Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatnle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatnle 38425
Description: The meet of a subspace and an incomparable atom is the zero subspace. (atnssm0 32134 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatnle.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsatnle.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lsatnle.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsatnle.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsatnle.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lsatnle.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsatnle (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ ↔ (π‘ˆ ∩ 𝑄) = { 0 }))

Proof of Theorem lsatnle
StepHypRef Expression
1 lsatnle.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
2 eqid 2726 . . 3 (LSSumβ€˜π‘Š) = (LSSumβ€˜π‘Š)
3 lsatnle.a . . 3 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
4 eqid 2726 . . 3 ( β‹–L β€˜π‘Š) = ( β‹–L β€˜π‘Š)
5 lsatnle.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
6 lsatnle.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
7 lsatnle.q . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7lcv1 38422 . 2 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ ↔ π‘ˆ( β‹–L β€˜π‘Š)(π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)𝑄)))
9 lsatnle.o . . 3 0 = (0gβ€˜π‘Š)
101, 2, 9, 3, 4, 5, 6, 7lcvp 38421 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ ∩ 𝑄) = { 0 } ↔ π‘ˆ( β‹–L β€˜π‘Š)(π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)𝑄)))
118, 10bitr4d 282 1 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ ↔ (π‘ˆ ∩ 𝑄) = { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  {csn 4623   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  0gc0g 17392  LSSumclsm 19552  LSubSpclss 20776  LVecclvec 20948  LSAtomsclsa 38355   β‹–L clcv 38399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-0g 17394  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19048  df-cntz 19231  df-oppg 19260  df-lsm 19554  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-drng 20587  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817  df-lvec 20949  df-lsatoms 38357  df-lcv 38400
This theorem is referenced by:  lsatnem0  38426
  Copyright terms: Public domain W3C validator