Theorem hdmapglem5 41306

Description: Part 1.2 in [Baer] p. 110 line 34, f(u,v) alpha = f(v,u). (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapglem5.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapglem5.e	⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapglem5.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapglem5.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
hdmapglem5.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
hdmapglem5.q	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmapglem5.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapglem5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmapglem5.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
hdmapglem5.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
hdmapglem5.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapglem5.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
hdmapglem5.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
hdmapglem5.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
hdmapglem5.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hdmapglem5	⊢ (𝜑 → (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶)) = ((𝑆‘𝐶)‘𝐷))

Proof of Theorem hdmapglem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapglem5.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmapglem5.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmapglem5.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlmod 40494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5		hdmapglem5.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
6	5	lmodring 20714	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
7	4, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		hdmapglem5.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		hdmapglem5.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
10		hdmapglem5.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
11		hdmapglem5.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
12		eqid 2726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
13		eqid 2726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
15		hdmapglem5.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
16	1, 12, 13, 2, 10, 14, 15, 3	dvheveccl 40496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
17	16	eldifad 3955	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
18	17	snssd 4807	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐸} ⊆ 𝑉)
19		hdmapglem5.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
20	1, 2, 10, 19	dochssv 40739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {𝐸} ⊆ 𝑉) → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
21	3, 18, 20	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
22		hdmapglem5.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
23	21, 22	sseldd 3978	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
24		hdmapglem5.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
25	21, 24	sseldd 3978	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
26	1, 2, 10, 5, 8, 11, 3, 23, 25	hdmapipcl 41289	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐷)‘𝐶) ∈ 𝐵)
27	1, 2, 5, 8, 9, 3, 26	hgmapcl 41273	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶)) ∈ 𝐵)
28		hdmapglem5.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
29		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
30	8, 28, 29	ringlidm 20168	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶)) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) × (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶))) = (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶)))
31	7, 27, 30	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) × (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶))) = (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶)))
32		hdmapglem5.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑈)
33		hdmapglem5.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑈)
34		hdmapglem5.q	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
35		hdmapglem5.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
36	8, 29	ringidcl 20165	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
37	7, 36	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
38	1, 2, 5, 29, 9, 3	hgmapval1 41277	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
39	38	oveq2d 7421	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐷)‘𝐶) × (𝐺‘(1r‘𝑅))) = (((𝑆‘𝐷)‘𝐶) × (1r‘𝑅)))
40	8, 28, 29	ringridm 20169	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑆‘𝐷)‘𝐶) ∈ 𝐵) → (((𝑆‘𝐷)‘𝐶) × (1r‘𝑅)) = ((𝑆‘𝐷)‘𝐶))
41	7, 26, 40	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐷)‘𝐶) × (1r‘𝑅)) = ((𝑆‘𝐷)‘𝐶))
42	39, 41	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐷)‘𝐶) × (𝐺‘(1r‘𝑅))) = ((𝑆‘𝐷)‘𝐶))
43	1, 15, 19, 2, 10, 32, 33, 34, 5, 8, 28, 35, 11, 9, 3, 22, 24, 26, 37, 42	hdmapinvlem4 41305	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) × (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶))) = ((𝑆‘𝐶)‘𝐷))
44	31, 43	eqtr3d 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶)) = ((𝑆‘𝐶)‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3943  {csn 4623  ⟨cop 4629   I cid 5566   ↾ cres 5671  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +_gcplusg 17206  ._rcmulr 17207  Scalarcsca 17209   ·_𝑠 cvsca 17210  0_gc0g 17394  -_gcsg 18865  1_rcur 20086  Ringcrg 20138  LModclmod 20706  HLchlt 38733  LHypclh 39368  LTrncltrn 39485  DVecHcdvh 40462  ocHcoch 40731  HDMapchdma 41176  HGMapchg 41267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38336

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-undef 8259  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-0g 17396  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-oppg 19262  df-lsm 19556  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951  df-lsatoms 38359  df-lshyp 38360  df-lcv 38402  df-lfl 38441  df-lkr 38469  df-ldual 38507  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543  df-tgrp 40127  df-tendo 40139  df-edring 40141  df-dveca 40387  df-disoa 40413  df-dvech 40463  df-dib 40523  df-dic 40557  df-dih 40613  df-doch 40732  df-djh 40779  df-lcdual 40971  df-mapd 41009  df-hvmap 41141  df-hdmap1 41177  df-hdmap 41178  df-hgmap 41268

This theorem is referenced by:  hgmapvvlem1  41307  hdmapglem7  41313