Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrpssN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrpssN 36339
 Description: Proper subset relation between kernels. (Contributed by NM, 16-Feb-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrpss.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrpss.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrpss.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lkrpss.o 0 = (0g𝐷)
lkrpss.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lkrpss.g (𝜑𝐺𝐹)
lkrpss.h (𝜑𝐻𝐹)
Assertion
Ref Expression
lkrpssN (𝜑 → ((𝐾𝐺) ⊊ (𝐾𝐻) ↔ (𝐺0𝐻 = 0 )))

Proof of Theorem lkrpssN
StepHypRef Expression
1 df-pss 3929 . . 3 ((𝐾𝐺) ⊊ (𝐾𝐻) ↔ ((𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻) ∧ (𝐾𝐺) ≠ (𝐾𝐻)))
2 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ⊊ (𝐾𝐻)) → (𝐾𝐺) ⊊ (𝐾𝐻))
3 eqid 2821 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4 lkrpss.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5 lkrpss.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (LKer‘𝑊)
6 lkrpss.w . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
7 lveclmod 19853 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
9 lkrpss.h . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻𝐹)
103, 4, 5, 8, 9lkrssv 36272 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾𝐻) ⊆ (Base‘𝑊))
1110adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ⊊ (𝐾𝐻)) → (𝐾𝐻) ⊆ (Base‘𝑊))
122, 11psssstrd 4062 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ⊊ (𝐾𝐻)) → (𝐾𝐺) ⊊ (Base‘𝑊))
1312pssned 4051 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ⊊ (𝐾𝐻)) → (𝐾𝐺) ≠ (Base‘𝑊))
141, 13sylan2br 597 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻) ∧ (𝐾𝐺) ≠ (𝐾𝐻))) → (𝐾𝐺) ≠ (Base‘𝑊))
15 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻)) ∧ (𝐾𝐻) ∈ (LSHyp‘𝑊)) → (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻))
16 eqid 2821 . . . . . . . . . . 11 (LSHyp‘𝑊) = (LSHyp‘𝑊)
176ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻)) ∧ (𝐾𝐻) ∈ (LSHyp‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LVec)
18 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻)) ∧ (𝐾𝐻) ∈ (LSHyp‘𝑊)) ∧ (𝐾𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑊)) → (𝐾𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑊))
19 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻)) ∧ (𝐾𝐻) ∈ (LSHyp‘𝑊)) ∧ (𝐾𝐺) = (Base‘𝑊)) → (𝐾𝐻) ∈ (LSHyp‘𝑊))
2010ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻)) ∧ (𝐾𝐻) ∈ (LSHyp‘𝑊)) ∧ (𝐾𝐺) = (Base‘𝑊)) → (𝐾𝐻) ⊆ (Base‘𝑊))
21 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻)) ∧ (𝐾𝐻) ∈ (LSHyp‘𝑊)) ∧ (𝐾𝐺) = (Base‘𝑊)) → (𝐾𝐺) = (Base‘𝑊))
22 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻)) ∧ (𝐾𝐻) ∈ (LSHyp‘𝑊)) ∧ (𝐾𝐺) = (Base‘𝑊)) → (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻))
