Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapglem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmapglem5 40388
Description: Part 1.2 in [Baer] p. 110 line 34, f(u,v) alpha = f(v,u). (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapglem5.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hdmapglem5.e 𝐸 = ⟨( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)), ( I β†Ύ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))⟩
hdmapglem5.o 𝑂 = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapglem5.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapglem5.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
hdmapglem5.p + = (+gβ€˜π‘ˆ)
hdmapglem5.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
hdmapglem5.q Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
hdmapglem5.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
hdmapglem5.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
hdmapglem5.t Γ— = (.rβ€˜π‘…)
hdmapglem5.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
hdmapglem5.s 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapglem5.g 𝐺 = ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapglem5.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hdmapglem5.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}))
hdmapglem5.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}))
hdmapglem5.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐡)
hdmapglem5.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
hdmapglem5 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜((π‘†β€˜π·)β€˜πΆ)) = ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π·))

Proof of Theorem hdmapglem5
StepHypRef Expression
1 hdmapglem5.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 hdmapglem5.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 hdmapglem5.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
41, 2, 3dvhlmod 39576 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
5 hdmapglem5.r . . . . 5 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
65lmodring 20333 . . . 4 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Ring)
74, 6syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
8 hdmapglem5.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
9 hdmapglem5.g . . . 4 𝐺 = ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 hdmapglem5.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
11 hdmapglem5.s . . . . 5 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
12 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
13 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
15 hdmapglem5.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = ⟨( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)), ( I β†Ύ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))⟩
161, 12, 13, 2, 10, 14, 15, 3dvheveccl 39578 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘ˆ)}))
1716eldifad 3923 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑉)
1817snssd 4770 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {𝐸} βŠ† 𝑉)
19 hdmapglem5.o . . . . . . . 8 𝑂 = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
201, 2, 10, 19dochssv 39821 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ {𝐸} βŠ† 𝑉) β†’ (π‘‚β€˜{𝐸}) βŠ† 𝑉)
213, 18, 20syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜{𝐸}) βŠ† 𝑉)
22 hdmapglem5.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}))
2321, 22sseldd 3946 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
24 hdmapglem5.d . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (π‘‚β€˜{𝐸}))
2521, 24sseldd 3946 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
261, 2, 10, 5, 8, 11, 3, 23, 25hdmapipcl 40371 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜π·)β€˜πΆ) ∈ 𝐡)
271, 2, 5, 8, 9, 3, 26hgmapcl 40355 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜((π‘†β€˜π·)β€˜πΆ)) ∈ 𝐡)
28 hdmapglem5.t . . . 4 Γ— = (.rβ€˜π‘…)
29 eqid 2737 . . . 4 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
308, 28, 29ringlidm 19993 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (πΊβ€˜((π‘†β€˜π·)β€˜πΆ)) ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…) Γ— (πΊβ€˜((π‘†β€˜π·)β€˜πΆ))) = (πΊβ€˜((π‘†β€˜π·)β€˜πΆ)))
317, 27, 30syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜π‘…) Γ— (πΊβ€˜((π‘†β€˜π·)β€˜πΆ))) = (πΊβ€˜((π‘†β€˜π·)β€˜πΆ)))
32 hdmapglem5.p . . 3 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
33 hdmapglem5.m . . 3 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
34 hdmapglem5.q . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
35 hdmapglem5.z . . 3 0 = (0gβ€˜π‘…)
368, 29ringidcl 19990 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
377, 36syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
381, 2, 5, 29, 9, 3hgmapval1 40359 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…))
3938oveq2d 7374 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘†β€˜π·)β€˜πΆ) Γ— (πΊβ€˜(1rβ€˜π‘…))) = (((π‘†β€˜π·)β€˜πΆ) Γ— (1rβ€˜π‘…)))
408, 28, 29ringridm 19994 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((π‘†β€˜π·)β€˜πΆ) ∈ 𝐡) β†’ (((π‘†β€˜π·)β€˜πΆ) Γ— (1rβ€˜π‘…)) = ((π‘†β€˜π·)β€˜πΆ))
417, 26, 40syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘†β€˜π·)β€˜πΆ) Γ— (1rβ€˜π‘…)) = ((π‘†β€˜π·)β€˜πΆ))
4239, 41eqtrd 2777 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘†β€˜π·)β€˜πΆ) Γ— (πΊβ€˜(1rβ€˜π‘…))) = ((π‘†β€˜π·)β€˜πΆ))
431, 15, 19, 2, 10, 32, 33, 34, 5, 8, 28, 35, 11, 9, 3, 22, 24, 26, 37, 42hdmapinvlem4 40387 . 2 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜π‘…) Γ— (πΊβ€˜((π‘†β€˜π·)β€˜πΆ))) = ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π·))
4431, 43eqtr3d 2779 1 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜((π‘†β€˜π·)β€˜πΆ)) = ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π·))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3911  {csn 4587  βŸ¨cop 4593   I cid 5531   β†Ύ cres 5636  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  +gcplusg 17134  .rcmulr 17135  Scalarcsca 17137   ·𝑠 cvsca 17138  0gc0g 17322  -gcsg 18751  1rcur 19914  Ringcrg 19965  LModclmod 20325  HLchlt 37815  LHypclh 38450  LTrncltrn 38567  DVecHcdvh 39544  ocHcoch 39813  HDMapchdma 40258  HGMapchg 40349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-riotaBAD 37418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-undef 8205  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-0g 17324  df-mre 17467  df-mrc 17468  df-acs 17470  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-p1 18316  df-lat 18322  df-clat 18389  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-submnd 18603  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-sbg 18754  df-subg 18926  df-cntz 19098  df-oppg 19125  df-lsm 19419  df-cmn 19565  df-abl 19566  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-ring 19967  df-oppr 20050  df-dvdsr 20071  df-unit 20072  df-invr 20102  df-dvr 20113  df-drng 20188  df-lmod 20327  df-lss 20396  df-lsp 20436  df-lvec 20567  df-lsatoms 37441  df-lshyp 37442  df-lcv 37484  df-lfl 37523  df-lkr 37551  df-ldual 37589  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-llines 37964  df-lplanes 37965  df-lvols 37966  df-lines 37967  df-psubsp 37969  df-pmap 37970  df-padd 38262  df-lhyp 38454  df-laut 38455  df-ldil 38570  df-ltrn 38571  df-trl 38625  df-tgrp 39209  df-tendo 39221  df-edring 39223  df-dveca 39469  df-disoa 39495  df-dvech 39545  df-dib 39605  df-dic 39639  df-dih 39695  df-doch 39814  df-djh 39861  df-lcdual 40053  df-mapd 40091  df-hvmap 40223  df-hdmap1 40259  df-hdmap 40260  df-hgmap 40350
This theorem is referenced by:  hgmapvvlem1  40389  hdmapglem7  40395
  Copyright terms: Public domain W3C validator