Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualvsubcl 38683
Description: Closure of vector subtraction in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvsubcl.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
ldualvsubcl.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
ldualvsubcl.m βˆ’ = (-gβ€˜π·)
ldualvsubcl.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
ldualvsubcl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvsubcl.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
ldualvsubcl (πœ‘ β†’ (𝐺 βˆ’ 𝐻) ∈ 𝐹)

Proof of Theorem ldualvsubcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . 3 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
2 eqid 2725 . . 3 (invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
3 eqid 2725 . . 3 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
4 ldualvsubcl.f . . 3 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
5 ldualvsubcl.d . . 3 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
6 eqid 2725 . . 3 (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·)
7 eqid 2725 . . 3 ( ·𝑠 β€˜π·) = ( ·𝑠 β€˜π·)
8 ldualvsubcl.m . . 3 βˆ’ = (-gβ€˜π·)
9 ldualvsubcl.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
10 ldualvsubcl.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
11 ldualvsubcl.h . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ldualvsub 38682 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 βˆ’ 𝐻) = (𝐺(+gβ€˜π·)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)))
13 eqid 2725 . . . 4 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
141lmodring 20753 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Ring)
159, 14syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Ring)
16 ringgrp 20180 . . . . . 6 ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Ring β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Grp)
1715, 16syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Grp)
1813, 3ringidcl 20204 . . . . . 6 ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Ring β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
1915, 18syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2013, 2grpinvcl 18946 . . . . 5 (((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Grp ∧ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2117, 19, 20syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
224, 1, 13, 5, 7, 9, 21, 11ldualvscl 38666 . . 3 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻) ∈ 𝐹)
234, 5, 6, 9, 10, 22ldualvaddcl 38657 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺(+gβ€˜π·)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)) ∈ 𝐹)
2412, 23eqeltrd 2825 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 βˆ’ 𝐻) ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  +gcplusg 17230  Scalarcsca 17233   ·𝑠 cvsca 17234  Grpcgrp 18892  invgcminusg 18893  -gcsg 18894  1rcur 20123  Ringcrg 20175  LModclmod 20745  LFnlclfn 38584  LDualcld 38650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-oppr 20275  df-lmod 20747  df-lfl 38585  df-ldual 38651
This theorem is referenced by:  lcfrlem3  41072  lcfrlem30  41100
  Copyright terms: Public domain W3C validator