2321, 22eqsstrrd 3982 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻)) ∧ (𝐾𝐻) ∈ (LSHyp‘𝑊)) ∧ (𝐾𝐺) = (Base‘𝑊)) → (Base‘𝑊) ⊆ (𝐾𝐻))
2420, 23eqssd 3960 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻)) ∧ (𝐾𝐻) ∈ (LSHyp‘𝑊)) ∧ (𝐾𝐺) = (Base‘𝑊)) → (𝐾𝐻) = (Base‘𝑊))
253, 16, 4, 5, 6, 9lkrshp4 36284 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐾𝐻) ≠ (Base‘𝑊) ↔ (𝐾𝐻) ∈ (LSHyp‘𝑊)))
2625ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻)) ∧ (𝐾𝐻) ∈ (LSHyp‘𝑊)) ∧ (𝐾𝐺) = (Base‘𝑊)) → ((𝐾𝐻) ≠ (Base‘𝑊) ↔ (𝐾𝐻) ∈ (LSHyp‘𝑊)))
2726necon1bbid 3046 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻)) ∧ (𝐾𝐻) ∈ (LSHyp‘𝑊)) ∧ (𝐾𝐺) = (Base‘𝑊)) → (¬ (𝐾𝐻) ∈ (LSHyp‘𝑊) ↔ (𝐾𝐻) = (Base‘𝑊)))
2824, 27mpbird 260 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻)) ∧ (𝐾𝐻) ∈ (LSHyp‘𝑊)) ∧ (𝐾𝐺) = (Base‘𝑊)) → ¬ (𝐾𝐻) ∈ (LSHyp‘𝑊))
2919, 28pm2.21dd 198 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻)) ∧ (𝐾𝐻) ∈ (LSHyp‘𝑊)) ∧ (𝐾𝐺) = (Base‘𝑊)) → (𝐾𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑊))
30 lkrpss.g . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺𝐹)
313, 16, 4, 5, 6, 30lkrshpor 36283 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐾𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑊) ∨ (𝐾𝐺) = (Base‘𝑊)))
3231ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻)) ∧ (𝐾𝐻) ∈ (LSHyp‘𝑊)) → ((𝐾𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑊) ∨ (𝐾𝐺) = (Base‘𝑊)))
3318, 29, 32mpjaodan 956 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻)) ∧ (𝐾𝐻) ∈ (LSHyp‘𝑊)) → (𝐾𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑊))
34 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻)) ∧ (𝐾𝐻) ∈ (LSHyp‘𝑊)) → (𝐾𝐻) ∈ (LSHyp‘𝑊))
3516, 17, 33, 34lshpcmp 36164 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻)) ∧ (𝐾𝐻) ∈ (LSHyp‘𝑊)) → ((𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻) ↔ (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻)))
3615, 35mpbid 235 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻)) ∧ (𝐾𝐻) ∈ (LSHyp‘𝑊)) → (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻))
3736ex 416 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻)) → ((𝐾𝐻) ∈ (LSHyp‘𝑊) → (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻)))
3837necon3ad 3020 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻)) → ((𝐾𝐺) ≠ (𝐾𝐻) → ¬ (𝐾𝐻) ∈ (LSHyp‘𝑊)))
3938impr 458 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻) ∧ (𝐾𝐺) ≠ (𝐾𝐻))) → ¬ (𝐾𝐻) ∈ (LSHyp‘𝑊))
4025necon1bbid 3046 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ (𝐾𝐻) ∈ (LSHyp‘𝑊) ↔ (𝐾𝐻) = (Base‘𝑊)))
4140adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻) ∧ (𝐾𝐺) ≠ (𝐾𝐻))) → (¬ (𝐾𝐻) ∈ (LSHyp‘𝑊) ↔ (𝐾𝐻) = (Base‘𝑊)))
4239, 41mpbid 235 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻) ∧ (𝐾𝐺) ≠ (𝐾𝐻))) → (𝐾𝐻) = (Base‘𝑊))
