Theorem hdmapglem7 39943

Description: Lemma for hdmapg 39944. Line 15 in [Baer] p. 111, f(x,y) alpha = f(y,x). In the proof, our 𝐸, (𝑂‘{𝐸}), 𝑋, 𝑌, 𝑘, 𝑢, 𝑙, and 𝑣 correspond respectively to Baer's w, H, x, y, x', x'', y', and y'', and our ((𝑆‘𝑌)‘𝑋) corresponds to Baer's f(x,y). (Contributed by NM, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapglem7.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapglem7.e	⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapglem7.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem7.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem7.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapglem7.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
hdmapglem7.q	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmapglem7.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapglem7.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmapglem7.a	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
hdmapglem7.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmapglem7.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapglem7.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmapglem7.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
hdmapglem7.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
hdmapglem7.c	⊢ ✚ = (+g‘𝑅)
hdmapglem7.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem7.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem7.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmapglem7	⊢ (𝜑 → (𝐺‘((𝑆‘𝑌)‘𝑋)) = ((𝑆‘𝑋)‘𝑌))

Proof of Theorem hdmapglem7

Dummy variables 𝑘 𝑙 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapglem7.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmapglem7.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
3		hdmapglem7.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		hdmapglem7.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		hdmapglem7.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		hdmapglem7.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑈)
7		hdmapglem7.q	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
8		hdmapglem7.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
9		hdmapglem7.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		hdmapglem7.a	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
11		hdmapglem7.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
12		hdmapglem7.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		hdmapglem7.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	hdmapglem7a 39941	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸})∃𝑘 ∈ 𝐵 𝑋 = ((𝑘 · 𝐸) + 𝑢))
15		hdmapglem7.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15	hdmapglem7a 39941	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸})∃𝑙 ∈ 𝐵 𝑌 = ((𝑙 · 𝐸) + 𝑣))
17		hdmapglem7.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ✚ = (+g‘𝑅)
18		hdmapglem7.g	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
19	12	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
20	1, 4, 12	dvhlmod 39124	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
21	8	lmodring 20131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
23	22	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
24		simplrr 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵)) → 𝑘 ∈ 𝐵)
25		simprr 770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵)) → 𝑙 ∈ 𝐵)
26	1, 4, 8, 9, 18, 19, 25	hgmapcl 39903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵)) → (𝐺‘𝑙) ∈ 𝐵)
27		hdmapglem7.t	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ × = (.r‘𝑅)
28	9, 27	ringcl 19800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑙) ∈ 𝐵) → (𝑘 × (𝐺‘𝑙)) ∈ 𝐵)
29	23, 24, 26, 28	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵)) → (𝑘 × (𝐺‘𝑙)) ∈ 𝐵)
30		hdmapglem7.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
