Theorem lsatnle 39669

Description: The meet of a subspace and an incomparable atom is the zero subspace. (atnssm0 32580 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatnle.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatnle.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatnle.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatnle.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatnle.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lsatnle.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsatnle	⊢ (𝜑 → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ (𝑈 ∩ 𝑄) = { 0 }))

Proof of Theorem lsatnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatnle.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
3		lsatnle.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ ( ⋖L ‘𝑊) = ( ⋖L ‘𝑊)
5		lsatnle.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6		lsatnle.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7		lsatnle.q	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	lcv1 39666	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑈( ⋖L ‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑄)))
9		lsatnle.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
10	1, 2, 9, 3, 4, 5, 6, 7	lcvp 39665	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∩ 𝑄) = { 0 } ↔ 𝑈( ⋖L ‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑄)))
11	8, 10	bitr4d 284	1 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ (𝑈 ∩ 𝑄) = { 0 }))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  {csn 4583   class class class wbr 5101  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  0_gc0g 17469  LSSumclsm 19675  LSubSpclss 20999  LVecclvec 21170  LSAtomsclsa 39599   ⋖_L clcv 39643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-2o 8439  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-ress 17268  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-0g 17471  df-mre 17615  df-mrc 17616  df-acs 17618  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-submnd 18819  df-grp 18979  df-minusg 18980  df-sbg 18981  df-subg 19166  df-cntz 19358  df-oppg 19387  df-lsm 19677  df-cmn 19823  df-abl 19824  df-mgp 20188  df-rng 20200  df-ur 20233  df-ring 20286  df-oppr 20387  df-dvdsr 20407  df-unit 20408  df-invr 20438  df-drng 20782  df-lmod 20930  df-lss 21000  df-lsp 21040  df-lvec 21171  df-lsatoms 39601  df-lcv 39644

This theorem is referenced by:  lsatnem0  39670