Theorem lsatnem0 39881

Description: The meet of distinct atoms is the zero subspace. (atnemeq0 32804 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatnem0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatnem0.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatnem0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatnem0.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatnem0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsatnem0	⊢ (𝜑 → (𝑄 ≠ 𝑅 ↔ (𝑄 ∩ 𝑅) = { 0 }))

Proof of Theorem lsatnem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatnem0.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
2		lsatnem0.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		lsatnem0.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
4		lsatnem0.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	lsatcmp 39839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊆ 𝑄 ↔ 𝑅 = 𝑄))
6		eqcom 2772	. . . 4 ⊢ (𝑅 = 𝑄 ↔ 𝑄 = 𝑅)
7	5, 6	bitrdi 290	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊆ 𝑄 ↔ 𝑄 = 𝑅))
8	7	necon3bbid 2997	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑅 ⊆ 𝑄 ↔ 𝑄 ≠ 𝑅))
9		lsatnem0.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
10		eqid 2765	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
11		lveclmod 21281	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
12	2, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
13	10, 1, 12, 4	lsatlssel 39833	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊))
14	9, 10, 1, 2, 13, 3	lsatnle 39880	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑅 ⊆ 𝑄 ↔ (𝑄 ∩ 𝑅) = { 0 }))
15	8, 14	bitr3d 284	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ≠ 𝑅 ↔ (𝑄 ∩ 𝑅) = { 0 }))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  {csn 4591  ‘cfv 6540  0_gc0g 17518  LModclmod 21035  LSubSpclss 21106  LVecclvec 21277  LSAtomsclsa 39810

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-sets 17250  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-ress 17317  df-plusg 17349  df-mulr 17350  df-0g 17520  df-mre 17664  df-mrc 17665  df-acs 17667  df-mgm 18724  df-sgrp 18813  df-mnd 18829  df-submnd 18883  df-grp 19051  df-minusg 19052  df-sbg 19053  df-subg 19237  df-cntz 19435  df-oppg 19464  df-lsm 19754  df-cmn 19900  df-abl 19901  df-mgp 20265  df-rng 20279  df-ur 20312  df-ring 20365  df-oppr 20469  df-dvdsr 20489  df-unit 20490  df-invr 20520  df-drng 20883  df-lmod 21037  df-lss 21107  df-lsp 21147  df-lvec 21278  df-lsatoms 39812  df-lcv 39855

This theorem is used by:  lsatexch1  39882  lsatcv0eq  39883  lsatcvatlem  39885