Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualvsubcl 36410
 Description: Closure of vector subtraction in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvsubcl.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsubcl.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsubcl.m = (-g𝐷)
ldualvsubcl.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
ldualvsubcl.g (𝜑𝐺𝐹)
ldualvsubcl.h (𝜑𝐻𝐹)
Assertion
Ref Expression
ldualvsubcl (𝜑 → (𝐺 𝐻) ∈ 𝐹)

Proof of Theorem ldualvsubcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2822 . . 3 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2 eqid 2822 . . 3 (invg‘(Scalar‘𝑊)) = (invg‘(Scalar‘𝑊))
3 eqid 2822 . . 3 (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
4 ldualvsubcl.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5 ldualvsubcl.d . . 3 𝐷 = (LDual‘𝑊)
6 eqid 2822 . . 3 (+g𝐷) = (+g𝐷)
7 eqid 2822 . . 3 ( ·𝑠𝐷) = ( ·𝑠𝐷)
8 ldualvsubcl.m . . 3 = (-g𝐷)
9 ldualvsubcl.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
10 ldualvsubcl.g . . 3 (𝜑𝐺𝐹)
11 ldualvsubcl.h . . 3 (𝜑𝐻𝐹)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ldualvsub 36409 . 2 (𝜑 → (𝐺 𝐻) = (𝐺(+g𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝐷)𝐻)))
13 eqid 2822 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
141lmodring 19633 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
159, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
16 ringgrp 19293 . . . . . 6 ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
1715, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
1813, 3ringidcl 19312 . . . . . 6 ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
1915, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
2013, 2grpinvcl 18142 . . . . 5 (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
2117, 19, 20syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
224, 1, 13, 5, 7, 9, 21, 11ldualvscl 36393 . . 3 (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝐷)𝐻) ∈ 𝐹)
234, 5, 6, 9, 10, 22ldualvaddcl 36384 . 2 (𝜑 → (𝐺(+g𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝐷)𝐻)) ∈ 𝐹)
2412, 23eqeltrd 2914 1 (𝜑 → (𝐺 𝐻) ∈ 𝐹)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  +gcplusg 16556  Scalarcsca 16559   ·𝑠 cvsca 16560  Grpcgrp 18094  invgcminusg 18095  -gcsg 18096  1rcur 19242  Ringcrg 19288  LModclmod 19625  LFnlclfn 36311  LDualcld 36377 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-oppr 19367  df-lmod 19627  df-lfl 36312  df-ldual 36378 This theorem is referenced by:  lcfrlem3  38798  lcfrlem30  38826
 Copyright terms: Public domain W3C validator