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Theorem lkrpssN 38033
Description: Proper subset relation between kernels. (Contributed by NM, 16-Feb-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrpss.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lkrpss.k 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
lkrpss.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
lkrpss.o 0 = (0gβ€˜π·)
lkrpss.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lkrpss.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
lkrpss.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
lkrpssN (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜πΊ) ⊊ (πΎβ€˜π») ↔ (𝐺 β‰  0 ∧ 𝐻 = 0 )))

Proof of Theorem lkrpssN
StepHypRef Expression
1 df-pss 3968 . . 3 ((πΎβ€˜πΊ) ⊊ (πΎβ€˜π») ↔ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π») ∧ (πΎβ€˜πΊ) β‰  (πΎβ€˜π»)))
2 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) ⊊ (πΎβ€˜π»)) β†’ (πΎβ€˜πΊ) ⊊ (πΎβ€˜π»))
3 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
4 lkrpss.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
5 lkrpss.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
6 lkrpss.w . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
7 lveclmod 20717 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
9 lkrpss.h . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
103, 4, 5, 8, 9lkrssv 37966 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜π») βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
1110adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) ⊊ (πΎβ€˜π»)) β†’ (πΎβ€˜π») βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
122, 11psssstrd 4110 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) ⊊ (πΎβ€˜π»)) β†’ (πΎβ€˜πΊ) ⊊ (Baseβ€˜π‘Š))
1312pssned 4099 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) ⊊ (πΎβ€˜π»)) β†’ (πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š))
141, 13sylan2br 596 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π») ∧ (πΎβ€˜πΊ) β‰  (πΎβ€˜π»))) β†’ (πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š))
15 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) β†’ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»))
16 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (LSHypβ€˜π‘Š) = (LSHypβ€˜π‘Š)
176ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
18 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) ∧ (πΎβ€˜πΊ) ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) β†’ (πΎβ€˜πΊ) ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
19 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
2010ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (πΎβ€˜π») βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
21 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š))
22 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»))
2321, 22eqsstrrd 4022 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† (πΎβ€˜π»))
2420, 23eqssd 4000 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š))
253, 16, 4, 5, 6, 9lkrshp4 37978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜π») β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ↔ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)))
2625ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((πΎβ€˜π») β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ↔ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)))
2726necon1bbid 2981 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (Β¬ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š) ↔ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š)))
2824, 27mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ Β¬ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
2919, 28pm2.21dd 194 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (πΎβ€˜πΊ) ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
30 lkrpss.g . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
313, 16, 4, 5, 6, 30lkrshpor 37977 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜πΊ) ∈ (LSHypβ€˜π‘Š) ∨ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)))
3231ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) ∈ (LSHypβ€˜π‘Š) ∨ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)))
3318, 29, 32mpjaodan 958 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) β†’ (πΎβ€˜πΊ) ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
34 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) β†’ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
3516, 17, 33, 34lshpcmp 37858 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π») ↔ (πΎβ€˜πΊ) = (πΎβ€˜π»)))
3615, 35mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) β†’ (πΎβ€˜πΊ) = (πΎβ€˜π»))
3736ex 414 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) β†’ ((πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š) β†’ (πΎβ€˜πΊ) = (πΎβ€˜π»)))
3837necon3ad 2954 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  (πΎβ€˜π») β†’ Β¬ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)))
3938impr 456 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π») ∧ (πΎβ€˜πΊ) β‰  (πΎβ€˜π»))) β†’ Β¬ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
4025necon1bbid 2981 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Β¬ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š) ↔ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š)))
4140adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π») ∧ (πΎβ€˜πΊ) β‰  (πΎβ€˜π»))) β†’ (Β¬ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š) ↔ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š)))
4239, 41mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π») ∧ (πΎβ€˜πΊ) β‰  (πΎβ€˜π»))) β†’ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š))
4314, 42jca 513 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π») ∧ (πΎβ€˜πΊ) β‰  (πΎβ€˜π»))) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š)))
443, 4, 5, 8, 30lkrssv 37966 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
4544adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
46 simprr 772 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š))
4746eqcomd 2739 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) = (πΎβ€˜π»))
4845, 47sseqtrd 4023 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»))
49 simprl 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ (πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š))
5049, 47neeqtrd 3011 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ (πΎβ€˜πΊ) β‰  (πΎβ€˜π»))
5148, 50jca 513 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π») ∧ (πΎβ€˜πΊ) β‰  (πΎβ€˜π»)))
5243, 51impbida 800 . . 3 (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π») ∧ (πΎβ€˜πΊ) β‰  (πΎβ€˜π»)) ↔ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š))))
531, 52bitrid 283 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜πΊ) ⊊ (πΎβ€˜π») ↔ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š))))
54 lkrpss.d . . . . 5 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
55 lkrpss.o . . . . 5 0 = (0gβ€˜π·)
563, 4, 5, 54, 55, 8, 30lkr0f2 38031 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š) ↔ 𝐺 = 0 ))
5756necon3bid 2986 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ↔ 𝐺 β‰  0 ))
583, 4, 5, 54, 55, 8, 9lkr0f2 38031 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š) ↔ 𝐻 = 0 ))
5957, 58anbi12d 632 . 2 (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š)) ↔ (𝐺 β‰  0 ∧ 𝐻 = 0 )))
6053, 59bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜πΊ) ⊊ (πΎβ€˜π») ↔ (𝐺 β‰  0 ∧ 𝐻 = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   βŠ† wss 3949   ⊊ wpss 3950  β€˜cfv 6544  Basecbs 17144  0gc0g 17385  LModclmod 20471  LVecclvec 20713  LSHypclsh 37845  LFnlclfn 37927  LKerclk 37955  LDualcld 37993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-lsm 19504  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-lvec 20714  df-lshyp 37847  df-lfl 37928  df-lkr 37956  df-ldual 37994
This theorem is referenced by:  lkrss2N  38039  lkreqN  38040
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