Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapglem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmapglem5 41905
Description: Part 1.2 in [Baer] p. 110 line 34, f(u,v) alpha = f(v,u). (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapglem5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapglem5.e 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapglem5.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapglem5.p + = (+g𝑈)
hdmapglem5.m = (-g𝑈)
hdmapglem5.q · = ( ·𝑠𝑈)
hdmapglem5.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapglem5.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmapglem5.t × = (.r𝑅)
hdmapglem5.z 0 = (0g𝑅)
hdmapglem5.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.g 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmapglem5.c (𝜑𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
hdmapglem5.d (𝜑𝐷 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
hdmapglem5.i (𝜑𝐼𝐵)
hdmapglem5.j (𝜑𝐽𝐵)
Assertion
Ref Expression
hdmapglem5 (𝜑 → (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶)) = ((𝑆𝐶)‘𝐷))

Proof of Theorem hdmapglem5
StepHypRef Expression
1 hdmapglem5.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmapglem5.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmapglem5.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3dvhlmod 41093 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
5 hdmapglem5.r . . . . 5 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
65lmodring 20883 . . . 4 (𝑈 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
74, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
8 hdmapglem5.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
9 hdmapglem5.g . . . 4 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
10 hdmapglem5.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
11 hdmapglem5.s . . . . 5 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
12 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
13 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (0g𝑈) = (0g𝑈)
15 hdmapglem5.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
161, 12, 13, 2, 10, 14, 15, 3dvheveccl 41095 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
1716eldifad 3975 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸𝑉)
1817snssd 4814 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝐸} ⊆ 𝑉)
19 hdmapglem5.o . . . . . . . 8 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
201, 2, 10, 19dochssv 41338 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {𝐸} ⊆ 𝑉) → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
213, 18, 20syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
22 hdmapglem5.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
2321, 22sseldd 3996 . . . . 5 (𝜑𝐶𝑉)
24 hdmapglem5.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
2521, 24sseldd 3996 . . . . 5 (𝜑𝐷𝑉)
261, 2, 10, 5, 8, 11, 3, 23, 25hdmapipcl 41888 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆𝐷)‘𝐶) ∈ 𝐵)
271, 2, 5, 8, 9, 3, 26hgmapcl 41872 . . 3 (𝜑 → (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶)) ∈ 𝐵)
28 hdmapglem5.t . . . 4 × = (.r𝑅)
29 eqid 2735 . . . 4 (1r𝑅) = (1r𝑅)
308, 28, 29ringlidm 20283 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶)) ∈ 𝐵) → ((1r𝑅) × (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶))) = (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶)))
317, 27, 30syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((1r𝑅) × (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶))) = (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶)))
32 hdmapglem5.p . . 3 + = (+g𝑈)
33 hdmapglem5.m . . 3 = (-g𝑈)
34 hdmapglem5.q . . 3 · = ( ·𝑠𝑈)
35 hdmapglem5.z . . 3 0 = (0g𝑅)
368, 29ringidcl 20280 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
377, 36syl 17 . . 3 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
381, 2, 5, 29, 9, 3hgmapval1 41876 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺‘(1r𝑅)) = (1r𝑅))
3938oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆𝐷)‘𝐶) × (𝐺‘(1r𝑅))) = (((𝑆𝐷)‘𝐶) × (1r𝑅)))
408, 28, 29ringridm 20284 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑆𝐷)‘𝐶) ∈ 𝐵) → (((𝑆𝐷)‘𝐶) × (1r𝑅)) = ((𝑆𝐷)‘𝐶))
417, 26, 40syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆𝐷)‘𝐶) × (1r𝑅)) = ((𝑆𝐷)‘𝐶))
4239, 41eqtrd 2775 . . 3 (𝜑 → (((𝑆𝐷)‘𝐶) × (𝐺‘(1r𝑅))) = ((𝑆𝐷)‘𝐶))
431, 15, 19, 2, 10, 32, 33, 34, 5, 8, 28, 35, 11, 9, 3, 22, 24, 26, 37, 42hdmapinvlem4 41904 . 2 (𝜑 → ((1r𝑅) × (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶))) = ((𝑆𝐶)‘𝐷))
4431, 43eqtr3d 2777 1 (𝜑 → (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶)) = ((𝑆𝐶)‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963  {csn 4631  cop 4637   I cid 5582  cres 5691  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17486  -gcsg 18966  1rcur 20199  Ringcrg 20251  LModclmod 20875  HLchlt 39332  LHypclh 39967  LTrncltrn 40084  DVecHcdvh 41061  ocHcoch 41330  HDMapchdma 41775  HGMapchg 41866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-riotaBAD 38935
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-undef 8297  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17488  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-oppg 19377  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-nzr 20530  df-rlreg 20711  df-domn 20712  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120  df-lsatoms 38958  df-lshyp 38959  df-lcv 39001  df-lfl 39040  df-lkr 39068  df-ldual 39106  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483  df-lines 39484  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142  df-tgrp 40726  df-tendo 40738  df-edring 40740  df-dveca 40986  df-disoa 41012  df-dvech 41062  df-dib 41122  df-dic 41156  df-dih 41212  df-doch 41331  df-djh 41378  df-lcdual 41570  df-mapd 41608  df-hvmap 41740  df-hdmap1 41776  df-hdmap 41777  df-hgmap 41867
This theorem is referenced by:  hgmapvvlem1  41906  hdmapglem7  41912
  Copyright terms: Public domain W3C validator