31		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
32		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
33		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
34	1, 31, 32, 4, 5, 33, 2, 12	dvheveccl 39126	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
35	34	eldifad 3899	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
36	35	snssd 4742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → {𝐸} ⊆ 𝑉)
37	1, 4, 5, 3	dochssv 39369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {𝐸} ⊆ 𝑉) → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
38	12, 36, 37	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
39	38	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵)) → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
40		simplrl 774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵)) → 𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
41	39, 40	sseldd 3922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵)) → 𝑢 ∈ 𝑉)
42		simprl 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵)) → 𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
43	39, 42	sseldd 3922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵)) → 𝑣 ∈ 𝑉)
44	1, 4, 5, 8, 9, 30, 19, 41, 43	hdmapipcl 39919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵)) → ((𝑆‘𝑣)‘𝑢) ∈ 𝐵)
45	1, 4, 8, 9, 17, 18, 19, 29, 44	hgmapadd 39908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵)) → (𝐺‘((𝑘 × (𝐺‘𝑙)) ✚ ((𝑆‘𝑣)‘𝑢))) = ((𝐺‘(𝑘 × (𝐺‘𝑙))) ✚ (𝐺‘((𝑆‘𝑣)‘𝑢))))
46	1, 4, 8, 9, 27, 18, 19, 24, 26	hgmapmul 39909	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵)) → (𝐺‘(𝑘 × (𝐺‘𝑙))) = ((𝐺‘(𝐺‘𝑙)) × (𝐺‘𝑘)))
47	1, 4, 8, 9, 18, 19, 25	hgmapvv 39940	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵)) → (𝐺‘(𝐺‘𝑙)) = 𝑙)
48	47	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵)) → ((𝐺‘(𝐺‘𝑙)) × (𝐺‘𝑘)) = (𝑙 × (𝐺‘𝑘)))
49	46, 48	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵)) → (𝐺‘(𝑘 × (𝐺‘𝑙))) = (𝑙 × (𝐺‘𝑘)))
50		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-g‘𝑈) = (-g‘𝑈)
51		hdmapglem7.z	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
52	1, 2, 3, 4, 5, 6, 50, 7, 8, 9, 27, 51, 30, 18, 19, 40, 42, 24, 24	hdmapglem5 39936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵)) → (𝐺‘((𝑆‘𝑣)‘𝑢)) = ((𝑆‘𝑢)‘𝑣))
53	49, 52	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵)) → ((𝐺‘(𝑘 × (𝐺‘𝑙))) ✚ (𝐺‘((𝑆‘𝑣)‘𝑢))) = ((𝑙 × (𝐺‘𝑘)) ✚ ((𝑆‘𝑢)‘𝑣)))
54	45, 53	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵)) → (𝐺‘((𝑘 × (𝐺‘𝑙)) ✚ ((𝑆‘𝑣)‘𝑢))) = ((𝑙 × (𝐺‘𝑘)) ✚ ((𝑆‘𝑢)‘𝑣)))
55	13	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
56	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 19, 55, 27, 51, 17, 30, 18, 42, 40, 25, 24	hdmapglem7b 39942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵)) → ((𝑆‘((𝑙 · 𝐸) + 𝑣))‘((𝑘 · 𝐸) + 𝑢)) = ((𝑘 × (𝐺‘𝑙)) ✚ ((𝑆‘𝑣)‘𝑢)))
57	56	fveq2d 6778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵)) → (𝐺‘((𝑆‘((𝑙 · 𝐸) + 𝑣))‘((𝑘 · 𝐸) + 𝑢))) = (𝐺‘((𝑘 × (𝐺‘𝑙)) ✚ ((𝑆‘𝑣)‘𝑢))))
58	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 19, 55, 27, 51, 17, 30, 18, 40, 42, 24, 25	hdmapglem7b 39942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵)) → ((𝑆‘((𝑘 · 𝐸) + 𝑢))‘((𝑙 · 𝐸) + 𝑣)) = ((𝑙 × (𝐺‘𝑘)) ✚ ((𝑆‘𝑢)‘𝑣)))
59	54, 57, 58	3eqtr4d 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵)) → (𝐺‘((𝑆‘((𝑙 · 𝐸) + 𝑣))‘((𝑘 · 𝐸) + 𝑢))) = ((𝑆‘((𝑘 · 𝐸) + 𝑢))‘((𝑙 · 𝐸) + 𝑣)))
60	59	3adantl3 1167	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 = ((𝑘 · 𝐸) + 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵)) → (𝐺‘((𝑆‘((𝑙 · 𝐸) + 𝑣))‘((𝑘 · 𝐸) + 𝑢))) = ((𝑆‘((𝑘 · 𝐸) + 𝑢))‘((𝑙 · 𝐸) + 𝑣)))
61	60	3adant3 1131	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 = ((𝑘 · 𝐸) + 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 = ((𝑙 · 𝐸) + 𝑣)) → (𝐺‘((𝑆‘((𝑙 · 𝐸) + 𝑣))‘((𝑘 · 𝐸) + 𝑢))) = ((𝑆‘((𝑘 · 𝐸) + 𝑢))‘((𝑙 · 𝐸) + 𝑣)))
