Theorem hdmapglem5 40781

Description: Part 1.2 in [Baer] p. 110 line 34, f(u,v) alpha = f(v,u). (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapglem5.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapglem5.e	⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapglem5.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapglem5.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
hdmapglem5.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
hdmapglem5.q	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmapglem5.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapglem5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmapglem5.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
hdmapglem5.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
hdmapglem5.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapglem5.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
hdmapglem5.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
hdmapglem5.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
hdmapglem5.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hdmapglem5	⊢ (𝜑 → (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶)) = ((𝑆‘𝐶)‘𝐷))

Proof of Theorem hdmapglem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapglem5.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmapglem5.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmapglem5.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlmod 39969	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5		hdmapglem5.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
6	5	lmodring 20471	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
7	4, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		hdmapglem5.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		hdmapglem5.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
10		hdmapglem5.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
11		hdmapglem5.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
12		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
13		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
15		hdmapglem5.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
16	1, 12, 13, 2, 10, 14, 15, 3	dvheveccl 39971	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
17	16	eldifad 3959	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
18	17	snssd 4811	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐸} ⊆ 𝑉)
19		hdmapglem5.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
20	1, 2, 10, 19	dochssv 40214	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {𝐸} ⊆ 𝑉) → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
21	3, 18, 20	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
22		hdmapglem5.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
23	21, 22	sseldd 3982	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
24		hdmapglem5.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
25	21, 24	sseldd 3982	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
26	1, 2, 10, 5, 8, 11, 3, 23, 25	hdmapipcl 40764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐷)‘𝐶) ∈ 𝐵)
27	1, 2, 5, 8, 9, 3, 26	hgmapcl 40748	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶)) ∈ 𝐵)
28		hdmapglem5.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
29		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
30	8, 28, 29	ringlidm 20079	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶)) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) × (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶))) = (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶)))
31	7, 27, 30	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) × (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶))) = (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶)))
32		hdmapglem5.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑈)
33		hdmapglem5.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑈)
34		hdmapglem5.q	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
35		hdmapglem5.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
36	8, 29	ringidcl 20076	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
37	7, 36	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
38	1, 2, 5, 29, 9, 3	hgmapval1 40752	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
39	38	oveq2d 7421	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐷)‘𝐶) × (𝐺‘(1r‘𝑅))) = (((𝑆‘𝐷)‘𝐶) × (1r‘𝑅)))
40	8, 28, 29	ringridm 20080	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑆‘𝐷)‘𝐶) ∈ 𝐵) → (((𝑆‘𝐷)‘𝐶) × (1r‘𝑅)) = ((𝑆‘𝐷)‘𝐶))
41	7, 26, 40	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐷)‘𝐶) × (1r‘𝑅)) = ((𝑆‘𝐷)‘𝐶))
42	39, 41	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐷)‘𝐶) × (𝐺‘(1r‘𝑅))) = ((𝑆‘𝐷)‘𝐶))
43	1, 15, 19, 2, 10, 32, 33, 34, 5, 8, 28, 35, 11, 9, 3, 22, 24, 26, 37, 42	hdmapinvlem4 40780	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) × (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶))) = ((𝑆‘𝐶)‘𝐷))
44	31, 43	eqtr3d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶)) = ((𝑆‘𝐶)‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3947  {csn 4627  ⟨cop 4633   I cid 5572   ↾ cres 5677  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  ._rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·_𝑠 cvsca 17197  0_gc0g 17381  -_gcsg 18817  1_rcur 19998  Ringcrg 20049  LModclmod 20463  HLchlt 38208  LHypclh 38843  LTrncltrn 38960  DVecHcdvh 39937  ocHcoch 40206  HDMapchdma 40651  HGMapchg 40742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 37811

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-oppg 19204  df-lsm 19498  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-drng 20309  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lvec 20706  df-lsatoms 37834  df-lshyp 37835  df-lcv 37877  df-lfl 37916  df-lkr 37944  df-ldual 37982  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-lplanes 38358  df-lvols 38359  df-lines 38360  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-padd 38655  df-lhyp 38847  df-laut 38848  df-ldil 38963  df-ltrn 38964  df-trl 39018  df-tgrp 39602  df-tendo 39614  df-edring 39616  df-dveca 39862  df-disoa 39888  df-dvech 39938  df-dib 39998  df-dic 40032  df-dih 40088  df-doch 40207  df-djh 40254  df-lcdual 40446  df-mapd 40484  df-hvmap 40616  df-hdmap1 40652  df-hdmap 40653  df-hgmap 40743

This theorem is referenced by:  hgmapvvlem1  40782  hdmapglem7  40788