MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmif1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmif1o 26886
Description: The line mirroring function 𝑀 is a bijection. Theorem 10.9 of [Schwabhauser] p. 89. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d = (dist‘𝐺)
ismid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
lmif.m 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
lmif.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmif.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
Assertion
Ref Expression
lmif1o (𝜑𝑀:𝑃1-1-onto𝑃)

Proof of Theorem lmif1o
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismid.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 ismid.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
3 ismid.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 ismid.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 ismid.1 . . . 4 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
6 lmif.m . . . 4 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
7 lmif.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8 lmif.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8lmif 26876 . . 3 (𝜑𝑀:𝑃𝑃)
109ffnd 6546 . 2 (𝜑𝑀 Fn 𝑃)
114adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝑃) → 𝐺 ∈ TarskiG)
125adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝑃) → 𝐺DimTarskiG≥2)
138adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝑃) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
14 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝑃) → 𝑏𝑃)
151, 2, 3, 11, 12, 6, 7, 13, 14lmilmi 26880 . . . 4 ((𝜑𝑏𝑃) → (𝑀‘(𝑀𝑏)) = 𝑏)
1615ralrimiva 3105 . . 3 (𝜑 → ∀𝑏𝑃 (𝑀‘(𝑀𝑏)) = 𝑏)
17 nvocnv 7092 . . 3 ((𝑀:𝑃𝑃 ∧ ∀𝑏𝑃 (𝑀‘(𝑀𝑏)) = 𝑏) → 𝑀 = 𝑀)
189, 16, 17syl2anc 587 . 2 (𝜑𝑀 = 𝑀)
19 nvof1o 7091 . 2 ((𝑀 Fn 𝑃𝑀 = 𝑀) → 𝑀:𝑃1-1-onto𝑃)
2010, 18, 19syl2anc 587 1 (𝜑𝑀:𝑃1-1-onto𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061   class class class wbr 5053  ccnv 5550  ran crn 5552   Fn wfn 6375  wf 6376  1-1-ontowf1o 6379  cfv 6380  2c2 11885  Basecbs 16760  distcds 16811  TarskiGcstrkg 26521  DimTarskiGcstrkgld 26525  Itvcitv 26527  LineGclng 26528  lInvGclmi 26864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-oadd 8206  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-dju 9517  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-xnn0 12163  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-hash 13897  df-word 14070  df-concat 14126  df-s1 14153  df-s2 14413  df-s3 14414  df-trkgc 26539  df-trkgb 26540  df-trkgcb 26541  df-trkgld 26543  df-trkg 26544  df-cgrg 26602  df-leg 26674  df-mir 26744  df-rag 26785  df-perpg 26787  df-mid 26865  df-lmi 26866
This theorem is referenced by:  lmimot  26889
  Copyright terms: Public domain W3C validator