Theorem ldualvsubcl 39355

Description: Closure of vector subtraction in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvsubcl.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsubcl.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐷)
ldualvsubcl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualvsubcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvsubcl.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldualvsubcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐻) ∈ 𝐹)

Proof of Theorem ldualvsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2734	. . 3 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑊)) = (invg‘(Scalar‘𝑊))
3		eqid 2734	. . 3 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
4		ldualvsubcl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		ldualvsubcl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
6		eqid 2734	. . 3 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
7		eqid 2734	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐷) = ( ·𝑠 ‘𝐷)
8		ldualvsubcl.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐷)
9		ldualvsubcl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
10		ldualvsubcl.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
11		ldualvsubcl.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	ldualvsub 39354	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐻) = (𝐺(+g‘𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)))
13		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
14	1	lmodring 20817	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
15	9, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
16		ringgrp 20171	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
18	13, 3	ringidcl 20198	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
19	15, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
20	13, 2	grpinvcl 18915	. . . . 5 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
21	17, 19, 20	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
22	4, 1, 13, 5, 7, 9, 21, 11	ldualvscl 39338	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) ∈ 𝐹)
23	4, 5, 6, 9, 10, 22	ldualvaddcl 39329	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺(+g‘𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) ∈ 𝐹)
24	12, 23	eqeltrd 2834	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐻) ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  +_gcplusg 17175  Scalarcsca 17178   ·_𝑠 cvsca 17179  Grpcgrp 18861  inv_gcminusg 18862  -_gcsg 18863  1_rcur 20114  Ringcrg 20166  LModclmod 20809  LFnlclfn 39256  LDualcld 39322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-oppr 20271  df-lmod 20811  df-lfl 39257  df-ldual 39323

This theorem is referenced by:  lcfrlem3  41743  lcfrlem30  41771