Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatnem0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatnem0 37045
Description: The meet of distinct atoms is the zero subspace. (atnemeq0 30725 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatnem0.o 0 = (0g𝑊)
lsatnem0.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatnem0.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatnem0.q (𝜑𝑄𝐴)
lsatnem0.r (𝜑𝑅𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsatnem0 (𝜑 → (𝑄𝑅 ↔ (𝑄𝑅) = { 0 }))

Proof of Theorem lsatnem0
StepHypRef Expression
1 lsatnem0.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
2 lsatnem0.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
3 lsatnem0.r . . . . 5 (𝜑𝑅𝐴)
4 lsatnem0.q . . . . 5 (𝜑𝑄𝐴)
51, 2, 3, 4lsatcmp 37003 . . . 4 (𝜑 → (𝑅𝑄𝑅 = 𝑄))
6 eqcom 2745 . . . 4 (𝑅 = 𝑄𝑄 = 𝑅)
75, 6bitrdi 287 . . 3 (𝜑 → (𝑅𝑄𝑄 = 𝑅))
87necon3bbid 2981 . 2 (𝜑 → (¬ 𝑅𝑄𝑄𝑅))
9 lsatnem0.o . . 3 0 = (0g𝑊)
10 eqid 2738 . . 3 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
11 lveclmod 20356 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
122, 11syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
1310, 1, 12, 4lsatlssel 36997 . . 3 (𝜑𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊))
149, 10, 1, 2, 13, 3lsatnle 37044 . 2 (𝜑 → (¬ 𝑅𝑄 ↔ (𝑄𝑅) = { 0 }))
158, 14bitr3d 280 1 (𝜑 → (𝑄𝑅 ↔ (𝑄𝑅) = { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  cin 3886  wss 3887  {csn 4562  cfv 6427  0gc0g 17138  LModclmod 20111  LSubSpclss 20181  LVecclvec 20352  LSAtomsclsa 36974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-iin 4928  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-tpos 8030  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-er 8486  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-fin 8725  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-nn 11962  df-2 12024  df-3 12025  df-sets 16853  df-slot 16871  df-ndx 16883  df-base 16901  df-ress 16930  df-plusg 16963  df-mulr 16964  df-0g 17140  df-mre 17283  df-mrc 17284  df-acs 17286  df-mgm 18314  df-sgrp 18363  df-mnd 18374  df-submnd 18419  df-grp 18568  df-minusg 18569  df-sbg 18570  df-subg 18740  df-cntz 18911  df-oppg 18938  df-lsm 19229  df-cmn 19376  df-abl 19377  df-mgp 19709  df-ur 19726  df-ring 19773  df-oppr 19850  df-dvdsr 19871  df-unit 19872  df-invr 19902  df-drng 19981  df-lmod 20113  df-lss 20182  df-lsp 20222  df-lvec 20353  df-lsatoms 36976  df-lcv 37019
This theorem is referenced by:  lsatexch1  37046  lsatcv0eq  37047  lsatcvatlem  37049
  Copyright terms: Public domain W3C validator