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Theorem hdmapglem7 40892
Description: Lemma for hdmapg 40893. Line 15 in [Baer] p. 111, f(x,y) alpha = f(y,x). In the proof, our 𝐸, (π‘‚β€˜{𝐸}), 𝑋, π‘Œ, π‘˜, 𝑒, 𝑙, and 𝑣 correspond respectively to Baer's w, H, x, y, x', x'', y', and y'', and our ((π‘†β€˜π‘Œ)β€˜π‘‹) corresponds to Baer's f(x,y). (Contributed by NM, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapglem7.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hdmapglem7.e 𝐸 = ⟨( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)), ( I β†Ύ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))⟩
hdmapglem7.o 𝑂 = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapglem7.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapglem7.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
hdmapglem7.p + = (+gβ€˜π‘ˆ)
hdmapglem7.q Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
hdmapglem7.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
hdmapglem7.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
hdmapglem7.a βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
hdmapglem7.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
hdmapglem7.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hdmapglem7.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmapglem7.t Γ— = (.rβ€˜π‘…)
hdmapglem7.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
hdmapglem7.c ✚ = (+gβ€˜π‘…)
hdmapglem7.s 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapglem7.g 𝐺 = ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapglem7.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
hdmapglem7 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜((π‘†β€˜π‘Œ)β€˜π‘‹)) = ((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘Œ))
Proof of Theorem hdmapglem7
Dummy variables π‘˜ 𝑙 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmapglem7.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 hdmapglem7.e . . 3 𝐸 = ⟨( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)), ( I β†Ύ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))⟩
3 hdmapglem7.o . . 3 𝑂 = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 hdmapglem7.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 hdmapglem7.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
6 hdmapglem7.p . . 3 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
7 hdmapglem7.q . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
8 hdmapglem7.r . . 3 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
9 hdmapglem7.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
10 hdmapglem7.a . . 3 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
11 hdmapglem7.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
12 hdmapglem7.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
13 hdmapglem7.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13hdmapglem7a 40890 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (π‘‚β€˜{𝐸})βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐡 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒))
15 hdmapglem7.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15hdmapglem7a 40890 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (π‘‚β€˜{𝐸})βˆƒπ‘™ ∈ 𝐡 π‘Œ = ((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣))
17 hdmapglem7.c . . . . . . . . . . . 12 ✚ = (+gβ€˜π‘…)
18 hdmapglem7.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
1912ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
201, 4, 12dvhlmod 40073 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
218lmodring 20483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2322ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
24 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ π‘˜ ∈ 𝐡)
25 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑙 ∈ 𝐡)
261, 4, 8, 9, 18, 19, 25hgmapcl 40852 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ (πΊβ€˜π‘™) ∈ 𝐡)
27 hdmapglem7.t . . . . . . . . . . . . . 14 Γ— = (.rβ€˜π‘…)
289, 27ringcl 20075 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘™) ∈ 𝐡) β†’ (π‘˜ Γ— (πΊβ€˜π‘™)) ∈ 𝐡)
2923, 24, 26, 28syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘˜ Γ— (πΊβ€˜π‘™)) ∈ 𝐡)
30 hdmapglem7.s . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
31 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
32 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
33 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
341, 31, 32, 4, 5, 33, 2, 12dvheveccl 40075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘ˆ)}))
