Theorem ldualvsubcl 39122

Description: Closure of vector subtraction in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvsubcl.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsubcl.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐷)
ldualvsubcl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualvsubcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvsubcl.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldualvsubcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐻) ∈ 𝐹)

Proof of Theorem ldualvsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑊)) = (invg‘(Scalar‘𝑊))
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
4		ldualvsubcl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		ldualvsubcl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
6		eqid 2729	. . 3 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
7		eqid 2729	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐷) = ( ·𝑠 ‘𝐷)
8		ldualvsubcl.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐷)
9		ldualvsubcl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
10		ldualvsubcl.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
11		ldualvsubcl.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	ldualvsub 39121	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐻) = (𝐺(+g‘𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)))
13		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
14	1	lmodring 20750	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
15	9, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
16		ringgrp 20123	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
18	13, 3	ringidcl 20150	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
19	15, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
20	13, 2	grpinvcl 18895	. . . . 5 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
21	17, 19, 20	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
22	4, 1, 13, 5, 7, 9, 21, 11	ldualvscl 39105	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) ∈ 𝐹)
23	4, 5, 6, 9, 10, 22	ldualvaddcl 39096	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺(+g‘𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) ∈ 𝐹)
24	12, 23	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐻) ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200  Grpcgrp 18841  inv_gcminusg 18842  -_gcsg 18843  1_rcur 20066  Ringcrg 20118  LModclmod 20742  LFnlclfn 39023  LDualcld 39089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-oppr 20222  df-lmod 20744  df-lfl 39024  df-ldual 39090

This theorem is referenced by:  lcfrlem3  41511  lcfrlem30  41539