Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapglem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmapglem5 37997
 Description: Part 1.2 in [Baer] p. 110 line 34, f(u,v) alpha = f(v,u). (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapglem5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapglem5.e 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapglem5.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapglem5.p + = (+g𝑈)
hdmapglem5.m = (-g𝑈)
hdmapglem5.q · = ( ·𝑠𝑈)
hdmapglem5.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapglem5.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmapglem5.t × = (.r𝑅)
hdmapglem5.z 0 = (0g𝑅)
hdmapglem5.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.g 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmapglem5.c (𝜑𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
hdmapglem5.d (𝜑𝐷 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
hdmapglem5.i (𝜑𝐼𝐵)
hdmapglem5.j (𝜑𝐽𝐵)
Assertion
Ref Expression
hdmapglem5 (𝜑 → (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶)) = ((𝑆𝐶)‘𝐷))

Proof of Theorem hdmapglem5
StepHypRef Expression
1 hdmapglem5.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmapglem5.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmapglem5.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3dvhlmod 37185 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
5 hdmapglem5.r . . . . 5 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
65lmodring 19227 . . . 4 (𝑈 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
74, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
8 hdmapglem5.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
9 hdmapglem5.g . . . 4 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
10 hdmapglem5.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
11 hdmapglem5.s . . . . 5 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
12 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
13 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 (0g𝑈) = (0g𝑈)
15 hdmapglem5.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
161, 12, 13, 2, 10, 14, 15, 3dvheveccl 37187 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
1716eldifad 3810 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸𝑉)
1817snssd 4558 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝐸} ⊆ 𝑉)
19 hdmapglem5.o . . . . . . . 8 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
201, 2, 10, 19dochssv 37430 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {𝐸} ⊆ 𝑉) → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
213, 18, 20syl2anc 581 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
22 hdmapglem5.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
2321, 22sseldd 3828 . . . . 5 (𝜑𝐶𝑉)
24 hdmapglem5.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
2521, 24sseldd 3828 . . . . 5 (𝜑𝐷𝑉)
261, 2, 10, 5, 8, 11, 3, 23, 25hdmapipcl 37980 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆𝐷)‘𝐶) ∈ 𝐵)
271, 2, 5, 8, 9, 3, 26hgmapcl 37964 . . 3 (𝜑 → (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶)) ∈ 𝐵)
28 hdmapglem5.t . . . 4 × = (.r𝑅)
29 eqid 2825 . . . 4 (1r𝑅) = (1r𝑅)
308, 28, 29ringlidm 18925 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶)) ∈ 𝐵) → ((1r𝑅) × (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶))) = (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶)))
317, 27, 30syl2anc 581 . 2 (𝜑 → ((1r𝑅) × (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶))) = (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶)))
32 hdmapglem5.p . . 3 + = (+g𝑈)
33 hdmapglem5.m . . 3 = (-g𝑈)
34 hdmapglem5.q . . 3 · = ( ·𝑠𝑈)
35 hdmapglem5.z . . 3 0 = (0g𝑅)
368, 29ringidcl 18922 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
377, 36syl 17 . . 3 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
381, 2, 5, 29, 9, 3hgmapval1 37968 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺‘(1r𝑅)) = (1r𝑅))
3938oveq2d 6921 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆𝐷)‘𝐶) × (𝐺‘(1r𝑅))) = (((𝑆𝐷)‘𝐶) × (1r𝑅)))
408, 28, 29ringridm 18926 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑆𝐷)‘𝐶) ∈ 𝐵) → (((𝑆𝐷)‘𝐶) × (1r𝑅)) = ((𝑆𝐷)‘𝐶))
417, 26, 40syl2anc 581 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆𝐷)‘𝐶) × (1r𝑅)) = ((𝑆𝐷)‘𝐶))
4239, 41eqtrd 2861 . . 3 (𝜑 → (((𝑆𝐷)‘𝐶) × (𝐺‘(1r𝑅))) = ((𝑆𝐷)‘𝐶))
431, 15, 19, 2, 10, 32, 33, 34, 5, 8, 28, 35, 11, 9, 3, 22, 24, 26, 37, 42hdmapinvlem4 37996 . 2 (𝜑 → ((1r𝑅) × (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶))) = ((𝑆𝐶)‘𝐷))
4431, 43eqtr3d 2863 1 (𝜑 → (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶)) = ((𝑆𝐶)‘𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ⊆ wss 3798  {csn 4397  ⟨cop 4403   I cid 5249   ↾ cres 5344  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  Basecbs 16222  +gcplusg 16305  .rcmulr 16306  Scalarcsca 16308   ·𝑠 cvsca 16309  0gc0g 16453  -gcsg 17778  1rcur 18855  Ringcrg 18901  LModclmod 19219  HLchlt 35425  LHypclh 36059  LTrncltrn 36176  DVecHcdvh 37153  ocHcoch 37422  HDMapchdma 37867  HGMapchg 37958 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-riotaBAD 35028 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-ot 4406  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-tpos 7617  df-undef 7664  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-0g 16455  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-proset 17281  df-poset 17299  df-plt 17311  df-lub 17327  df-glb 17328  df-join 17329  df-meet 17330  df-p0 17392  df-p1 17393  df-lat 17399  df-clat 17461  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-submnd 17689  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-sbg 17781  df-subg 17942  df-cntz 18100  df-oppg 18126  df-lsm 18402  df-cmn 18548  df-abl 18549  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-ring 18903  df-oppr 18977  df-dvdsr 18995  df-unit 18996  df-invr 19026  df-dvr 19037  df-drng 19105  df-lmod 19221  df-lss 19289  df-lsp 19331  df-lvec 19462  df-lsatoms 35051  df-lshyp 35052  df-lcv 35094  df-lfl 35133  df-lkr 35161  df-ldual 35199  df-oposet 35251  df-ol 35253  df-oml 35254  df-covers 35341  df-ats 35342  df-atl 35373  df-cvlat 35397  df-hlat 35426  df-llines 35573  df-lplanes 35574  df-lvols 35575  df-lines 35576  df-psubsp 35578  df-pmap 35579  df-padd 35871  df-lhyp 36063  df-laut 36064  df-ldil 36179  df-ltrn 36180  df-trl 36234  df-tgrp 36818  df-tendo 36830  df-edring 36832  df-dveca 37078  df-disoa 37104  df-dvech 37154  df-dib 37214  df-dic 37248  df-dih 37304  df-doch 37423  df-djh 37470  df-lcdual 37662  df-mapd 37700  df-hvmap 37832  df-hdmap1 37868  df-hdmap 37869  df-hgmap 37959 This theorem is referenced by:  hgmapvvlem1  37998  hdmapglem7  38004
 Copyright terms: Public domain W3C validator