MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmif1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmif1o 26042
Description: The line mirroring function 𝑀 is a bijection. Theorem 10.9 of [Schwabhauser] p. 89. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d = (dist‘𝐺)
ismid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
lmif.m 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
lmif.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmif.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
Assertion
Ref Expression
lmif1o (𝜑𝑀:𝑃1-1-onto𝑃)

Proof of Theorem lmif1o
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismid.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 ismid.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
3 ismid.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 ismid.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 ismid.1 . . . 4 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
6 lmif.m . . . 4 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
7 lmif.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8 lmif.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8lmif 26032 . . 3 (𝜑𝑀:𝑃𝑃)
109ffnd 6258 . 2 (𝜑𝑀 Fn 𝑃)
114adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝑃) → 𝐺 ∈ TarskiG)
125adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝑃) → 𝐺DimTarskiG≥2)
138adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝑃) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
14 simpr 478 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝑃) → 𝑏𝑃)
151, 2, 3, 11, 12, 6, 7, 13, 14lmilmi 26036 . . . 4 ((𝜑𝑏𝑃) → (𝑀‘(𝑀𝑏)) = 𝑏)
1615ralrimiva 3148 . . 3 (𝜑 → ∀𝑏𝑃 (𝑀‘(𝑀𝑏)) = 𝑏)
17 nvocnv 6766 . . 3 ((𝑀:𝑃𝑃 ∧ ∀𝑏𝑃 (𝑀‘(𝑀𝑏)) = 𝑏) → 𝑀 = 𝑀)
189, 16, 17syl2anc 580 . 2 (𝜑𝑀 = 𝑀)
19 nvof1o 6765 . 2 ((𝑀 Fn 𝑃𝑀 = 𝑀) → 𝑀:𝑃1-1-onto𝑃)
2010, 18, 19syl2anc 580 1 (𝜑𝑀:𝑃1-1-onto𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3090   class class class wbr 4844  ccnv 5312  ran crn 5314   Fn wfn 6097  wf 6098  1-1-ontowf1o 6101  cfv 6102  2c2 11367  Basecbs 16183  distcds 16275  TarskiGcstrkg 25680  DimTarskiGcstrkgld 25684  Itvcitv 25686  LineGclng 25687  lInvGclmi 26020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-oadd 7804  df-er 7983  df-map 8098  df-pm 8099  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-card 9052  df-cda 9279  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-2 11375  df-3 11376  df-n0 11580  df-xnn0 11652  df-z 11666  df-uz 11930  df-fz 12580  df-fzo 12720  df-hash 13370  df-word 13534  df-concat 13590  df-s1 13615  df-s2 13932  df-s3 13933  df-trkgc 25698  df-trkgb 25699  df-trkgcb 25700  df-trkgld 25702  df-trkg 25703  df-cgrg 25761  df-leg 25833  df-mir 25903  df-rag 25944  df-perpg 25946  df-mid 26021  df-lmi 26022
This theorem is referenced by:  lmimot  26045
  Copyright terms: Public domain W3C validator