Theorem lmif1o 29177

Description: The line mirroring function 𝑀 is a bijection. Theorem 10.9 of [Schwabhauser] p. 89. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
ismid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
lmif.m	⊢ 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
lmif.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmif.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)

Assertion

Ref	Expression
lmif1o	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑃–1-1-onto→𝑃)

Proof of Theorem lmif1o

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismid.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		ismid.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		ismid.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		ismid.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		ismid.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
6		lmif.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
7		lmif.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8		lmif.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lmif 29167	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑃⟶𝑃)
10	9	ffnd 6707	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 Fn 𝑃)
11	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝐺 ∈ TarskiG)
12	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝐺DimTarskiG≥2)
13	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
14		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝑏 ∈ 𝑃)
15	1, 2, 3, 11, 12, 6, 7, 13, 14	lmilmi 29171	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → (𝑀‘(𝑀‘𝑏)) = 𝑏)
16	15	ralrimiva 3156	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ 𝑃 (𝑀‘(𝑀‘𝑏)) = 𝑏)
17		nvocnv 7285	. . 3 ⊢ ((𝑀:𝑃⟶𝑃 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑃 (𝑀‘(𝑀‘𝑏)) = 𝑏) → ◡𝑀 = 𝑀)
18	9, 16, 17	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ◡𝑀 = 𝑀)
19		nvof1o 7284	. 2 ⊢ ((𝑀 Fn 𝑃 ∧ ◡𝑀 = 𝑀) → 𝑀:𝑃–1-1-onto→𝑃)
20	10, 18, 19	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑃–1-1-onto→𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078   class class class wbr 5107  ^◡ccnv 5658  ran crn 5660   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  2c2 12322  Basecbs 17305  distcds 17355  TarskiGcstrkg 28766  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28770  Itvcitv 28772  LineGclng 28773  lInvGclmi 29155

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-hash 14397  df-word 14581  df-concat 14638  df-s1 14665  df-s2 14921  df-s3 14922  df-trkgc 28787  df-trkgb 28788  df-trkgcb 28789  df-trkgld 28791  df-trkg 28792  df-cgrg 28851  df-leg 28923  df-mir 29002  df-rag 29046  df-perpg 29048  df-mid 29156  df-lmi 29157

This theorem is used by:  lmimot  29180