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Theorem hdmapglem7 40738
Description: Lemma for hdmapg 40739. Line 15 in [Baer] p. 111, f(x,y) alpha = f(y,x). In the proof, our 𝐸, (π‘‚β€˜{𝐸}), 𝑋, π‘Œ, π‘˜, 𝑒, 𝑙, and 𝑣 correspond respectively to Baer's w, H, x, y, x', x'', y', and y'', and our ((π‘†β€˜π‘Œ)β€˜π‘‹) corresponds to Baer's f(x,y). (Contributed by NM, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapglem7.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hdmapglem7.e 𝐸 = ⟨( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)), ( I β†Ύ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))⟩
hdmapglem7.o 𝑂 = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapglem7.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapglem7.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
hdmapglem7.p + = (+gβ€˜π‘ˆ)
hdmapglem7.q Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
hdmapglem7.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
hdmapglem7.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
hdmapglem7.a βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
hdmapglem7.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
hdmapglem7.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hdmapglem7.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmapglem7.t Γ— = (.rβ€˜π‘…)
hdmapglem7.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
hdmapglem7.c ✚ = (+gβ€˜π‘…)
hdmapglem7.s 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapglem7.g 𝐺 = ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapglem7.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
hdmapglem7 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜((π‘†β€˜π‘Œ)β€˜π‘‹)) = ((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘Œ))
Proof of Theorem hdmapglem7
Dummy variables π‘˜ 𝑙 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmapglem7.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 hdmapglem7.e . . 3 𝐸 = ⟨( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)), ( I β†Ύ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))⟩
3 hdmapglem7.o . . 3 𝑂 = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 hdmapglem7.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 hdmapglem7.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
6 hdmapglem7.p . . 3 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
7 hdmapglem7.q . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
8 hdmapglem7.r . . 3 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
9 hdmapglem7.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
10 hdmapglem7.a . . 3 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
11 hdmapglem7.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
12 hdmapglem7.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
13 hdmapglem7.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13hdmapglem7a 40736 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (π‘‚β€˜{𝐸})βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐡 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒))
15 hdmapglem7.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15hdmapglem7a 40736 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (π‘‚β€˜{𝐸})βˆƒπ‘™ ∈ 𝐡 π‘Œ = ((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣))
17 hdmapglem7.c . . . . . . . . . . . 12 ✚ = (+gβ€˜π‘…)
18 hdmapglem7.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
1912ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
201, 4, 12dvhlmod 39919 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
218lmodring 20467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2322ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
24 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ π‘˜ ∈ 𝐡)
25 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑙 ∈ 𝐡)
261, 4, 8, 9, 18, 19, 25hgmapcl 40698 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ (πΊβ€˜π‘™) ∈ 𝐡)
27 hdmapglem7.t . . . . . . . . . . . . . 14 Γ— = (.rβ€˜π‘…)
289, 27ringcl 20064 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘™) ∈ 𝐡) β†’ (π‘˜ Γ— (πΊβ€˜π‘™)) ∈ 𝐡)
2923, 24, 26, 28syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘˜ Γ— (πΊβ€˜π‘™)) ∈ 𝐡)
30 hdmapglem7.s . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
31 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
32 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
33 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
341, 31, 32, 4, 5, 33, 2, 12dvheveccl 39921 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘ˆ)}))
