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Theorem lkrpssN 37628
Description: Proper subset relation between kernels. (Contributed by NM, 16-Feb-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrpss.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lkrpss.k 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
lkrpss.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
lkrpss.o 0 = (0gβ€˜π·)
lkrpss.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lkrpss.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
lkrpss.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
lkrpssN (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜πΊ) ⊊ (πΎβ€˜π») ↔ (𝐺 β‰  0 ∧ 𝐻 = 0 )))

Proof of Theorem lkrpssN
StepHypRef Expression
1 df-pss 3930 . . 3 ((πΎβ€˜πΊ) ⊊ (πΎβ€˜π») ↔ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π») ∧ (πΎβ€˜πΊ) β‰  (πΎβ€˜π»)))
2 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) ⊊ (πΎβ€˜π»)) β†’ (πΎβ€˜πΊ) ⊊ (πΎβ€˜π»))
3 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
4 lkrpss.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
5 lkrpss.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
6 lkrpss.w . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
7 lveclmod 20570 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
9 lkrpss.h . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
103, 4, 5, 8, 9lkrssv 37561 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜π») βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
1110adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) ⊊ (πΎβ€˜π»)) β†’ (πΎβ€˜π») βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
122, 11psssstrd 4070 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) ⊊ (πΎβ€˜π»)) β†’ (πΎβ€˜πΊ) ⊊ (Baseβ€˜π‘Š))
1312pssned 4059 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) ⊊ (πΎβ€˜π»)) β†’ (πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š))
141, 13sylan2br 596 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π») ∧ (πΎβ€˜πΊ) β‰  (πΎβ€˜π»))) β†’ (πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š))
15 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) β†’ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»))
16 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (LSHypβ€˜π‘Š) = (LSHypβ€˜π‘Š)
176ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
18 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) ∧ (πΎβ€˜πΊ) ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) β†’ (πΎβ€˜πΊ) ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
19 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
2010ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (πΎβ€˜π») βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
21 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š))
22 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»))
2321, 22eqsstrrd 3984 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† (πΎβ€˜π»))
2420, 23eqssd 3962 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š))
253, 16, 4, 5, 6, 9lkrshp4 37573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜π») β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ↔ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)))
2625ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((πΎβ€˜π») β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ↔ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)))
2726necon1bbid 2984 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (Β¬ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š) ↔ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š)))
2824, 27mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ Β¬ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
2919, 28pm2.21dd 194 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (πΎβ€˜πΊ) ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
30 lkrpss.g . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
313, 16, 4, 5, 6, 30lkrshpor 37572 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜πΊ) ∈ (LSHypβ€˜π‘Š) ∨ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)))
3231ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) ∈ (LSHypβ€˜π‘Š) ∨ (πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)))
3318, 29, 32mpjaodan 958 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) β†’ (πΎβ€˜πΊ) ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
34 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) β†’ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
3516, 17, 33, 34lshpcmp 37453 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π») ↔ (πΎβ€˜πΊ) = (πΎβ€˜π»)))
3615, 35mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) ∧ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)) β†’ (πΎβ€˜πΊ) = (πΎβ€˜π»))
3736ex 414 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) β†’ ((πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š) β†’ (πΎβ€˜πΊ) = (πΎβ€˜π»)))
3837necon3ad 2957 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  (πΎβ€˜π») β†’ Β¬ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š)))
3938impr 456 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π») ∧ (πΎβ€˜πΊ) β‰  (πΎβ€˜π»))) β†’ Β¬ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
4025necon1bbid 2984 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Β¬ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š) ↔ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š)))
4140adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π») ∧ (πΎβ€˜πΊ) β‰  (πΎβ€˜π»))) β†’ (Β¬ (πΎβ€˜π») ∈ (LSHypβ€˜π‘Š) ↔ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š)))
4239, 41mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π») ∧ (πΎβ€˜πΊ) β‰  (πΎβ€˜π»))) β†’ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š))
4314, 42jca 513 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π») ∧ (πΎβ€˜πΊ) β‰  (πΎβ€˜π»))) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š)))
443, 4, 5, 8, 30lkrssv 37561 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
4544adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
46 simprr 772 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š))
4746eqcomd 2743 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) = (πΎβ€˜π»))
4845, 47sseqtrd 3985 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»))
49 simprl 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ (πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š))
5049, 47neeqtrd 3014 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ (πΎβ€˜πΊ) β‰  (πΎβ€˜π»))
5148, 50jca 513 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π») ∧ (πΎβ€˜πΊ) β‰  (πΎβ€˜π»)))
5243, 51impbida 800 . . 3 (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π») ∧ (πΎβ€˜πΊ) β‰  (πΎβ€˜π»)) ↔ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š))))
531, 52bitrid 283 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜πΊ) ⊊ (πΎβ€˜π») ↔ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š))))
54 lkrpss.d . . . . 5 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
55 lkrpss.o . . . . 5 0 = (0gβ€˜π·)
563, 4, 5, 54, 55, 8, 30lkr0f2 37626 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š) ↔ 𝐺 = 0 ))
5756necon3bid 2989 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ↔ 𝐺 β‰  0 ))
583, 4, 5, 54, 55, 8, 9lkr0f2 37626 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š) ↔ 𝐻 = 0 ))
5957, 58anbi12d 632 . 2 (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜πΊ) β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π») = (Baseβ€˜π‘Š)) ↔ (𝐺 β‰  0 ∧ 𝐻 = 0 )))
6053, 59bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜πΊ) ⊊ (πΎβ€˜π») ↔ (𝐺 β‰  0 ∧ 𝐻 = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   βŠ† wss 3911   ⊊ wpss 3912  β€˜cfv 6497  Basecbs 17084  0gc0g 17322  LModclmod 20325  LVecclvec 20566  LSHypclsh 37440  LFnlclfn 37522  LKerclk 37550  LDualcld 37588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-0g 17324  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-submnd 18603  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-sbg 18754  df-subg 18926  df-cntz 19098  df-lsm 19419  df-cmn 19565  df-abl 19566  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-ring 19967  df-oppr 20050  df-dvdsr 20071  df-unit 20072  df-invr 20102  df-drng 20188  df-lmod 20327  df-lss 20396  df-lsp 20436  df-lvec 20567  df-lshyp 37442  df-lfl 37523  df-lkr 37551  df-ldual 37589
This theorem is referenced by:  lkrss2N  37634  lkreqN  37635
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