Theorem hgmapval1 39907

Description: Value of the scalar sigma map at one. (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmapval1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmapval1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmapval1.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmapval1.i	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
hgmapval1.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapval1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
hgmapval1	⊢ (𝜑 → (𝐺‘ 1 ) = 1 )

Proof of Theorem hgmapval1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmapval1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hgmapval1.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
5		hgmapval1.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 2, 3, 4, 5	dvh1dim 39456	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑈)𝑥 ≠ (0g‘𝑈))
7		hgmapval1.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
8		hgmapval1.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
9		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
10		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
11		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (1r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
12	1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 5	lcd1 39623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = 1 )
13	12	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = ( 1 ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
14	13	3ad2ant1 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → ((1r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = ( 1 ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
15	1, 9, 5	lcdlmod 39606	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
16	15	3ad2ant1 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
17		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
18		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
19	5	3ad2ant1 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
20		simp2 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑈))
21	1, 2, 3, 9, 17, 18, 19, 20	hdmapcl 39844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
22		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
23	17, 10, 22, 11	lmodvs1 20151	. . . . . . 7 ⊢ ((((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod ∧ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) → ((1r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
24	16, 21, 23	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → ((1r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
25	14, 24	eqtr3d 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → ( 1 ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
26	1, 2, 5	dvhlmod 39124	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
27	26	3ad2ant1 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LMod)
28		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
29	3, 7, 28, 8	lmodvs1 20151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥) = 𝑥)
30	27, 20, 29	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥) = 𝑥)
31	30	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘( 1 ( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)) = (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
32		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
33		hgmapval1.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
34	7	lmodring 20131	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
35	32, 8	ringidcl 19807	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
36	26, 34, 35	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑅))
37	36	3ad2ant1 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
38	1, 2, 3, 28, 7, 32, 9, 22, 18, 33, 19, 20, 37	hgmapvs 39905	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘( 1 ( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)) = ((𝐺‘ 1 )( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
39	25, 31, 38	3eqtr2rd 2785	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝐺‘ 1 )( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = ( 1 ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
40		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
41		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
42	1, 9, 5	lcdlvec 39605	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
43	42	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
44	1, 2, 7, 32, 33, 5, 36	hgmapcl 39903	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑅))
45	1, 2, 7, 32, 9, 10, 40, 5	lcdsbase 39614	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (Base‘𝑅))
46	44, 45	eleqtrrd 2842	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘ 1 ) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
47	46	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘ 1 ) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
48	36, 45	eleqtrrd 2842	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
49	48	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → 1 ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
50		simp3 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑈))
51	1, 2, 3, 4, 9, 41, 18, 19, 20	hdmapeq0 39858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ 𝑥 = (0g‘𝑈)))
52	51	necon3bid 2988	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ≠ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)))
53	50, 52	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ≠ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
54	17, 22, 10, 40, 41, 43, 47, 49, 21, 53	lvecvscan2 20374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → (((𝐺‘ 1 )( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = ( 1 ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) ↔ (𝐺‘ 1 ) = 1 ))
55	39, 54	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘ 1 ) = 1 )
56	55	rexlimdv3a 3215	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑈)𝑥 ≠ (0g‘𝑈) → (𝐺‘ 1 ) = 1 ))
57	6, 56	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘ 1 ) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  0_gc0g 17150  1_rcur 19737  Ringcrg 19783  LModclmod 20123  LVecclvec 20364  HLchlt 37364  LHypclh 37998  DVecHcdvh 39092  LCDualclcd 39600  HDMapchdma 39806  HGMapchg 39897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-riotaBAD 36967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-undef 8089  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-0g 17152  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-oppg 18950  df-lsm 19241  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-drng 19993  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lvec 20365  df-lsatoms 36990  df-lshyp 36991  df-lcv 37033  df-lfl 37072  df-lkr 37100  df-ldual 37138  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173  df-tgrp 38757  df-tendo 38769  df-edring 38771  df-dveca 39017  df-disoa 39043  df-dvech 39093  df-dib 39153  df-dic 39187  df-dih 39243  df-doch 39362  df-djh 39409  df-lcdual 39601  df-mapd 39639  df-hvmap 39771  df-hdmap1 39807  df-hdmap 39808  df-hgmap 39898

This theorem is referenced by:  hdmapglem5  39936