Theorem hdmaplns1 42273

Description: Subtraction property of first (inner product) argument. (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmaplns1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaplns1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaplns1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaplns1.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
hdmaplns1.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmaplns1.n	⊢ 𝑁 = (-g‘𝑅)
hdmaplns1.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaplns1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmaplns1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmaplns1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
hdmaplns1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmaplns1	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑍)‘(𝑋 − 𝑌)) = (((𝑆‘𝑍)‘𝑋)𝑁((𝑆‘𝑍)‘𝑌)))

Proof of Theorem hdmaplns1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmaplns1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmaplns1.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmaplns1.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlmod 41475	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
7		eqid 2737	. . 3 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
8		hdmaplns1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
9		hdmaplns1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10		hdmaplns1.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
11	1, 2, 8, 5, 6, 9, 3, 10	hdmapcl 42195	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑍) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
12	1, 5, 6, 2, 7, 3, 11	lcdvbaselfl 41960	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑍) ∈ (LFnl‘𝑈))
13		hdmaplns1.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
14		hdmaplns1.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
15		hdmaplns1.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
16		hdmaplns1.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (-g‘𝑅)
17		hdmaplns1.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑈)
18	15, 16, 8, 17, 7	lflsub 39432	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑆‘𝑍) ∈ (LFnl‘𝑈) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝑆‘𝑍)‘(𝑋 − 𝑌)) = (((𝑆‘𝑍)‘𝑋)𝑁((𝑆‘𝑍)‘𝑌)))
19	4, 12, 13, 14, 18	syl112anc 1377	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑍)‘(𝑋 − 𝑌)) = (((𝑆‘𝑍)‘𝑋)𝑁((𝑆‘𝑍)‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  Scalarcsca 17192  -_gcsg 18877  LModclmod 20823  LFnlclfn 39422  HLchlt 39715  LHypclh 40349  DVecHcdvh 41443  LCDualclcd 41951  HDMapchdma 42157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-riotaBAD 39318

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-undef 8225  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-0g 17373  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-lub 18279  df-glb 18280  df-join 18281  df-meet 18282  df-p0 18358  df-p1 18359  df-lat 18367  df-clat 18434  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19065  df-cntz 19258  df-oppg 19287  df-lsm 19577  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-dvr 20349  df-nzr 20458  df-rlreg 20639  df-domn 20640  df-drng 20676  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-lvec 21067  df-lsatoms 39341  df-lshyp 39342  df-lcv 39384  df-lfl 39423  df-lkr 39451  df-ldual 39489  df-oposet 39541  df-ol 39543  df-oml 39544  df-covers 39631  df-ats 39632  df-atl 39663  df-cvlat 39687  df-hlat 39716  df-llines 39863  df-lplanes 39864  df-lvols 39865  df-lines 39866  df-psubsp 39868  df-pmap 39869  df-padd 40161  df-lhyp 40353  df-laut 40354  df-ldil 40469  df-ltrn 40470  df-trl 40524  df-tgrp 41108  df-tendo 41120  df-edring 41122  df-dveca 41368  df-disoa 41394  df-dvech 41444  df-dib 41504  df-dic 41538  df-dih 41594  df-doch 41713  df-djh 41760  df-lcdual 41952  df-mapd 41990  df-hvmap 42122  df-hdmap1 42158  df-hdmap 42159

This theorem is referenced by:  hdmapinvlem4  42286