Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapglem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmapglem5 39118
Description: Part 1.2 in [Baer] p. 110 line 34, f(u,v) alpha = f(v,u). (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapglem5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapglem5.e 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapglem5.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapglem5.p + = (+g𝑈)
hdmapglem5.m = (-g𝑈)
hdmapglem5.q · = ( ·𝑠𝑈)
hdmapglem5.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapglem5.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmapglem5.t × = (.r𝑅)
hdmapglem5.z 0 = (0g𝑅)
hdmapglem5.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.g 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmapglem5.c (𝜑𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
hdmapglem5.d (𝜑𝐷 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
hdmapglem5.i (𝜑𝐼𝐵)
hdmapglem5.j (𝜑𝐽𝐵)
Assertion
Ref Expression
hdmapglem5 (𝜑 → (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶)) = ((𝑆𝐶)‘𝐷))

Proof of Theorem hdmapglem5
StepHypRef Expression
1 hdmapglem5.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmapglem5.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmapglem5.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3dvhlmod 38306 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
5 hdmapglem5.r . . . . 5 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
65lmodring 19628 . . . 4 (𝑈 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
74, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
8 hdmapglem5.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
9 hdmapglem5.g . . . 4 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
10 hdmapglem5.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
11 hdmapglem5.s . . . . 5 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
12 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
13 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (0g𝑈) = (0g𝑈)
15 hdmapglem5.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
161, 12, 13, 2, 10, 14, 15, 3dvheveccl 38308 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
1716eldifad 3930 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸𝑉)
1817snssd 4723 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝐸} ⊆ 𝑉)
19 hdmapglem5.o . . . . . . . 8 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
201, 2, 10, 19dochssv 38551 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {𝐸} ⊆ 𝑉) → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
213, 18, 20syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
22 hdmapglem5.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
2321, 22sseldd 3952 . . . . 5 (𝜑𝐶𝑉)
24 hdmapglem5.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
2521, 24sseldd 3952 . . . . 5 (𝜑𝐷𝑉)
261, 2, 10, 5, 8, 11, 3, 23, 25hdmapipcl 39101 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆𝐷)‘𝐶) ∈ 𝐵)
271, 2, 5, 8, 9, 3, 26hgmapcl 39085 . . 3 (𝜑 → (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶)) ∈ 𝐵)
28 hdmapglem5.t . . . 4 × = (.r𝑅)
29 eqid 2824 . . . 4 (1r𝑅) = (1r𝑅)
308, 28, 29ringlidm 19310 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶)) ∈ 𝐵) → ((1r𝑅) × (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶))) = (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶)))
317, 27, 30syl2anc 587 . 2 (𝜑 → ((1r𝑅) × (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶))) = (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶)))
32 hdmapglem5.p . . 3 + = (+g𝑈)
33 hdmapglem5.m . . 3 = (-g𝑈)
34 hdmapglem5.q . . 3 · = ( ·𝑠𝑈)
35 hdmapglem5.z . . 3 0 = (0g𝑅)
368, 29ringidcl 19307 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
377, 36syl 17 . . 3 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
381, 2, 5, 29, 9, 3hgmapval1 39089 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺‘(1r𝑅)) = (1r𝑅))
3938oveq2d 7154 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆𝐷)‘𝐶) × (𝐺‘(1r𝑅))) = (((𝑆𝐷)‘𝐶) × (1r𝑅)))
408, 28, 29ringridm 19311 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑆𝐷)‘𝐶) ∈ 𝐵) → (((𝑆𝐷)‘𝐶) × (1r𝑅)) = ((𝑆𝐷)‘𝐶))
417, 26, 40syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆𝐷)‘𝐶) × (1r𝑅)) = ((𝑆𝐷)‘𝐶))
4239, 41eqtrd 2859 . . 3 (𝜑 → (((𝑆𝐷)‘𝐶) × (𝐺‘(1r𝑅))) = ((𝑆𝐷)‘𝐶))
431, 15, 19, 2, 10, 32, 33, 34, 5, 8, 28, 35, 11, 9, 3, 22, 24, 26, 37, 42hdmapinvlem4 39117 . 2 (𝜑 → ((1r𝑅) × (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶))) = ((𝑆𝐶)‘𝐷))
4431, 43eqtr3d 2861 1 (𝜑 → (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶)) = ((𝑆𝐶)‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wss 3918  {csn 4548  cop 4554   I cid 5440  cres 5538  cfv 6336  (class class class)co 7138  Basecbs 16472  +gcplusg 16554  .rcmulr 16555  Scalarcsca 16557   ·𝑠 cvsca 16558  0gc0g 16702  -gcsg 18094  1rcur 19240  Ringcrg 19286  LModclmod 19620  HLchlt 36546  LHypclh 37180  LTrncltrn 37297  DVecHcdvh 38274  ocHcoch 38543  HDMapchdma 38988  HGMapchg 39079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-riotaBAD 36149
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-ot 4557  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-iin 4903  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-of 7392  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-tpos 7875  df-undef 7922  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-fz 12884  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-sca 16570  df-vsca 16571  df-0g 16704  df-mre 16846  df-mrc 16847  df-acs 16849  df-proset 17527  df-poset 17545  df-plt 17557  df-lub 17573  df-glb 17574  df-join 17575  df-meet 17576  df-p0 17638  df-p1 17639  df-lat 17645  df-clat 17707  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17946  df-grp 18095  df-minusg 18096  df-sbg 18097  df-subg 18265  df-cntz 18436  df-oppg 18463  df-lsm 18750  df-cmn 18897  df-abl 18898  df-mgp 19229  df-ur 19241  df-ring 19288  df-oppr 19362  df-dvdsr 19380  df-unit 19381  df-invr 19411  df-dvr 19422  df-drng 19490  df-lmod 19622  df-lss 19690  df-lsp 19730  df-lvec 19861  df-lsatoms 36172  df-lshyp 36173  df-lcv 36215  df-lfl 36254  df-lkr 36282  df-ldual 36320  df-oposet 36372  df-ol 36374  df-oml 36375  df-covers 36462  df-ats 36463  df-atl 36494  df-cvlat 36518  df-hlat 36547  df-llines 36694  df-lplanes 36695  df-lvols 36696  df-lines 36697  df-psubsp 36699  df-pmap 36700  df-padd 36992  df-lhyp 37184  df-laut 37185  df-ldil 37300  df-ltrn 37301  df-trl 37355  df-tgrp 37939  df-tendo 37951  df-edring 37953  df-dveca 38199  df-disoa 38225  df-dvech 38275  df-dib 38335  df-dic 38369  df-dih 38425  df-doch 38544  df-djh 38591  df-lcdual 38783  df-mapd 38821  df-hvmap 38953  df-hdmap1 38989  df-hdmap 38990  df-hgmap 39080
This theorem is referenced by:  hgmapvvlem1  39119  hdmapglem7  39125
  Copyright terms: Public domain W3C validator