Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdindp1 41193
Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 1-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
mapdindp1.p + = (+gβ€˜π‘Š)
mapdindp1.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
mapdindp1.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
mapdindp1.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
mapdindp1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdindp1.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdindp1.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdindp1.W (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdindp1.e (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑍}))
mapdindp1.ne (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
mapdindp1.f (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
Assertion
Ref Expression
mapdindp1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}))

Proof of Theorem mapdindp1
StepHypRef Expression
1 mapdindp1.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
2 eldifsni 4794 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) β†’ 𝑋 β‰  0 )
31, 2syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  0 )
4 mapdindp1.w . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
5 lveclmod 20991 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
7 mapdindp1.o . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π‘Š)
8 mapdindp1.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
97, 8lspsn0 20892 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘β€˜{ 0 }) = { 0 })
106, 9syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{ 0 }) = { 0 })
1110eqeq2d 2739 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{ 0 }) ↔ (π‘β€˜{𝑋}) = { 0 }))
121eldifad 3959 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
13 mapdindp1.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
1413, 7, 8lspsneq0 20896 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
156, 12, 14syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
1611, 15bitrd 279 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{ 0 }) ↔ 𝑋 = 0 ))
1716necon3bid 2982 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{ 0 }) ↔ 𝑋 β‰  0 ))
183, 17mpbird 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{ 0 }))
1918adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{ 0 }))
20 sneq 4639 . . . . 5 ((π‘Œ + 𝑍) = 0 β†’ {(π‘Œ + 𝑍)} = { 0 })
2120fveq2d 6901 . . . 4 ((π‘Œ + 𝑍) = 0 β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) = (π‘β€˜{ 0 }))
2221adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) = (π‘β€˜{ 0 }))
2319, 22neeqtrrd 3012 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}))
24 mapdindp1.ne . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
2524adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
26 mapdindp1.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
274adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
281adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
29 mapdindp1.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
3029adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
31 mapdindp1.z . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
3231adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
33 mapdindp1.W . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
3433adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
35 mapdindp1.e . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑍}))
3635adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑍}))
37 mapdindp1.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
3837adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
39 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 )
4013, 26, 7, 8, 27, 28, 30, 32, 34, 36, 25, 38, 39mapdindp0 41192 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
4125, 40neeqtrrd 3012 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}))
4223, 41pm2.61dane 3026 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937   βˆ– cdif 3944  {csn 4629  {cpr 4631  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  +gcplusg 17233  0gc0g 17421  LModclmod 20743  LSpanclspn 20855  LVecclvec 20987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-subg 19078  df-cntz 19268  df-lsm 19591  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-oppr 20273  df-dvdsr 20296  df-unit 20297  df-invr 20327  df-drng 20626  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lsp 20856  df-lvec 20988
This theorem is referenced by:  mapdh6dN  41212  mapdh6hN  41216  hdmap1l6d  41286  hdmap1l6h  41290
  Copyright terms: Public domain W3C validator