Theorem lsatnem0 39028

Description: The meet of distinct atoms is the zero subspace. (atnemeq0 32321 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatnem0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatnem0.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatnem0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatnem0.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatnem0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsatnem0	⊢ (𝜑 → (𝑄 ≠ 𝑅 ↔ (𝑄 ∩ 𝑅) = { 0 }))

Proof of Theorem lsatnem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatnem0.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
2		lsatnem0.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		lsatnem0.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
4		lsatnem0.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	lsatcmp 38986	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊆ 𝑄 ↔ 𝑅 = 𝑄))
6		eqcom 2736	. . . 4 ⊢ (𝑅 = 𝑄 ↔ 𝑄 = 𝑅)
7	5, 6	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊆ 𝑄 ↔ 𝑄 = 𝑅))
8	7	necon3bbid 2962	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑅 ⊆ 𝑄 ↔ 𝑄 ≠ 𝑅))
9		lsatnem0.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
10		eqid 2729	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
11		lveclmod 21010	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
12	2, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
13	10, 1, 12, 4	lsatlssel 38980	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊))
14	9, 10, 1, 2, 13, 3	lsatnle 39027	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑅 ⊆ 𝑄 ↔ (𝑄 ∩ 𝑅) = { 0 }))
15	8, 14	bitr3d 281	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ≠ 𝑅 ↔ (𝑄 ∩ 𝑅) = { 0 }))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  {csn 4577  ‘cfv 6482  0_gc0g 17343  LModclmod 20763  LSubSpclss 20834  LVecclvec 21006  LSAtomsclsa 38957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-0g 17345  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-subg 19002  df-cntz 19196  df-oppg 19225  df-lsm 19515  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-drng 20616  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-lsp 20875  df-lvec 21007  df-lsatoms 38959  df-lcv 39002

This theorem is referenced by:  lsatexch1  39029  lsatcv0eq  39030  lsatcvatlem  39032