Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualvsubcl 37621
Description: Closure of vector subtraction in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvsubcl.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
ldualvsubcl.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
ldualvsubcl.m βˆ’ = (-gβ€˜π·)
ldualvsubcl.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
ldualvsubcl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvsubcl.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
ldualvsubcl (πœ‘ β†’ (𝐺 βˆ’ 𝐻) ∈ 𝐹)

Proof of Theorem ldualvsubcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
2 eqid 2737 . . 3 (invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
3 eqid 2737 . . 3 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
4 ldualvsubcl.f . . 3 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
5 ldualvsubcl.d . . 3 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
6 eqid 2737 . . 3 (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·)
7 eqid 2737 . . 3 ( ·𝑠 β€˜π·) = ( ·𝑠 β€˜π·)
8 ldualvsubcl.m . . 3 βˆ’ = (-gβ€˜π·)
9 ldualvsubcl.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
10 ldualvsubcl.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
11 ldualvsubcl.h . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ldualvsub 37620 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 βˆ’ 𝐻) = (𝐺(+gβ€˜π·)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)))
13 eqid 2737 . . . 4 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
141lmodring 20333 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Ring)
159, 14syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Ring)
16 ringgrp 19970 . . . . . 6 ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Ring β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Grp)
1715, 16syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Grp)
1813, 3ringidcl 19990 . . . . . 6 ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Ring β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
1915, 18syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2013, 2grpinvcl 18799 . . . . 5 (((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Grp ∧ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2117, 19, 20syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
224, 1, 13, 5, 7, 9, 21, 11ldualvscl 37604 . . 3 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻) ∈ 𝐹)
234, 5, 6, 9, 10, 22ldualvaddcl 37595 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺(+gβ€˜π·)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)) ∈ 𝐹)
2412, 23eqeltrd 2838 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 βˆ’ 𝐻) ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  +gcplusg 17134  Scalarcsca 17137   ·𝑠 cvsca 17138  Grpcgrp 18749  invgcminusg 18750  -gcsg 18751  1rcur 19914  Ringcrg 19965  LModclmod 20325  LFnlclfn 37522  LDualcld 37588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-0g 17324  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-sbg 18754  df-cmn 19565  df-abl 19566  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-ring 19967  df-oppr 20050  df-lmod 20327  df-lfl 37523  df-ldual 37589
This theorem is referenced by:  lcfrlem3  40010  lcfrlem30  40038
  Copyright terms: Public domain W3C validator