Theorem dgrlt 26388

Description: Two ways to say that the degree of 𝐹 is strictly less than 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgreq0.1	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
dgreq0.2	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dgrlt	⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐹 = 0𝑝 ∨ 𝑁 < 𝑀) ↔ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ (𝐴‘𝑀) = 0)))

Proof of Theorem dgrlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → 𝐹 = 0𝑝)
2	1	fveq2d 6883	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
3		dgreq0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
4		dgr0 26384	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘0𝑝) = 0
5	4	eqcomi 2778	. . . . . 6 ⊢ 0 = (deg‘0𝑝)
6	2, 3, 5	3eqtr4g 2829	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → 𝑁 = 0)
7		nn0ge0 12525	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
8	7	ad2antlr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → 0 ≤ 𝑀)
9	6, 8	eqbrtrd 5134	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → 𝑁 ≤ 𝑀)
10	1	fveq2d 6883	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → (coeff‘𝐹) = (coeff‘0𝑝))
11		dgreq0.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
12		coe0 26378	. . . . . . . 8 ⊢ (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})
13	12	eqcomi 2778	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 × {0}) = (coeff‘0𝑝)
14	10, 11, 13	3eqtr4g 2829	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → 𝐴 = (ℕ0 × {0}))
15	14	fveq1d 6881	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → (𝐴‘𝑀) = ((ℕ0 × {0})‘𝑀))
16		c0ex 11196	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
17	16	fvconst2 7200	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {0})‘𝑀) = 0)
18	17	ad2antlr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → ((ℕ0 × {0})‘𝑀) = 0)
19	15, 18	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → (𝐴‘𝑀) = 0)
20	9, 19	jca 520	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ (𝐴‘𝑀) = 0))
21		dgrcl 26355	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
22	3, 21	eqeltrid 2873	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23	22	nn0red 12562	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
24		nn0re 12509	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
25		ltle 11294	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑁 < 𝑀 → 𝑁 ≤ 𝑀))
26	23, 24, 25	syl2an 607	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑀 → 𝑁 ≤ 𝑀))
27	26	imp 411	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ≤ 𝑀)
28	11, 3	dgrub 26356	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝑀 ≤ 𝑁)
29	28	3expia 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑀) ≠ 0 → 𝑀 ≤ 𝑁))
30		lenlt 11284	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
31	24, 23, 30	syl2anr 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
32	29, 31	sylibd 242	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑀) ≠ 0 → ¬ 𝑁 < 𝑀))
33	32	necon4ad 2983	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑀 → (𝐴‘𝑀) = 0))
34	33	imp 411	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐴‘𝑀) = 0)
35	27, 34	jca 520	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ (𝐴‘𝑀) = 0))
36	20, 35	jaodan 972	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹 = 0𝑝 ∨ 𝑁 < 𝑀)) → (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ (𝐴‘𝑀) = 0))
37		leloe 11292	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀)))
38	23, 24, 37	syl2an 607	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀)))
39	38	biimpa 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀))
40	39	adantrr 729	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ (𝐴‘𝑀) = 0)) → (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀))
41		fveq2 6879	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (𝐴‘𝑁) = (𝐴‘𝑀))
42	3, 11	dgreq0 26387	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴‘𝑁) = 0))
43	42	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ (𝐴‘𝑀) = 0)) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴‘𝑁) = 0))
44		simprr 784	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ (𝐴‘𝑀) = 0)) → (𝐴‘𝑀) = 0)
45	44	eqeq2d 2780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ (𝐴‘𝑀) = 0)) → ((𝐴‘𝑁) = (𝐴‘𝑀) ↔ (𝐴‘𝑁) = 0))
46	43, 45	bitr4d 285	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ (𝐴‘𝑀) = 0)) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴‘𝑁) = (𝐴‘𝑀)))
47	41, 46	imbitrrid 249	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ (𝐴‘𝑀) = 0)) → (𝑁 = 𝑀 → 𝐹 = 0𝑝))
48	47	orim2d 982	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ (𝐴‘𝑀) = 0)) → ((𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀) → (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝐹 = 0𝑝)))
49	40, 48	mpd 16	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ (𝐴‘𝑀) = 0)) → (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝐹 = 0𝑝))
50	49	orcomd 884	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ (𝐴‘𝑀) = 0)) → (𝐹 = 0𝑝 ∨ 𝑁 < 𝑀))
51	36, 50	impbida 812	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐹 = 0𝑝 ∨ 𝑁 < 𝑀) ↔ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ (𝐴‘𝑀) = 0)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  {csn 4591   class class class wbr 5110   × cxp 5657  ‘cfv 6534  ℝcr 11095  0cc0 11096   < clt 11239   ≤ cle 11240  ℕ₀cn0 12500  0_𝑝c0p 25793  Polycply 26306  coeffccoe 26308  degcdgr 26309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-0p 25794  df-ply 26310  df-coe 26312  df-dgr 26313

This theorem is referenced by:  dgrcolem2  26396  plydivlem4  26422  plydiveu  26424  dgrsub2  43749  elaa2lem  46834