62		simp3 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 = ((𝑘 · 𝐸) + 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 = ((𝑙 · 𝐸) + 𝑣)) → 𝑌 = ((𝑙 · 𝐸) + 𝑣))
63	62	fveq2d 6778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 = ((𝑘 · 𝐸) + 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 = ((𝑙 · 𝐸) + 𝑣)) → (𝑆‘𝑌) = (𝑆‘((𝑙 · 𝐸) + 𝑣)))
64		simp13 1204	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 = ((𝑘 · 𝐸) + 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 = ((𝑙 · 𝐸) + 𝑣)) → 𝑋 = ((𝑘 · 𝐸) + 𝑢))
65	63, 64	fveq12d 6781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 = ((𝑘 · 𝐸) + 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 = ((𝑙 · 𝐸) + 𝑣)) → ((𝑆‘𝑌)‘𝑋) = ((𝑆‘((𝑙 · 𝐸) + 𝑣))‘((𝑘 · 𝐸) + 𝑢)))
66	65	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 = ((𝑘 · 𝐸) + 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 = ((𝑙 · 𝐸) + 𝑣)) → (𝐺‘((𝑆‘𝑌)‘𝑋)) = (𝐺‘((𝑆‘((𝑙 · 𝐸) + 𝑣))‘((𝑘 · 𝐸) + 𝑢))))
67	64	fveq2d 6778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 = ((𝑘 · 𝐸) + 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 = ((𝑙 · 𝐸) + 𝑣)) → (𝑆‘𝑋) = (𝑆‘((𝑘 · 𝐸) + 𝑢)))
68	67, 62	fveq12d 6781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 = ((𝑘 · 𝐸) + 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 = ((𝑙 · 𝐸) + 𝑣)) → ((𝑆‘𝑋)‘𝑌) = ((𝑆‘((𝑘 · 𝐸) + 𝑢))‘((𝑙 · 𝐸) + 𝑣)))
69	61, 66, 68	3eqtr4d 2788	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 = ((𝑘 · 𝐸) + 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 = ((𝑙 · 𝐸) + 𝑣)) → (𝐺‘((𝑆‘𝑌)‘𝑋)) = ((𝑆‘𝑋)‘𝑌))
70	69	3exp 1118	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 = ((𝑘 · 𝐸) + 𝑢)) → ((𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵) → (𝑌 = ((𝑙 · 𝐸) + 𝑣) → (𝐺‘((𝑆‘𝑌)‘𝑋)) = ((𝑆‘𝑋)‘𝑌))))
71	70	rexlimdvv 3222	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 = ((𝑘 · 𝐸) + 𝑢)) → (∃𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸})∃𝑙 ∈ 𝐵 𝑌 = ((𝑙 · 𝐸) + 𝑣) → (𝐺‘((𝑆‘𝑌)‘𝑋)) = ((𝑆‘𝑋)‘𝑌)))
72	71	3exp 1118	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑋 = ((𝑘 · 𝐸) + 𝑢) → (∃𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸})∃𝑙 ∈ 𝐵 𝑌 = ((𝑙 · 𝐸) + 𝑣) → (𝐺‘((𝑆‘𝑌)‘𝑋)) = ((𝑆‘𝑋)‘𝑌)))))
73	72	rexlimdvv 3222	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸})∃𝑘 ∈ 𝐵 𝑋 = ((𝑘 · 𝐸) + 𝑢) → (∃𝑣 ∈ (𝑂‘{𝐸})∃𝑙 ∈ 𝐵 𝑌 = ((𝑙 · 𝐸) + 𝑣) → (𝐺‘((𝑆‘𝑌)‘𝑋)) = ((𝑆‘𝑋)‘𝑌))))
74	14, 16, 73	mp2d 49	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘((𝑆‘𝑌)‘𝑋)) = ((𝑆‘𝑋)‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887  {csn 4561  ⟨cop 4567   I cid 5488   ↾ cres 5591  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  ._rcmulr 16963  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  0_gc0g 17150  -_gcsg 18579  LSSumclsm 19239  Ringcrg 19783  LModclmod 20123  LSpanclspn 20233  HLchlt 37364  LHypclh 37998  LTrncltrn 38115  DVecHcdvh 39092  ocHcoch 39361  HDMapchdma 39806  HGMapchg 39897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-riotaBAD 36967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-undef 8089  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-0g 17152  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-oppg 18950  df-lsm 19241  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-drng 19993  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lvec 20365  df-lsatoms 36990  df-lshyp 36991  df-lcv 37033  df-lfl 37072  df-lkr 37100  df-ldual 37138  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173  df-tgrp 38757  df-tendo 38769  df-edring 38771  df-dveca 39017  df-disoa 39043  df-dvech 39093  df-dib 39153  df-dic 39187  df-dih 39243  df-doch 39362  df-djh 39409  df-lcdual 39601  df-mapd 39639  df-hvmap 39771  df-hdmap1 39807  df-hdmap 39808  df-hgmap 39898

This theorem is referenced by:  hdmapg  39944