3534eldifad 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑉)
3635snssd 4812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ {𝐸} βŠ† 𝑉)
371, 4, 5, 3dochssv 40318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ {𝐸} βŠ† 𝑉) β†’ (π‘‚β€˜{𝐸}) βŠ† 𝑉)
3812, 36, 37syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜{𝐸}) βŠ† 𝑉)
3938ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‚β€˜{𝐸}) βŠ† 𝑉)
40 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}))
4139, 40sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑒 ∈ 𝑉)
42 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}))
4339, 42sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
441, 4, 5, 8, 9, 30, 19, 41, 43hdmapipcl 40868 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘†β€˜π‘£)β€˜π‘’) ∈ 𝐡)
451, 4, 8, 9, 17, 18, 19, 29, 44hgmapadd 40857 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ (πΊβ€˜((π‘˜ Γ— (πΊβ€˜π‘™)) ✚ ((π‘†β€˜π‘£)β€˜π‘’))) = ((πΊβ€˜(π‘˜ Γ— (πΊβ€˜π‘™))) ✚ (πΊβ€˜((π‘†β€˜π‘£)β€˜π‘’))))
461, 4, 8, 9, 27, 18, 19, 24, 26hgmapmul 40858 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ (πΊβ€˜(π‘˜ Γ— (πΊβ€˜π‘™))) = ((πΊβ€˜(πΊβ€˜π‘™)) Γ— (πΊβ€˜π‘˜)))
471, 4, 8, 9, 18, 19, 25hgmapvv 40889 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ (πΊβ€˜(πΊβ€˜π‘™)) = 𝑙)
4847oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ ((πΊβ€˜(πΊβ€˜π‘™)) Γ— (πΊβ€˜π‘˜)) = (𝑙 Γ— (πΊβ€˜π‘˜)))
4946, 48eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ (πΊβ€˜(π‘˜ Γ— (πΊβ€˜π‘™))) = (𝑙 Γ— (πΊβ€˜π‘˜)))
50 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (-gβ€˜π‘ˆ) = (-gβ€˜π‘ˆ)
51 hdmapglem7.z . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0gβ€˜π‘…)
521, 2, 3, 4, 5, 6, 50, 7, 8, 9, 27, 51, 30, 18, 19, 40, 42, 24, 24hdmapglem5 40885 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ (πΊβ€˜((π‘†β€˜π‘£)β€˜π‘’)) = ((π‘†β€˜π‘’)β€˜π‘£))
5349, 52oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ ((πΊβ€˜(π‘˜ Γ— (πΊβ€˜π‘™))) ✚ (πΊβ€˜((π‘†β€˜π‘£)β€˜π‘’))) = ((𝑙 Γ— (πΊβ€˜π‘˜)) ✚ ((π‘†β€˜π‘’)β€˜π‘£)))
5445, 53eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ (πΊβ€˜((π‘˜ Γ— (πΊβ€˜π‘™)) ✚ ((π‘†β€˜π‘£)β€˜π‘’))) = ((𝑙 Γ— (πΊβ€˜π‘˜)) ✚ ((π‘†β€˜π‘’)β€˜π‘£)))
5513ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
561, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 19, 55, 27, 51, 17, 30, 18, 42, 40, 25, 24hdmapglem7b 40891 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘†β€˜((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣))β€˜((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒)) = ((π‘˜ Γ— (πΊβ€˜π‘™)) ✚ ((π‘†β€˜π‘£)β€˜π‘’)))
5756fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ (πΊβ€˜((π‘†β€˜((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣))β€˜((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒))) = (πΊβ€˜((π‘˜ Γ— (πΊβ€˜π‘™)) ✚ ((π‘†β€˜π‘£)β€˜π‘’))))
581, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 19, 55, 27, 51, 17, 30, 18, 40, 42, 24, 25hdmapglem7b 40891 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘†β€˜((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒))β€˜((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣)) = ((𝑙 Γ— (πΊβ€˜π‘˜)) ✚ ((π‘†β€˜π‘’)β€˜π‘£)))
5954, 57, 583eqtr4d 2782 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ (πΊβ€˜((π‘†β€˜((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣))β€˜((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒))) = ((π‘†β€˜((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒))β€˜((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣)))
60593adantl3 1168 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡)) β†’ (πΊβ€˜((π‘†β€˜((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣))β€˜((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒))) = ((π‘†β€˜((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒))β€˜((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣)))
61603adant3 1132 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = ((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣)) β†’ (πΊβ€˜((π‘†β€˜((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣))β€˜((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒))) = ((π‘†β€˜((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒))β€˜((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣)))
62 simp3 1138 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = ((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣)) β†’ π‘Œ = ((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣))
6362fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = ((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣)) β†’ (π‘†β€˜π‘Œ) = (π‘†β€˜((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣)))
