Theorem lsatnem0 39847

Description: The meet of distinct atoms is the zero subspace. (atnemeq0 32738 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatnem0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatnem0.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatnem0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatnem0.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatnem0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsatnem0	⊢ (𝜑 → (𝑄 ≠ 𝑅 ↔ (𝑄 ∩ 𝑅) = { 0 }))

Proof of Theorem lsatnem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatnem0.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
2		lsatnem0.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		lsatnem0.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
4		lsatnem0.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	lsatcmp 39805	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊆ 𝑄 ↔ 𝑅 = 𝑄))
6		eqcom 2770	. . . 4 ⊢ (𝑅 = 𝑄 ↔ 𝑄 = 𝑅)
7	5, 6	bitrdi 290	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊆ 𝑄 ↔ 𝑄 = 𝑅))
8	7	necon3bbid 2995	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑅 ⊆ 𝑄 ↔ 𝑄 ≠ 𝑅))
9		lsatnem0.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
10		eqid 2763	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
11		lveclmod 21236	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
12	2, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
13	10, 1, 12, 4	lsatlssel 39799	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊))
14	9, 10, 1, 2, 13, 3	lsatnle 39846	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑅 ⊆ 𝑄 ↔ (𝑄 ∩ 𝑅) = { 0 }))
15	8, 14	bitr3d 284	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ≠ 𝑅 ↔ (𝑄 ∩ 𝑅) = { 0 }))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  {csn 4589  ‘cfv 6536  0_gc0g 17496  LModclmod 20990  LSubSpclss 21061  LVecclvec 21232  LSAtomsclsa 39776

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-0g 17498  df-mre 17642  df-mrc 17643  df-acs 17645  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-submnd 18846  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-sbg 19009  df-subg 19193  df-cntz 19391  df-oppg 19420  df-lsm 19710  df-cmn 19856  df-abl 19857  df-mgp 20221  df-rng 20235  df-ur 20268  df-ring 20321  df-oppr 20424  df-dvdsr 20444  df-unit 20445  df-invr 20475  df-drng 20838  df-lmod 20992  df-lss 21062  df-lsp 21102  df-lvec 21233  df-lsatoms 39778  df-lcv 39821

This theorem is used by:  lsatexch1  39848  lsatcv0eq  39849  lsatcvatlem  39851