MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmif1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmif1o 27735
Description: The line mirroring function 𝑀 is a bijection. Theorem 10.9 of [Schwabhauser] p. 89. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d = (dist‘𝐺)
ismid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
lmif.m 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
lmif.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmif.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
Assertion
Ref Expression
lmif1o (𝜑𝑀:𝑃1-1-onto𝑃)

Proof of Theorem lmif1o
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismid.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 ismid.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
3 ismid.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 ismid.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 ismid.1 . . . 4 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
6 lmif.m . . . 4 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
7 lmif.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8 lmif.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8lmif 27725 . . 3 (𝜑𝑀:𝑃𝑃)
109ffnd 6669 . 2 (𝜑𝑀 Fn 𝑃)
114adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝑃) → 𝐺 ∈ TarskiG)
125adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝑃) → 𝐺DimTarskiG≥2)
138adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝑃) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
14 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝑃) → 𝑏𝑃)
151, 2, 3, 11, 12, 6, 7, 13, 14lmilmi 27729 . . . 4 ((𝜑𝑏𝑃) → (𝑀‘(𝑀𝑏)) = 𝑏)
1615ralrimiva 3143 . . 3 (𝜑 → ∀𝑏𝑃 (𝑀‘(𝑀𝑏)) = 𝑏)
17 nvocnv 7226 . . 3 ((𝑀:𝑃𝑃 ∧ ∀𝑏𝑃 (𝑀‘(𝑀𝑏)) = 𝑏) → 𝑀 = 𝑀)
189, 16, 17syl2anc 584 . 2 (𝜑𝑀 = 𝑀)
19 nvof1o 7225 . 2 ((𝑀 Fn 𝑃𝑀 = 𝑀) → 𝑀:𝑃1-1-onto𝑃)
2010, 18, 19syl2anc 584 1 (𝜑𝑀:𝑃1-1-onto𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064   class class class wbr 5105  ccnv 5632  ran crn 5634   Fn wfn 6491  wf 6492  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  2c2 12207  Basecbs 17082  distcds 17141  TarskiGcstrkg 27367  DimTarskiGcstrkgld 27371  Itvcitv 27373  LineGclng 27374  lInvGclmi 27713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-oadd 8415  df-er 8647  df-map 8766  df-pm 8767  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-dju 9836  df-card 9874  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-n0 12413  df-xnn0 12485  df-z 12499  df-uz 12763  df-fz 13424  df-fzo 13567  df-hash 14230  df-word 14402  df-concat 14458  df-s1 14483  df-s2 14736  df-s3 14737  df-trkgc 27388  df-trkgb 27389  df-trkgcb 27390  df-trkgld 27392  df-trkg 27393  df-cgrg 27451  df-leg 27523  df-mir 27593  df-rag 27634  df-perpg 27636  df-mid 27714  df-lmi 27715
This theorem is referenced by:  lmimot  27738
  Copyright terms: Public domain W3C validator