3534eldifad 3959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑉)
3635snssd 4811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ {𝐸} βŠ† 𝑉)
371, 4, 5, 3dochssv 40164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ {𝐸} βŠ† 𝑉) β†’ (π‘‚β€˜{𝐸}) βŠ† 𝑉)
3812, 36, 37syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜{𝐸}) βŠ† 𝑉)
3938ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‚β€˜{𝐸}) βŠ† 𝑉)
40 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}))
4139, 40sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑒 ∈ 𝑉)
42 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}))
4339, 42sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
441, 4, 5, 8, 9, 30, 19, 41, 43hdmapipcl 40714 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘†β€˜π‘£)β€˜π‘’) ∈ 𝐡)
451, 4, 8, 9, 17, 18, 19, 29, 44hgmapadd 40703 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ (πΊβ€˜((π‘˜ Γ— (πΊβ€˜π‘™)) ✚ ((π‘†β€˜π‘£)β€˜π‘’))) = ((πΊβ€˜(π‘˜ Γ— (πΊβ€˜π‘™))) ✚ (πΊβ€˜((π‘†β€˜π‘£)β€˜π‘’))))
461, 4, 8, 9, 27, 18, 19, 24, 26hgmapmul 40704 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ (πΊβ€˜(π‘˜ Γ— (πΊβ€˜π‘™))) = ((πΊβ€˜(πΊβ€˜π‘™)) Γ— (πΊβ€˜π‘˜)))
471, 4, 8, 9, 18, 19, 25hgmapvv 40735 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ (πΊβ€˜(πΊβ€˜π‘™)) = 𝑙)
4847oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ ((πΊβ€˜(πΊβ€˜π‘™)) Γ— (πΊβ€˜π‘˜)) = (𝑙 Γ— (πΊβ€˜π‘˜)))
4946, 48eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ (πΊβ€˜(π‘˜ Γ— (πΊβ€˜π‘™))) = (𝑙 Γ— (πΊβ€˜π‘˜)))
50 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (-gβ€˜π‘ˆ) = (-gβ€˜π‘ˆ)
51 hdmapglem7.z . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0gβ€˜π‘…)
521, 2, 3, 4, 5, 6, 50, 7, 8, 9, 27, 51, 30, 18, 19, 40, 42, 24, 24hdmapglem5 40731 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ (πΊβ€˜((π‘†β€˜π‘£)β€˜π‘’)) = ((π‘†β€˜π‘’)β€˜π‘£))
5349, 52oveq12d 7422 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ ((πΊβ€˜(π‘˜ Γ— (πΊβ€˜π‘™))) ✚ (πΊβ€˜((π‘†β€˜π‘£)β€˜π‘’))) = ((𝑙 Γ— (πΊβ€˜π‘˜)) ✚ ((π‘†β€˜π‘’)β€˜π‘£)))
5445, 53eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ (πΊβ€˜((π‘˜ Γ— (πΊβ€˜π‘™)) ✚ ((π‘†β€˜π‘£)β€˜π‘’))) = ((𝑙 Γ— (πΊβ€˜π‘˜)) ✚ ((π‘†β€˜π‘’)β€˜π‘£)))
5513ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
561, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 19, 55, 27, 51, 17, 30, 18, 42, 40, 25, 24hdmapglem7b 40737 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘†β€˜((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣))β€˜((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒)) = ((π‘˜ Γ— (πΊβ€˜π‘™)) ✚ ((π‘†β€˜π‘£)β€˜π‘’)))
5756fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ (πΊβ€˜((π‘†β€˜((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣))β€˜((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒))) = (πΊβ€˜((π‘˜ Γ— (πΊβ€˜π‘™)) ✚ ((π‘†β€˜π‘£)β€˜π‘’))))
581, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 19, 55, 27, 51, 17, 30, 18, 40, 42, 24, 25hdmapglem7b 40737 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘†β€˜((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒))β€˜((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣)) = ((𝑙 Γ— (πΊβ€˜π‘˜)) ✚ ((π‘†β€˜π‘’)β€˜π‘£)))
5954, 57, 583eqtr4d 2783 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ (πΊβ€˜((π‘†β€˜((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣))β€˜((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒))) = ((π‘†β€˜((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒))β€˜((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣)))
60593adantl3 1169 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ (πΊβ€˜((π‘†β€˜((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣))β€˜((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒))) = ((π‘†β€˜((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒))β€˜((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣)))
61603adant3 1133 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = ((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣)) β†’ (πΊβ€˜((π‘†β€˜((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣))β€˜((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒))) = ((π‘†β€˜((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒))β€˜((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣)))
62 simp3 1139 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = ((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣)) β†’ π‘Œ = ((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣))
