Theorem lduallkr3 39144

Description: The kernels of nonzero functionals are hyperplanes. (Contributed by NM, 22-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lduallkr3.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lduallkr3.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lduallkr3.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lduallkr3.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lduallkr3.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lduallkr3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lduallkr3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lduallkr3	⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ↔ 𝐺 ≠ 0 ))

Proof of Theorem lduallkr3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2735	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
4		lduallkr3.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
5		lduallkr3.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
6		lduallkr3.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
7		lduallkr3.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
8		lduallkr3.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lkrshp3 39088	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ↔ 𝐺 ≠ ((Base‘𝑊) × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})))
10		lduallkr3.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
11		lduallkr3.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
12		lveclmod 21123	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
13	7, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
14	1, 2, 3, 10, 11, 13	ldual0v 39132	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 = ((Base‘𝑊) × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
15	14	neeq2d 2999	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ≠ 0 ↔ 𝐺 ≠ ((Base‘𝑊) × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})))
16	9, 15	bitr4d 282	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ↔ 𝐺 ≠ 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  {csn 4631   × cxp 5687  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  Scalarcsca 17301  0_gc0g 17486  LModclmod 20875  LVecclvec 21119  LSHypclsh 38957  LFnlclfn 39039  LKerclk 39067  LDualcld 39105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120  df-lshyp 38959  df-lfl 39040  df-lkr 39068  df-ldual 39106

This theorem is referenced by:  lcfrlem25  41550  lcfrlem35  41560