Theorem ldualvsubcl 37170

Description: Closure of vector subtraction in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvsubcl.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsubcl.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐷)
ldualvsubcl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualvsubcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvsubcl.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldualvsubcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐻) ∈ 𝐹)

Proof of Theorem ldualvsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑊)) = (invg‘(Scalar‘𝑊))
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
4		ldualvsubcl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		ldualvsubcl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
6		eqid 2738	. . 3 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
7		eqid 2738	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐷) = ( ·𝑠 ‘𝐷)
8		ldualvsubcl.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐷)
9		ldualvsubcl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
10		ldualvsubcl.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
11		ldualvsubcl.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	ldualvsub 37169	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐻) = (𝐺(+g‘𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)))
13		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
14	1	lmodring 20131	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
15	9, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
16		ringgrp 19788	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
18	13, 3	ringidcl 19807	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
19	15, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
20	13, 2	grpinvcl 18627	. . . . 5 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
21	17, 19, 20	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
22	4, 1, 13, 5, 7, 9, 21, 11	ldualvscl 37153	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) ∈ 𝐹)
23	4, 5, 6, 9, 10, 22	ldualvaddcl 37144	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺(+g‘𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) ∈ 𝐹)
24	12, 23	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐻) ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  Grpcgrp 18577  inv_gcminusg 18578  -_gcsg 18579  1_rcur 19737  Ringcrg 19783  LModclmod 20123  LFnlclfn 37071  LDualcld 37137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-lmod 20125  df-lfl 37072  df-ldual 37138

This theorem is referenced by:  lcfrlem3  39558  lcfrlem30  39586