Theorem lnperpexs 29143

Description: Existence of a perpendicular to a line 𝐿 at a given point 𝐴. Theorem 10.15 of [Schwabhauser] p. 92. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnperpexs.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
lnperpexs.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lnperpexs.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
lnperpexs.h	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
lnperpexs.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
lnperpexs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
lnperpexs.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
lnperpexs.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
lnperpexs	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐷,𝑝   𝐺,𝑝   𝐿,𝑝   𝑃,𝑝   𝑄,𝑝   𝜑,𝑝

Proof of Theorem lnperpexs

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑡 𝑐 𝑑 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnperpexs.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2765	. 2 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3		eqid 2765	. 2 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
4		lnperpexs.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		lnperpexs.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		lnperpexs.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
7		lnperpexs.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
8		eleq1w 2848	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ↔ 𝑐 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)))
9		eleq1w 2848	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ↔ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)))
10	8, 9	bi2anan9 650	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ↔ (𝑐 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷))))
11		oveq12 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) = (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))
12	11	eleq2d 2851	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ 𝑠 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
13	12	rexbidv 3191	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑠 ∈ 𝐷 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐷 𝑠 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
14		eleq1w 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑) ↔ 𝑡 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
15	14	cbvrexvw 3246	. . . . 5 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐷 𝑠 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))
16	13, 15	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑠 ∈ 𝐷 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
17	10, 16	anbi12d 644	. . 3 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐷 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏)) ↔ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))))
18	17	cbvopabv 5186	. 2 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐷 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))} = {⟨𝑐, 𝑑⟩ ∣ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))}
19		lnperpexs.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
20		lnperpexs.q	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
21		lnperpexs.1	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∈ 𝐷)
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 18, 19, 20, 21	lnperpex 29142	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091   ∖ cdif 3903   class class class wbr 5111  {copab 5175  ran crn 5664  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  2c2 12306  Basecbs 17286  distcds 17336  TarskiGcstrkg 28725  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28729  Itvcitv 28731  LineGclng 28732  ⟂Gcperpg 29004  hpGchpg 29068

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-uz 12874  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-hash 14380  df-word 14564  df-concat 14621  df-s1 14648  df-s2 14904  df-s3 14905  df-trkgc 28746  df-trkgb 28747  df-trkgcb 28748  df-trkgld 28750  df-trkg 28751  df-cgrg 28809  df-leg 28881  df-hlg 28899  df-mir 28959  df-rag 29003  df-perpg 29005  df-hpg 29069

This theorem is used by:  prlngex  29230