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Theorem lkrpssN 38336
Description: Proper subset relation between kernels. (Contributed by NM, 16-Feb-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrpss.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lkrpss.k 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
lkrpss.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
lkrpss.o 0 = (0gβ€˜π·)
lkrpss.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lkrpss.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
lkrpss.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
lkrpssN (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜πΊ) ⊊ (πΎβ€˜π») ↔ (𝐺 β‰  0 ∧ 𝐻 = 0 )))

Proof of Theorem lkrpssN
StepHypRef Expression
1 df-pss 3966 . . 3 ((πΎβ€˜πΊ) ⊊ (πΎβ€˜π») ↔ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π») ∧ (πΎβ€˜πΊ) β‰  (πΎβ€˜π»)))
2 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) ⊊ (πΎβ€˜π»)) β†’ (πΎβ€˜πΊ) ⊊ (πΎβ€˜π»))
3 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
4 lkrpss.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
5 lkrpss.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
6 lkrpss.w . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
7 lveclmod 20861 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
9 lkrpss.h . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
103, 4, 5, 8, 9lkrssv 38269 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜π») βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
1110adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) ⊊ (πΎβ€˜π»)) β†’ (πΎβ€˜π») βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
122, 11psssstrd 4108 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) ⊊ (πΎβ€˜π»)) β†’ (πΎβ€˜πΊ) ⊊ (Baseβ€˜π‘Š))
1312pssned 4097 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) ⊊ (πΎβ€˜π»)) β†’ (πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š))
141, 13sylan2br 593 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π») ∧ (πΎβ€˜πΊ) β‰  (πΎβ€˜π»))) β†’ (πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š))
15 simplr 765 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) β†’ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»))
16 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (LSHypβ€˜π‘Š) = (LSHypβ€˜π‘Š)
176ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
18 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) ∧ (πΎβ€˜πΊ) ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) β†’ (πΎβ€˜πΊ) ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
19 simplr 765 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
2010ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (πΎβ€˜π») βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
21 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š))
22 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»))
2321, 22eqsstrrd 4020 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† (πΎβ€˜π»))
2420, 23eqssd 3998 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š))
253, 16, 4, 5, 6, 9lkrshp4 38281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜π») β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ↔ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)))
2625ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((πΎβ€˜π») β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ↔ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)))
2726necon1bbid 2978 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (Β¬ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š) ↔ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š)))
2824, 27mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ Β¬ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
2919, 28pm2.21dd 194 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (πΎβ€˜πΊ) ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
30 lkrpss.g . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
313, 16, 4, 5, 6, 30lkrshpor 38280 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜πΊ) ∈ (LSHypβ€˜π‘Š) ∨ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)))
3231ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) ∈ (LSHypβ€˜π‘Š) ∨ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)))
3318, 29, 32mpjaodan 955 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) β†’ (πΎβ€˜πΊ) ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
34 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) β†’ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
3516, 17, 33, 34lshpcmp 38161 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π») ↔ (πΎβ€˜πΊ) = (πΎβ€˜π»)))
3615, 35mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) β†’ (πΎβ€˜πΊ) = (πΎβ€˜π»))
3736ex 411 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) β†’ ((πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š) β†’ (πΎβ€˜πΊ) = (πΎβ€˜π»)))
3837necon3ad 2951 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  (πΎβ€˜π») β†’ Β¬ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)))
3938impr 453 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π») ∧ (πΎβ€˜πΊ) β‰  (πΎβ€˜π»))) β†’ Β¬ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
4025necon1bbid 2978 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Β¬ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š) ↔ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š)))
4140adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π») ∧ (πΎβ€˜πΊ) β‰  (πΎβ€˜π»))) β†’ (Β¬ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š) ↔ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š)))
4239, 41mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π») ∧ (πΎβ€˜πΊ) β‰  (πΎβ€˜π»))) β†’ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š))
4314, 42jca 510 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π») ∧ (πΎβ€˜πΊ) β‰  (πΎβ€˜π»))) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š)))
443, 4, 5, 8, 30lkrssv 38269 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
4544adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
46 simprr 769 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š))
4746eqcomd 2736 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) = (πΎβ€˜π»))
4845, 47sseqtrd 4021 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»))
49 simprl 767 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ (πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š))
5049, 47neeqtrd 3008 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ (πΎβ€˜πΊ) β‰  (πΎβ€˜π»))
5148, 50jca 510 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π») ∧ (πΎβ€˜πΊ) β‰  (πΎβ€˜π»)))
5243, 51impbida 797 . . 3 (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π») ∧ (πΎβ€˜πΊ) β‰  (πΎβ€˜π»)) ↔ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š))))
531, 52bitrid 282 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜πΊ) ⊊ (πΎβ€˜π») ↔ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š))))
54 lkrpss.d . . . . 5 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
55 lkrpss.o . . . . 5 0 = (0gβ€˜π·)
563, 4, 5, 54, 55, 8, 30lkr0f2 38334 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š) ↔ 𝐺 = 0 ))
5756necon3bid 2983 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ↔ 𝐺 β‰  0 ))
583, 4, 5, 54, 55, 8, 9lkr0f2 38334 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š) ↔ 𝐻 = 0 ))
5957, 58anbi12d 629 . 2 (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š)) ↔ (𝐺 β‰  0 ∧ 𝐻 = 0 )))
6053, 59bitrd 278 1 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜πΊ) ⊊ (πΎβ€˜π») ↔ (𝐺 β‰  0 ∧ 𝐻 = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   βŠ† wss 3947   ⊊ wpss 3948  β€˜cfv 6542  Basecbs 17148  0gc0g 17389  LModclmod 20614  LVecclvec 20857  LSHypclsh 38148  LFnlclfn 38230  LKerclk 38258  LDualcld 38296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lvec 20858  df-lshyp 38150  df-lfl 38231  df-lkr 38259  df-ldual 38297
This theorem is referenced by:  lkrss2N  38342  lkreqN  38343
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