4314, 42jca 515 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻) ∧ (𝐾𝐺) ≠ (𝐾𝐻))) → ((𝐾𝐺) ≠ (Base‘𝑊) ∧ (𝐾𝐻) = (Base‘𝑊)))
443, 4, 5, 8, 30lkrssv 36272 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾𝐺) ⊆ (Base‘𝑊))
4544adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐾𝐺) ≠ (Base‘𝑊) ∧ (𝐾𝐻) = (Base‘𝑊))) → (𝐾𝐺) ⊆ (Base‘𝑊))
46 simprr 772 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝐾𝐺) ≠ (Base‘𝑊) ∧ (𝐾𝐻) = (Base‘𝑊))) → (𝐾𝐻) = (Base‘𝑊))
4746eqcomd 2827 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐾𝐺) ≠ (Base‘𝑊) ∧ (𝐾𝐻) = (Base‘𝑊))) → (Base‘𝑊) = (𝐾𝐻))
4845, 47sseqtrd 3983 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐾𝐺) ≠ (Base‘𝑊) ∧ (𝐾𝐻) = (Base‘𝑊))) → (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻))
49 simprl 770 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐾𝐺) ≠ (Base‘𝑊) ∧ (𝐾𝐻) = (Base‘𝑊))) → (𝐾𝐺) ≠ (Base‘𝑊))
5049, 47neeqtrd 3076 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐾𝐺) ≠ (Base‘𝑊) ∧ (𝐾𝐻) = (Base‘𝑊))) → (𝐾𝐺) ≠ (𝐾𝐻))
5148, 50jca 515 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐾𝐺) ≠ (Base‘𝑊) ∧ (𝐾𝐻) = (Base‘𝑊))) → ((𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻) ∧ (𝐾𝐺) ≠ (𝐾𝐻)))
5243, 51impbida 800 . . 3 (𝜑 → (((𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻) ∧ (𝐾𝐺) ≠ (𝐾𝐻)) ↔ ((𝐾𝐺) ≠ (Base‘𝑊) ∧ (𝐾𝐻) = (Base‘𝑊))))
531, 52syl5bb 286 . 2 (𝜑 → ((𝐾𝐺) ⊊ (𝐾𝐻) ↔ ((𝐾𝐺) ≠ (Base‘𝑊) ∧ (𝐾𝐻) = (Base‘𝑊))))
54 lkrpss.d . . . . 5 𝐷 = (LDual‘𝑊)
55 lkrpss.o . . . . 5 0 = (0g𝐷)
563, 4, 5, 54, 55, 8, 30lkr0f2 36337 . . . 4 (𝜑 → ((𝐾𝐺) = (Base‘𝑊) ↔ 𝐺 = 0 ))
5756necon3bid 3051 . . 3 (𝜑 → ((𝐾𝐺) ≠ (Base‘𝑊) ↔ 𝐺0 ))
583, 4, 5, 54, 55, 8, 9lkr0f2 36337 . . 3 (𝜑 → ((𝐾𝐻) = (Base‘𝑊) ↔ 𝐻 = 0 ))
5957, 58anbi12d 633 . 2 (𝜑 → (((𝐾𝐺) ≠ (Base‘𝑊) ∧ (𝐾𝐻) = (Base‘𝑊)) ↔ (𝐺0𝐻 = 0 )))
6053, 59bitrd 282 1 (𝜑 → ((𝐾𝐺) ⊊ (𝐾𝐻) ↔ (𝐺0𝐻 = 0 )))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3007   ⊆ wss 3910   ⊊ wpss 3911  ‘cfv 6328  Basecbs 16461  0gc0g 16691  LModclmod 19609  LVecclvec 19849  LSHypclsh 36151  LFnlclfn 36233  LKerclk 36261  LDualcld 36299 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-tpos 7867  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-struct 16463  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-ress 16469  df-plusg 16556  df-mulr 16557  df-sca 16559  df-vsca 16560  df-0g 16693  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-submnd 17935  df-grp 18084  df-minusg 18085  df-sbg 18086  df-subg 18254  df-cntz 18425  df-lsm 18739  df-cmn 18886  df-abl 18887  df-mgp 19218  df-ur 19230  df-ring 19277  df-oppr 19351  df-dvdsr 19369  df-unit 19370  df-invr 19400  df-drng 19479  df-lmod 19611  df-lss 19679  df-lsp 19719  df-lvec 19850  df-lshyp 36153  df-lfl 36234  df-lkr 36262  df-ldual 36300 This theorem is referenced by:  lkrss2N  36345  lkreqN  36346
 Copyright terms: Public domain W3C validator