Theorem hdmapglem5 41450

Description: Part 1.2 in [Baer] p. 110 line 34, f(u,v) alpha = f(v,u). (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapglem5.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapglem5.e	⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapglem5.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapglem5.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
hdmapglem5.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
hdmapglem5.q	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmapglem5.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapglem5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmapglem5.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
hdmapglem5.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
hdmapglem5.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapglem5.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
hdmapglem5.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
hdmapglem5.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
hdmapglem5.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hdmapglem5	⊢ (𝜑 → (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶)) = ((𝑆‘𝐶)‘𝐷))

Proof of Theorem hdmapglem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapglem5.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmapglem5.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmapglem5.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlmod 40638	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5		hdmapglem5.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
6	5	lmodring 20753	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
7	4, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		hdmapglem5.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		hdmapglem5.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
10		hdmapglem5.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
11		hdmapglem5.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
12		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
13		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
15		hdmapglem5.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
16	1, 12, 13, 2, 10, 14, 15, 3	dvheveccl 40640	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
17	16	eldifad 3952	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
18	17	snssd 4808	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐸} ⊆ 𝑉)
19		hdmapglem5.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
20	1, 2, 10, 19	dochssv 40883	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {𝐸} ⊆ 𝑉) → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
21	3, 18, 20	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
22		hdmapglem5.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
23	21, 22	sseldd 3973	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
24		hdmapglem5.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
25	21, 24	sseldd 3973	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
26	1, 2, 10, 5, 8, 11, 3, 23, 25	hdmapipcl 41433	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐷)‘𝐶) ∈ 𝐵)
27	1, 2, 5, 8, 9, 3, 26	hgmapcl 41417	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶)) ∈ 𝐵)
28		hdmapglem5.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
29		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
30	8, 28, 29	ringlidm 20207	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶)) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) × (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶))) = (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶)))
31	7, 27, 30	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) × (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶))) = (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶)))
32		hdmapglem5.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑈)
33		hdmapglem5.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑈)
34		hdmapglem5.q	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
35		hdmapglem5.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
36	8, 29	ringidcl 20204	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
37	7, 36	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
38	1, 2, 5, 29, 9, 3	hgmapval1 41421	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
39	38	oveq2d 7431	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐷)‘𝐶) × (𝐺‘(1r‘𝑅))) = (((𝑆‘𝐷)‘𝐶) × (1r‘𝑅)))
40	8, 28, 29	ringridm 20208	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑆‘𝐷)‘𝐶) ∈ 𝐵) → (((𝑆‘𝐷)‘𝐶) × (1r‘𝑅)) = ((𝑆‘𝐷)‘𝐶))
41	7, 26, 40	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐷)‘𝐶) × (1r‘𝑅)) = ((𝑆‘𝐷)‘𝐶))
42	39, 41	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐷)‘𝐶) × (𝐺‘(1r‘𝑅))) = ((𝑆‘𝐷)‘𝐶))
43	1, 15, 19, 2, 10, 32, 33, 34, 5, 8, 28, 35, 11, 9, 3, 22, 24, 26, 37, 42	hdmapinvlem4 41449	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) × (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶))) = ((𝑆‘𝐶)‘𝐷))
44	31, 43	eqtr3d 2767	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘((𝑆‘𝐷)‘𝐶)) = ((𝑆‘𝐶)‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3940  {csn 4624  ⟨cop 4630   I cid 5569   ↾ cres 5674  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  +_gcplusg 17230  ._rcmulr 17231  Scalarcsca 17233   ·_𝑠 cvsca 17234  0_gc0g 17418  -_gcsg 18894  1_rcur 20123  Ringcrg 20175  LModclmod 20745  HLchlt 38877  LHypclh 39512  LTrncltrn 39629  DVecHcdvh 40606  ocHcoch 40875  HDMapchdma 41320  HGMapchg 41411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-riotaBAD 38480

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-undef 8275  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-0g 17420  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-proset 18284  df-poset 18302  df-plt 18319  df-lub 18335  df-glb 18336  df-join 18337  df-meet 18338  df-p0 18414  df-p1 18415  df-lat 18421  df-clat 18488  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-subg 19080  df-cntz 19270  df-oppg 19299  df-lsm 19593  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-dvr 20342  df-drng 20628  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lsp 20858  df-lvec 20990  df-lsatoms 38503  df-lshyp 38504  df-lcv 38546  df-lfl 38585  df-lkr 38613  df-ldual 38651  df-oposet 38703  df-ol 38705  df-oml 38706  df-covers 38793  df-ats 38794  df-atl 38825  df-cvlat 38849  df-hlat 38878  df-llines 39026  df-lplanes 39027  df-lvols 39028  df-lines 39029  df-psubsp 39031  df-pmap 39032  df-padd 39324  df-lhyp 39516  df-laut 39517  df-ldil 39632  df-ltrn 39633  df-trl 39687  df-tgrp 40271  df-tendo 40283  df-edring 40285  df-dveca 40531  df-disoa 40557  df-dvech 40607  df-dib 40667  df-dic 40701  df-dih 40757  df-doch 40876  df-djh 40923  df-lcdual 41115  df-mapd 41153  df-hvmap 41285  df-hdmap1 41321  df-hdmap 41322  df-hgmap 41412

This theorem is referenced by:  hgmapvvlem1  41451  hdmapglem7  41457