Theorem hdmapglem5 42677

Description: Part 1.2 in [Baer] p. 110 line 34, f(u,v) alpha = f(v,u). (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapglem5.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapglem5.e	⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapglem5.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapglem5.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
hdmapglem5.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
hdmapglem5.q	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmapglem5.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapglem5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmapglem5.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
hdmapglem5.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
hdmapglem5.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapglem5.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
hdmapglem5.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
hdmapglem5.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
hdmapglem5.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hdmapglem5	⊢ (𝜑 → (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶)) = ((𝑆‘𝐶)‘𝐷))

Proof of Theorem hdmapglem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapglem5.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmapglem5.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmapglem5.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlmod 41865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5		hdmapglem5.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
6	5	lmodring 20970	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
7	4, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		hdmapglem5.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		hdmapglem5.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
10		hdmapglem5.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
11		hdmapglem5.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
12		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
13		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
15		hdmapglem5.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
16	1, 12, 13, 2, 10, 14, 15, 3	dvheveccl 41867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
17	16	eldifad 3918	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
18	17	snssd 4753	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐸} ⊆ 𝑉)
19		hdmapglem5.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
20	1, 2, 10, 19	dochssv 42110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {𝐸} ⊆ 𝑉) → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
21	3, 18, 20	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
22		hdmapglem5.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
23	21, 22	sseldd 3939	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
24		hdmapglem5.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
25	21, 24	sseldd 3939	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
26	1, 2, 10, 5, 8, 11, 3, 23, 25	hdmapipcl 42660	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐷)‘𝐶) ∈ 𝐵)
27	1, 2, 5, 8, 9, 3, 26	hgmapcl 42644	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶)) ∈ 𝐵)
28		hdmapglem5.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
29		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
30	8, 28, 29	ringlidm 20353	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶)) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) × (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶))) = (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶)))
31	7, 27, 30	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) × (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶))) = (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶)))
32		hdmapglem5.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑈)
33		hdmapglem5.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑈)
34		hdmapglem5.q	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
35		hdmapglem5.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
36	8, 29	ringidcl 20349	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
37	7, 36	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
38	1, 2, 5, 29, 9, 3	hgmapval1 42648	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
39	38	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐷)‘𝐶) × (𝐺‘(1r‘𝑅))) = (((𝑆‘𝐷)‘𝐶) × (1r‘𝑅)))
40	8, 28, 29	ringridm 20354	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑆‘𝐷)‘𝐶) ∈ 𝐵) → (((𝑆‘𝐷)‘𝐶) × (1r‘𝑅)) = ((𝑆‘𝐷)‘𝐶))
41	7, 26, 40	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐷)‘𝐶) × (1r‘𝑅)) = ((𝑆‘𝐷)‘𝐶))
42	39, 41	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐷)‘𝐶) × (𝐺‘(1r‘𝑅))) = ((𝑆‘𝐷)‘𝐶))
43	1, 15, 19, 2, 10, 32, 33, 34, 5, 8, 28, 35, 11, 9, 3, 22, 24, 26, 37, 42	hdmapinvlem4 42676	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) × (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶))) = ((𝑆‘𝐶)‘𝐷))
44	31, 43	eqtr3d 2800	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶)) = ((𝑆‘𝐶)‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3906  {csn 4590  ⟨cop 4596   I cid 5557   ↾ cres 5665  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  +_gcplusg 17311  ._rcmulr 17312  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  0_gc0g 17493  -_gcsg 19003  1_rcur 20264  Ringcrg 20316  LModclmod 20962  HLchlt 40105  LHypclh 40739  LTrncltrn 40856  DVecHcdvh 41833  ocHcoch 42102  HDMapchdma 42547  HGMapchg 42638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-riotaBAD 39708

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8223  df-undef 8270  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-0g 17495  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18385  df-lub 18401  df-glb 18402  df-join 18403  df-meet 18404  df-p0 18480  df-p1 18481  df-lat 18489  df-clat 18556  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-subg 19190  df-cntz 19388  df-oppg 19417  df-lsm 19707  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-oppr 20420  df-dvdsr 20440  df-unit 20441  df-invr 20471  df-dvr 20484  df-nzr 20597  df-rlreg 20780  df-domn 20781  df-drng 20816  df-lmod 20964  df-lss 21034  df-lsp 21074  df-lvec 21205  df-lsatoms 39731  df-lshyp 39732  df-lcv 39774  df-lfl 39813  df-lkr 39841  df-ldual 39879  df-oposet 39931  df-ol 39933  df-oml 39934  df-covers 40021  df-ats 40022  df-atl 40053  df-cvlat 40077  df-hlat 40106  df-llines 40253  df-lplanes 40254  df-lvols 40255  df-lines 40256  df-psubsp 40258  df-pmap 40259  df-padd 40551  df-lhyp 40743  df-laut 40744  df-ldil 40859  df-ltrn 40860  df-trl 40914  df-tgrp 41498  df-tendo 41510  df-edring 41512  df-dveca 41758  df-disoa 41784  df-dvech 41834  df-dib 41894  df-dic 41928  df-dih 41984  df-doch 42103  df-djh 42150  df-lcdual 42342  df-mapd 42380  df-hvmap 42512  df-hdmap1 42548  df-hdmap 42549  df-hgmap 42639

This theorem is referenced by:  hgmapvvlem1  42678  hdmapglem7  42684