64 simp13 1205 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = ((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣)) β†’ 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒))
6563, 64fveq12d 6898 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = ((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣)) β†’ ((π‘†β€˜π‘Œ)β€˜π‘‹) = ((π‘†β€˜((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣))β€˜((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒)))
6665fveq2d 6895 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = ((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣)) β†’ (πΊβ€˜((π‘†β€˜π‘Œ)β€˜π‘‹)) = (πΊβ€˜((π‘†β€˜((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣))β€˜((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒))))
6764fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = ((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣)) β†’ (π‘†β€˜π‘‹) = (π‘†β€˜((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒)))
6867, 62fveq12d 6898 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = ((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣)) β†’ ((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = ((π‘†β€˜((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒))β€˜((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣)))
6961, 66, 683eqtr4d 2782 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = ((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣)) β†’ (πΊβ€˜((π‘†β€˜π‘Œ)β€˜π‘‹)) = ((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘Œ))
70693exp 1119 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒)) β†’ ((𝑣 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ = ((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣) β†’ (πΊβ€˜((π‘†β€˜π‘Œ)β€˜π‘‹)) = ((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘Œ))))
7170rexlimdvv 3210 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (π‘‚β€˜{𝐸})βˆƒπ‘™ ∈ 𝐡 π‘Œ = ((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣) β†’ (πΊβ€˜((π‘†β€˜π‘Œ)β€˜π‘‹)) = ((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘Œ)))
72713exp 1119 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑒 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (π‘‚β€˜{𝐸})βˆƒπ‘™ ∈ 𝐡 π‘Œ = ((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣) β†’ (πΊβ€˜((π‘†β€˜π‘Œ)β€˜π‘‹)) = ((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘Œ)))))
7372rexlimdvv 3210 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ (π‘‚β€˜{𝐸})βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐡 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (π‘‚β€˜{𝐸})βˆƒπ‘™ ∈ 𝐡 π‘Œ = ((𝑙 Β· 𝐸) + 𝑣) β†’ (πΊβ€˜((π‘†β€˜π‘Œ)β€˜π‘‹)) = ((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘Œ))))
7414, 16, 73mp2d 49 1 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜((π‘†β€˜π‘Œ)β€˜π‘‹)) = ((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948  {csn 4628  βŸ¨cop 4634   I cid 5573   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  +gcplusg 17199  .rcmulr 17200  Scalarcsca 17202   ·𝑠 cvsca 17203  0gc0g 17387  -gcsg 18823  LSSumclsm 19504  Ringcrg 20058  LModclmod 20475  LSpanclspn 20587  HLchlt 38312  LHypclh 38947  LTrncltrn 39064  DVecHcdvh 40041  ocHcoch 40310  HDMapchdma 40755  HGMapchg 40846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 37915
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-undef 8260  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-0g 17389  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-subg 19005  df-cntz 19183  df-oppg 19212  df-lsm 19506  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-dvr 20219  df-drng 20363  df-lmod 20477  df-lss 20548  df-lsp 20588  df-lvec 20719  df-lsatoms 37938  df-lshyp 37939  df-lcv 37981  df-lfl 38020  df-lkr 38048  df-ldual 38086  df-oposet 38138  df-ol 38140  df-oml 38141  df-covers 38228  df-ats 38229  df-atl 38260  df-cvlat 38284  df-hlat 38313  df-llines 38461  df-lplanes 38462  df-lvols 38463  df-lines 38464  df-psubsp 38466  df-pmap 38467  df-padd 38759  df-lhyp 38951  df-laut 38952  df-ldil 39067  df-ltrn 39068  df-trl 39122  df-tgrp 39706  df-tendo 39718  df-edring 39720  df-dveca 39966  df-disoa 39992  df-dvech 40042  df-dib 40102  df-dic 40136  df-dih 40192  df-doch 40311  df-djh 40358  df-lcdual 40550  df-mapd 40588  df-hvmap 40720  df-hdmap1 40756  df-hdmap 40757  df-hgmap 40847
This theorem is referenced by:  hdmapg  40893
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