Theorem lnperpexs 29095

Description: Existence of a perpendicular to a line 𝐿 at a given point 𝐴. Theorem 10.15 of [Schwabhauser] p. 92. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnperpexs.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
lnperpexs.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lnperpexs.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
lnperpexs.h	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
lnperpexs.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
lnperpexs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
lnperpexs.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
lnperpexs.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
lnperpexs	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐷,𝑝   𝐺,𝑝   𝐿,𝑝   𝑃,𝑝   𝑄,𝑝   𝜑,𝑝

Proof of Theorem lnperpexs

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑡 𝑐 𝑑 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnperpexs.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2763	. 2 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3		eqid 2763	. 2 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
4		lnperpexs.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		lnperpexs.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		lnperpexs.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
7		lnperpexs.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
8		eleq1w 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ↔ 𝑐 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)))
9		eleq1w 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ↔ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)))
10	8, 9	bi2anan9 649	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ↔ (𝑐 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷))))
11		oveq12 7421	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) = (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))
12	11	eleq2d 2849	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ 𝑠 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
13	12	rexbidv 3189	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑠 ∈ 𝐷 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐷 𝑠 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
14		eleq1w 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑) ↔ 𝑡 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
15	14	cbvrexvw 3244	. . . . 5 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐷 𝑠 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))
16	13, 15	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑠 ∈ 𝐷 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
17	10, 16	anbi12d 643	. . 3 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐷 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏)) ↔ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))))
18	17	cbvopabv 5185	. 2 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐷 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))} = {⟨𝑐, 𝑑⟩ ∣ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))}
19		lnperpexs.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
20		lnperpexs.q	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
21		lnperpexs.1	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∈ 𝐷)
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 18, 19, 20, 21	lnperpex 29094	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3903   class class class wbr 5110  {copab 5174  ran crn 5664  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  2c2 12296  Basecbs 17270  distcds 17320  TarskiGcstrkg 28677  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28681  Itvcitv 28683  LineGclng 28684  ⟂Gcperpg 28956  hpGchpg 29020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-dju 9888  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-xnn0 12579  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-hash 14369  df-word 14553  df-concat 14610  df-s1 14636  df-s2 14887  df-s3 14888  df-trkgc 28698  df-trkgb 28699  df-trkgcb 28700  df-trkgld 28702  df-trkg 28703  df-cgrg 28761  df-leg 28833  df-hlg 28851  df-mir 28911  df-rag 28955  df-perpg 28957  df-hpg 29021

This theorem is referenced by:  prlngex  29182