 ≀ 𝑀 ∧ (π΄β€˜π‘€) = 0)) β†’ (𝐹 = 0𝑝 ↔ (π΄β€˜π‘) = 0))
44 simprr 772 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (𝑁 ≀ 𝑀 ∧ (π΄β€˜π‘€) = 0)) β†’ (π΄β€˜π‘€) = 0)
4544eqeq2d 2744 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (𝑁 ≀ 𝑀 ∧ (π΄β€˜π‘€) = 0)) β†’ ((π΄β€˜π‘) = (π΄β€˜π‘€) ↔ (π΄β€˜π‘) = 0))
4643, 45bitr4d 282 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (𝑁 ≀ 𝑀 ∧ (π΄β€˜π‘€) = 0)) β†’ (𝐹 = 0𝑝 ↔ (π΄β€˜π‘) = (π΄β€˜π‘€)))
4741, 46imbitrrid 245 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (𝑁 ≀ 𝑀 ∧ (π΄β€˜π‘€) = 0)) β†’ (𝑁 = 𝑀 β†’ 𝐹 = 0𝑝))
4847orim2d 966 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (𝑁 ≀ 𝑀 ∧ (π΄β€˜π‘€) = 0)) β†’ ((𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀) β†’ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝐹 = 0𝑝)))
4940, 48mpd 15 . . 3 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (𝑁 ≀ 𝑀 ∧ (π΄β€˜π‘€) = 0)) β†’ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝐹 = 0𝑝))
5049orcomd 870 . 2 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (𝑁 ≀ 𝑀 ∧ (π΄β€˜π‘€) = 0)) β†’ (𝐹 = 0𝑝 ∨ 𝑁 < 𝑀))
5136, 50impbida 800 1 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝐹 = 0𝑝 ∨ 𝑁 < 𝑀) ↔ (𝑁 ≀ 𝑀 ∧ (π΄β€˜π‘€) = 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  {csn 4629   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  β€˜cfv 6544  β„cr 11109  0cc0 11110   < clt 11248   ≀ cle 11249  β„•0cn0 12472  0𝑝c0p 25186  Polycply 25698  coeffccoe 25700  degcdgr 25701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-0p 25187  df-ply 25702  df-coe 25704  df-dgr 25705
This theorem is referenced by:  dgrcolem2  25788  plydivlem4  25809  plydiveu  25811  dgrsub2  41877  elaa2lem  44949
  Copyright terms: Public domain W3C validator