Theorem lduallkr3 39155

Description: The kernels of nonzero functionals are hyperplanes. (Contributed by NM, 22-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lduallkr3.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lduallkr3.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lduallkr3.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lduallkr3.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lduallkr3.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lduallkr3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lduallkr3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lduallkr3	⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ↔ 𝐺 ≠ 0 ))

Proof of Theorem lduallkr3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
4		lduallkr3.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
5		lduallkr3.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
6		lduallkr3.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
7		lduallkr3.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
8		lduallkr3.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lkrshp3 39099	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ↔ 𝐺 ≠ ((Base‘𝑊) × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})))
10		lduallkr3.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
11		lduallkr3.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
12		lveclmod 21013	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
13	7, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
14	1, 2, 3, 10, 11, 13	ldual0v 39143	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 = ((Base‘𝑊) × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
15	14	neeq2d 2985	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ≠ 0 ↔ 𝐺 ≠ ((Base‘𝑊) × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})))
16	9, 15	bitr4d 282	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ↔ 𝐺 ≠ 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {csn 4589   × cxp 5636  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  Scalarcsca 17223  0_gc0g 17402  LModclmod 20766  LVecclvec 21009  LSHypclsh 38968  LFnlclfn 39050  LKerclk 39078  LDualcld 39116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-cntz 19249  df-lsm 19566  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-invr 20297  df-drng 20640  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lsp 20878  df-lvec 21010  df-lshyp 38970  df-lfl 39051  df-lkr 39079  df-ldual 39117

This theorem is referenced by:  lcfrlem25  41561  lcfrlem35  41571