6362fveq2d 6892 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = ((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣)) β†’ (π‘†β€˜π‘Œ) = (π‘†β€˜((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣)))
64 simp13 1206 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = ((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣)) β†’ 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒))
6563, 64fveq12d 6895 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = ((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣)) β†’ ((π‘†β€˜π‘Œ)β€˜π‘‹) = ((π‘†β€˜((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣))β€˜((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒)))
6665fveq2d 6892 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = ((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣)) β†’ (πΊβ€˜((π‘†β€˜π‘Œ)β€˜π‘‹)) = (πΊβ€˜((π‘†β€˜((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣))β€˜((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒))))
6764fveq2d 6892 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = ((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣)) β†’ (π‘†β€˜π‘‹) = (π‘†β€˜((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒)))
6867, 62fveq12d 6895 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = ((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣)) β†’ ((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = ((π‘†β€˜((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒))β€˜((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣)))
6961, 66, 683eqtr4d 2783 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = ((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣)) β†’ (πΊβ€˜((π‘†β€˜π‘Œ)β€˜π‘‹)) = ((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘Œ))
70693exp 1120 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒)) β†’ ((𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ = ((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣) β†’ (πΊβ€˜((π‘†β€˜π‘Œ)β€˜π‘‹)) = ((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘Œ))))
7170rexlimdvv 3211 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (π‘‚β€˜{𝐸})βˆƒπ‘™ ∈ 𝐡 π‘Œ = ((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣) β†’ (πΊβ€˜((π‘†β€˜π‘Œ)β€˜π‘‹)) = ((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘Œ)))
72713exp 1120 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (π‘‚β€˜{𝐸})βˆƒπ‘™ ∈ 𝐡 π‘Œ = ((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣) β†’ (πΊβ€˜((π‘†β€˜π‘Œ)β€˜π‘‹)) = ((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘Œ)))))
7372rexlimdvv 3211 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ (π‘‚β€˜{𝐸})βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐡 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (π‘‚β€˜{𝐸})βˆƒπ‘™ ∈ 𝐡 π‘Œ = ((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣) β†’ (πΊβ€˜((π‘†β€˜π‘Œ)β€˜π‘‹)) = ((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘Œ))))
7414, 16, 73mp2d 49 1 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜((π‘†β€˜π‘Œ)β€˜π‘‹)) = ((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3947  {csn 4627  βŸ¨cop 4633   I cid 5572   β†Ύ cres 5677  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7404  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381  -gcsg 18817  LSSumclsm 19495  Ringcrg 20047  LModclmod 20459  LSpanclspn 20570  HLchlt 38158  LHypclh 38793  LTrncltrn 38910  DVecHcdvh 39887  ocHcoch 40156  HDMapchdma 40601  HGMapchg 40692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 37761
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-oppg 19203  df-lsm 19497  df-cmn 19643  df-abl 19644  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-oppr 20139  df-dvdsr 20160  df-unit 20161  df-invr 20191  df-dvr 20204  df-drng 20306  df-lmod 20461  df-lss 20531  df-lsp 20571  df-lvec 20702  df-lsatoms 37784  df-lshyp 37785  df-lcv 37827  df-lfl 37866  df-lkr 37894  df-ldual 37932  df-oposet 37984  df-ol 37986  df-oml 37987  df-covers 38074  df-ats 38075  df-atl 38106  df-cvlat 38130  df-hlat 38159  df-llines 38307  df-lplanes 38308  df-lvols 38309  df-lines 38310  df-psubsp 38312  df-pmap 38313  df-padd 38605  df-lhyp 38797  df-laut 38798  df-ldil 38913  df-ltrn 38914  df-trl 38968  df-tgrp 39552  df-tendo 39564  df-edring 39566  df-dveca 39812  df-disoa 39838  df-dvech 39888  df-dib 39948  df-dic 39982  df-dih 40038  df-doch 40157  df-djh 40204  df-lcdual 40396  df-mapd 40434  df-hvmap 40566  df-hdmap1 40602  df-hdmap 40603  df-hgmap 40693
This theorem is referenced by:  hdmapg  40739
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