Theorem hdmapglem5 42581

Description: Part 1.2 in [Baer] p. 110 line 34, f(u,v) alpha = f(v,u). (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapglem5.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapglem5.e	⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapglem5.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapglem5.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
hdmapglem5.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
hdmapglem5.q	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmapglem5.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapglem5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmapglem5.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
hdmapglem5.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
hdmapglem5.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapglem5.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
hdmapglem5.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
hdmapglem5.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
hdmapglem5.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hdmapglem5	⊢ (𝜑 → (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶)) = ((𝑆‘𝐶)‘𝐷))

Proof of Theorem hdmapglem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapglem5.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmapglem5.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmapglem5.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlmod 41769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5		hdmapglem5.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
6	5	lmodring 20963	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
7	4, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		hdmapglem5.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		hdmapglem5.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
10		hdmapglem5.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
11		hdmapglem5.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
12		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
13		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
15		hdmapglem5.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
16	1, 12, 13, 2, 10, 14, 15, 3	dvheveccl 41771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
17	16	eldifad 3925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
18	17	snssd 4754	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐸} ⊆ 𝑉)
19		hdmapglem5.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
20	1, 2, 10, 19	dochssv 42014	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {𝐸} ⊆ 𝑉) → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
21	3, 18, 20	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
22		hdmapglem5.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
23	21, 22	sseldd 3946	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
24		hdmapglem5.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
25	21, 24	sseldd 3946	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
26	1, 2, 10, 5, 8, 11, 3, 23, 25	hdmapipcl 42564	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐷)‘𝐶) ∈ 𝐵)
27	1, 2, 5, 8, 9, 3, 26	hgmapcl 42548	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶)) ∈ 𝐵)
28		hdmapglem5.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
29		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
30	8, 28, 29	ringlidm 20348	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶)) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) × (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶))) = (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶)))
31	7, 27, 30	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) × (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶))) = (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶)))
32		hdmapglem5.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑈)
33		hdmapglem5.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑈)
34		hdmapglem5.q	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
35		hdmapglem5.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
36	8, 29	ringidcl 20344	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
37	7, 36	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
38	1, 2, 5, 29, 9, 3	hgmapval1 42552	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
39	38	oveq2d 7424	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐷)‘𝐶) × (𝐺‘(1r‘𝑅))) = (((𝑆‘𝐷)‘𝐶) × (1r‘𝑅)))
40	8, 28, 29	ringridm 20349	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑆‘𝐷)‘𝐶) ∈ 𝐵) → (((𝑆‘𝐷)‘𝐶) × (1r‘𝑅)) = ((𝑆‘𝐷)‘𝐶))
41	7, 26, 40	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐷)‘𝐶) × (1r‘𝑅)) = ((𝑆‘𝐷)‘𝐶))
42	39, 41	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐷)‘𝐶) × (𝐺‘(1r‘𝑅))) = ((𝑆‘𝐷)‘𝐶))
43	1, 15, 19, 2, 10, 32, 33, 34, 5, 8, 28, 35, 11, 9, 3, 22, 24, 26, 37, 42	hdmapinvlem4 42580	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) × (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶))) = ((𝑆‘𝐶)‘𝐷))
44	31, 43	eqtr3d 2806	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶)) = ((𝑆‘𝐶)‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  {csn 4591  ⟨cop 4597   I cid 5553   ↾ cres 5661  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306  ._rcmulr 17307  Scalarcsca 17309   ·_𝑠 cvsca 17310  0_gc0g 17488  -_gcsg 18998  1_rcur 20259  Ringcrg 20311  LModclmod 20955  HLchlt 40009  LHypclh 40643  LTrncltrn 40760  DVecHcdvh 41737  ocHcoch 42006  HDMapchdma 42451  HGMapchg 42542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-riotaBAD 39612

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-undef 8265  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-0g 17490  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-proset 18346  df-poset 18365  df-plt 18380  df-lub 18396  df-glb 18397  df-join 18398  df-meet 18399  df-p0 18475  df-p1 18476  df-lat 18484  df-clat 18551  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-subg 19185  df-cntz 19383  df-oppg 19412  df-lsm 19702  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-nzr 20592  df-rlreg 20775  df-domn 20776  df-drng 20811  df-lmod 20957  df-lss 21027  df-lsp 21067  df-lvec 21198  df-lsatoms 39635  df-lshyp 39636  df-lcv 39678  df-lfl 39717  df-lkr 39745  df-ldual 39783  df-oposet 39835  df-ol 39837  df-oml 39838  df-covers 39925  df-ats 39926  df-atl 39957  df-cvlat 39981  df-hlat 40010  df-llines 40157  df-lplanes 40158  df-lvols 40159  df-lines 40160  df-psubsp 40162  df-pmap 40163  df-padd 40455  df-lhyp 40647  df-laut 40648  df-ldil 40763  df-ltrn 40764  df-trl 40818  df-tgrp 41402  df-tendo 41414  df-edring 41416  df-dveca 41662  df-disoa 41688  df-dvech 41738  df-dib 41798  df-dic 41832  df-dih 41888  df-doch 42007  df-djh 42054  df-lcdual 42246  df-mapd 42284  df-hvmap 42416  df-hdmap1 42452  df-hdmap 42453  df-hgmap 42543

This theorem is referenced by:  hgmapvvlem1  42582  hdmapglem7  42588