Theorem ldualvsubcl 37374

Description: Closure of vector subtraction in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvsubcl.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsubcl.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐷)
ldualvsubcl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualvsubcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvsubcl.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldualvsubcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐻) ∈ 𝐹)

Proof of Theorem ldualvsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑊)) = (invg‘(Scalar‘𝑊))
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
4		ldualvsubcl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		ldualvsubcl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
6		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
7		eqid 2737	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐷) = ( ·𝑠 ‘𝐷)
8		ldualvsubcl.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐷)
9		ldualvsubcl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
10		ldualvsubcl.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
11		ldualvsubcl.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	ldualvsub 37373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐻) = (𝐺(+g‘𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)))
13		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
14	1	lmodring 20203	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
15	9, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
16		ringgrp 19856	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
18	13, 3	ringidcl 19875	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
19	15, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
20	13, 2	grpinvcl 18696	. . . . 5 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
21	17, 19, 20	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
22	4, 1, 13, 5, 7, 9, 21, 11	ldualvscl 37357	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) ∈ 𝐹)
23	4, 5, 6, 9, 10, 22	ldualvaddcl 37348	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺(+g‘𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) ∈ 𝐹)
24	12, 23	eqeltrd 2838	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐻) ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6465  (class class class)co 7315  Basecbs 16982  +_gcplusg 17032  Scalarcsca 17035   ·_𝑠 cvsca 17036  Grpcgrp 18646  inv_gcminusg 18647  -_gcsg 18648  1_rcur 19805  Ringcrg 19851  LModclmod 20195  LFnlclfn 37275  LDualcld 37341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-of 7573  df-om 7758  df-1st 7876  df-2nd 7877  df-tpos 8089  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-1o 8344  df-er 8546  df-map 8665  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-fin 8785  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-nn 12047  df-2 12109  df-3 12110  df-4 12111  df-5 12112  df-6 12113  df-n0 12307  df-z 12393  df-uz 12656  df-fz 13313  df-struct 16918  df-sets 16935  df-slot 16953  df-ndx 16965  df-base 16983  df-plusg 17045  df-mulr 17046  df-sca 17048  df-vsca 17049  df-0g 17222  df-mgm 18396  df-sgrp 18445  df-mnd 18456  df-grp 18649  df-minusg 18650  df-sbg 18651  df-cmn 19456  df-abl 19457  df-mgp 19789  df-ur 19806  df-ring 19853  df-oppr 19930  df-lmod 20197  df-lfl 37276  df-ldual 37342

This theorem is referenced by:  lcfrlem3  39763  lcfrlem30  39791