Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatnem0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatnem0 38428
Description: The meet of distinct atoms is the zero subspace. (atnemeq0 32139 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatnem0.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsatnem0.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsatnem0.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsatnem0.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatnem0.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsatnem0 (πœ‘ β†’ (𝑄 β‰  𝑅 ↔ (𝑄 ∩ 𝑅) = { 0 }))

Proof of Theorem lsatnem0
StepHypRef Expression
1 lsatnem0.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
2 lsatnem0.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
3 lsatnem0.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
4 lsatnem0.q . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
51, 2, 3, 4lsatcmp 38386 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 βŠ† 𝑄 ↔ 𝑅 = 𝑄))
6 eqcom 2733 . . . 4 (𝑅 = 𝑄 ↔ 𝑄 = 𝑅)
75, 6bitrdi 287 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 βŠ† 𝑄 ↔ 𝑄 = 𝑅))
87necon3bbid 2972 . 2 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑅 βŠ† 𝑄 ↔ 𝑄 β‰  𝑅))
9 lsatnem0.o . . 3 0 = (0gβ€˜π‘Š)
10 eqid 2726 . . 3 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
11 lveclmod 20954 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
122, 11syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
1310, 1, 12, 4lsatlssel 38380 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
149, 10, 1, 2, 13, 3lsatnle 38427 . 2 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑅 βŠ† 𝑄 ↔ (𝑄 ∩ 𝑅) = { 0 }))
158, 14bitr3d 281 1 (πœ‘ β†’ (𝑄 β‰  𝑅 ↔ (𝑄 ∩ 𝑅) = { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  {csn 4623  β€˜cfv 6537  0gc0g 17394  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778  LVecclvec 20950  LSAtomsclsa 38357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-oppg 19262  df-lsm 19556  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951  df-lsatoms 38359  df-lcv 38402
This theorem is referenced by:  lsatexch1  38429  lsatcv0eq  38430  lsatcvatlem  38432
  Copyright terms: Public domain W3C validator