Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapglem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmapglem5 41924
Description: Part 1.2 in [Baer] p. 110 line 34, f(u,v) alpha = f(v,u). (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapglem5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapglem5.e 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapglem5.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapglem5.p + = (+g𝑈)
hdmapglem5.m = (-g𝑈)
hdmapglem5.q · = ( ·𝑠𝑈)
hdmapglem5.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapglem5.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmapglem5.t × = (.r𝑅)
hdmapglem5.z 0 = (0g𝑅)
hdmapglem5.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.g 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmapglem5.c (𝜑𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
hdmapglem5.d (𝜑𝐷 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
hdmapglem5.i (𝜑𝐼𝐵)
hdmapglem5.j (𝜑𝐽𝐵)
Assertion
Ref Expression
hdmapglem5 (𝜑 → (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶)) = ((𝑆𝐶)‘𝐷))

Proof of Theorem hdmapglem5
StepHypRef Expression
1 hdmapglem5.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmapglem5.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmapglem5.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3dvhlmod 41112 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
5 hdmapglem5.r . . . . 5 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
65lmodring 20866 . . . 4 (𝑈 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
74, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
8 hdmapglem5.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
9 hdmapglem5.g . . . 4 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
10 hdmapglem5.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
11 hdmapglem5.s . . . . 5 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
12 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
13 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (0g𝑈) = (0g𝑈)
15 hdmapglem5.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
161, 12, 13, 2, 10, 14, 15, 3dvheveccl 41114 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
1716eldifad 3963 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸𝑉)
1817snssd 4809 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝐸} ⊆ 𝑉)
19 hdmapglem5.o . . . . . . . 8 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
201, 2, 10, 19dochssv 41357 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {𝐸} ⊆ 𝑉) → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
213, 18, 20syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
22 hdmapglem5.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
2321, 22sseldd 3984 . . . . 5 (𝜑𝐶𝑉)
24 hdmapglem5.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
2521, 24sseldd 3984 . . . . 5 (𝜑𝐷𝑉)
261, 2, 10, 5, 8, 11, 3, 23, 25hdmapipcl 41907 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆𝐷)‘𝐶) ∈ 𝐵)
271, 2, 5, 8, 9, 3, 26hgmapcl 41891 . . 3 (𝜑 → (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶)) ∈ 𝐵)
28 hdmapglem5.t . . . 4 × = (.r𝑅)
29 eqid 2737 . . . 4 (1r𝑅) = (1r𝑅)
308, 28, 29ringlidm 20266 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶)) ∈ 𝐵) → ((1r𝑅) × (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶))) = (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶)))
317, 27, 30syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((1r𝑅) × (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶))) = (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶)))
32 hdmapglem5.p . . 3 + = (+g𝑈)
33 hdmapglem5.m . . 3 = (-g𝑈)
34 hdmapglem5.q . . 3 · = ( ·𝑠𝑈)
35 hdmapglem5.z . . 3 0 = (0g𝑅)
368, 29ringidcl 20262 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
377, 36syl 17 . . 3 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
381, 2, 5, 29, 9, 3hgmapval1 41895 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺‘(1r𝑅)) = (1r𝑅))
3938oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆𝐷)‘𝐶) × (𝐺‘(1r𝑅))) = (((𝑆𝐷)‘𝐶) × (1r𝑅)))
408, 28, 29ringridm 20267 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑆𝐷)‘𝐶) ∈ 𝐵) → (((𝑆𝐷)‘𝐶) × (1r𝑅)) = ((𝑆𝐷)‘𝐶))
417, 26, 40syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆𝐷)‘𝐶) × (1r𝑅)) = ((𝑆𝐷)‘𝐶))
4239, 41eqtrd 2777 . . 3 (𝜑 → (((𝑆𝐷)‘𝐶) × (𝐺‘(1r𝑅))) = ((𝑆𝐷)‘𝐶))
431, 15, 19, 2, 10, 32, 33, 34, 5, 8, 28, 35, 11, 9, 3, 22, 24, 26, 37, 42hdmapinvlem4 41923 . 2 (𝜑 → ((1r𝑅) × (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶))) = ((𝑆𝐶)‘𝐷))
4431, 43eqtr3d 2779 1 (𝜑 → (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶)) = ((𝑆𝐶)‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  {csn 4626  cop 4632   I cid 5577  cres 5687  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  0gc0g 17484  -gcsg 18953  1rcur 20178  Ringcrg 20230  LModclmod 20858  HLchlt 39351  LHypclh 39986  LTrncltrn 40103  DVecHcdvh 41080  ocHcoch 41349  HDMapchdma 41794  HGMapchg 41885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-riotaBAD 38954
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-undef 8298  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-0g 17486  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-oppg 19364  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-nzr 20513  df-rlreg 20694  df-domn 20695  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102  df-lsatoms 38977  df-lshyp 38978  df-lcv 39020  df-lfl 39059  df-lkr 39087  df-ldual 39125  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500  df-lplanes 39501  df-lvols 39502  df-lines 39503  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161  df-tgrp 40745  df-tendo 40757  df-edring 40759  df-dveca 41005  df-disoa 41031  df-dvech 41081  df-dib 41141  df-dic 41175  df-dih 41231  df-doch 41350  df-djh 41397  df-lcdual 41589  df-mapd 41627  df-hvmap 41759  df-hdmap1 41795  df-hdmap 41796  df-hgmap 41886
This theorem is referenced by:  hgmapvvlem1  41925  hdmapglem7  41931
  Copyright terms: Public domain W3C validator