MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmif1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmif1o 27779
Description: The line mirroring function 𝑀 is a bijection. Theorem 10.9 of [Schwabhauser] p. 89. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
ismid.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
ismid.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
ismid.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
lmif.m 𝑀 = ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜π·)
lmif.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
lmif.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
Assertion
Ref Expression
lmif1o (πœ‘ β†’ 𝑀:𝑃–1-1-onto→𝑃)

Proof of Theorem lmif1o
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismid.p . . . 4 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 ismid.d . . . 4 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 ismid.i . . . 4 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 ismid.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
5 ismid.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
6 lmif.m . . . 4 𝑀 = ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜π·)
7 lmif.l . . . 4 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
8 lmif.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8lmif 27769 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀:π‘ƒβŸΆπ‘ƒ)
109ffnd 6674 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 Fn 𝑃)
114adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
125adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
138adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
14 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) β†’ 𝑏 ∈ 𝑃)
151, 2, 3, 11, 12, 6, 7, 13, 14lmilmi 27773 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) β†’ (π‘€β€˜(π‘€β€˜π‘)) = 𝑏)
1615ralrimiva 3144 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (π‘€β€˜(π‘€β€˜π‘)) = 𝑏)
17 nvocnv 7232 . . 3 ((𝑀:π‘ƒβŸΆπ‘ƒ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (π‘€β€˜(π‘€β€˜π‘)) = 𝑏) β†’ ◑𝑀 = 𝑀)
189, 16, 17syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ◑𝑀 = 𝑀)
19 nvof1o 7231 . 2 ((𝑀 Fn 𝑃 ∧ ◑𝑀 = 𝑀) β†’ 𝑀:𝑃–1-1-onto→𝑃)
2010, 18, 19syl2anc 585 1 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝑃–1-1-onto→𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065   class class class wbr 5110  β—‘ccnv 5637  ran crn 5639   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6500  β€˜cfv 6501  2c2 12215  Basecbs 17090  distcds 17149  TarskiGcstrkg 27411  DimTarskiGβ‰₯cstrkgld 27415  Itvcitv 27417  LineGclng 27418  lInvGclmi 27757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-concat 14466  df-s1 14491  df-s2 14744  df-s3 14745  df-trkgc 27432  df-trkgb 27433  df-trkgcb 27434  df-trkgld 27436  df-trkg 27437  df-cgrg 27495  df-leg 27567  df-mir 27637  df-rag 27678  df-perpg 27680  df-mid 27758  df-lmi 27759
This theorem is referenced by:  lmimot  27782
  Copyright terms: Public domain W3C validator