Theorem hdmaplns1 40302

Description: Subtraction property of first (inner product) argument. (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmaplns1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaplns1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaplns1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaplns1.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
hdmaplns1.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmaplns1.n	⊢ 𝑁 = (-g‘𝑅)
hdmaplns1.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaplns1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmaplns1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmaplns1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
hdmaplns1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmaplns1	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑍)‘(𝑋 − 𝑌)) = (((𝑆‘𝑍)‘𝑋)𝑁((𝑆‘𝑍)‘𝑌)))

Proof of Theorem hdmaplns1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmaplns1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmaplns1.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmaplns1.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlmod 39504	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
7		eqid 2737	. . 3 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
8		hdmaplns1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
9		hdmaplns1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10		hdmaplns1.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
11	1, 2, 8, 5, 6, 9, 3, 10	hdmapcl 40224	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑍) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
12	1, 5, 6, 2, 7, 3, 11	lcdvbaselfl 39989	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑍) ∈ (LFnl‘𝑈))
13		hdmaplns1.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
14		hdmaplns1.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
15		hdmaplns1.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
16		hdmaplns1.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (-g‘𝑅)
17		hdmaplns1.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑈)
18	15, 16, 8, 17, 7	lflsub 37460	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑆‘𝑍) ∈ (LFnl‘𝑈) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝑆‘𝑍)‘(𝑋 − 𝑌)) = (((𝑆‘𝑍)‘𝑋)𝑁((𝑆‘𝑍)‘𝑌)))
19	4, 12, 13, 14, 18	syl112anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑍)‘(𝑋 − 𝑌)) = (((𝑆‘𝑍)‘𝑋)𝑁((𝑆‘𝑍)‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6493  (class class class)co 7351  Basecbs 17042  Scalarcsca 17095  -_gcsg 18709  LModclmod 20274  LFnlclfn 37450  HLchlt 37743  LHypclh 38378  DVecHcdvh 39472  LCDualclcd 39980  HDMapchdma 40186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-riotaBAD 37346

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-tpos 8149  df-undef 8196  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-fz 13379  df-struct 16978  df-sets 16995  df-slot 17013  df-ndx 17025  df-base 17043  df-ress 17072  df-plusg 17105  df-mulr 17106  df-sca 17108  df-vsca 17109  df-0g 17282  df-mre 17425  df-mrc 17426  df-acs 17428  df-proset 18143  df-poset 18161  df-plt 18178  df-lub 18194  df-glb 18195  df-join 18196  df-meet 18197  df-p0 18273  df-p1 18274  df-lat 18280  df-clat 18347  df-mgm 18456  df-sgrp 18505  df-mnd 18516  df-submnd 18561  df-grp 18710  df-minusg 18711  df-sbg 18712  df-subg 18883  df-cntz 19055  df-oppg 19082  df-lsm 19376  df-cmn 19522  df-abl 19523  df-mgp 19855  df-ur 19872  df-ring 19919  df-oppr 20001  df-dvdsr 20022  df-unit 20023  df-invr 20053  df-dvr 20064  df-drng 20139  df-lmod 20276  df-lss 20345  df-lsp 20385  df-lvec 20516  df-lsatoms 37369  df-lshyp 37370  df-lcv 37412  df-lfl 37451  df-lkr 37479  df-ldual 37517  df-oposet 37569  df-ol 37571  df-oml 37572  df-covers 37659  df-ats 37660  df-atl 37691  df-cvlat 37715  df-hlat 37744  df-llines 37892  df-lplanes 37893  df-lvols 37894  df-lines 37895  df-psubsp 37897  df-pmap 37898  df-padd 38190  df-lhyp 38382  df-laut 38383  df-ldil 38498  df-ltrn 38499  df-trl 38553  df-tgrp 39137  df-tendo 39149  df-edring 39151  df-dveca 39397  df-disoa 39423  df-dvech 39473  df-dib 39533  df-dic 39567  df-dih 39623  df-doch 39742  df-djh 39789  df-lcdual 39981  df-mapd 40019  df-hvmap 40151  df-hdmap1 40187  df-hdmap 40188

This theorem is referenced by:  hdmapinvlem4  40315