Theorem mapdindp1 42554

Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 1-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdindp1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
mapdindp1.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
mapdindp1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
mapdindp1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
mapdindp1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
mapdindp1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.W	⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.e	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
mapdindp1.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdindp1.f	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
mapdindp1	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))

Proof of Theorem mapdindp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdindp1.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2		eldifsni 4760	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
4		mapdindp1.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lveclmod 21279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		mapdindp1.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
8		mapdindp1.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9	7, 8	lspsn0 21181	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
10	6, 9	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
11	10	eqeq2d 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{ 0 }) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = { 0 }))
12	1	eldifad 3918	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
13		mapdindp1.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
14	13, 7, 8	lspsneq0 21185	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
15	6, 12, 14	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
16	11, 15	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{ 0 }) ↔ 𝑋 = 0 ))
17	16	necon3bid 3004	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{ 0 }) ↔ 𝑋 ≠ 0 ))
18	3, 17	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{ 0 }))
19	18	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{ 0 }))
20		sneq 4601	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 + 𝑍) = 0 → {(𝑌 + 𝑍)} = { 0 })
21	20	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ ((𝑌 + 𝑍) = 0 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{ 0 }))
22	21	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{ 0 }))
23	19, 22	neeqtrrd 3034	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
24		mapdindp1.ne	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
25	24	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
26		mapdindp1.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
27	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
28	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
29		mapdindp1.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
30	29	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
31		mapdindp1.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
32	31	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
33		mapdindp1.W	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
34	33	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
35		mapdindp1.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
36	35	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
37		mapdindp1.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
38	37	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
39		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 )
40	13, 26, 7, 8, 27, 28, 30, 32, 34, 36, 25, 38, 39	mapdindp0 42553	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{𝑌}))
41	25, 40	neeqtrrd 3034	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
42	23, 41	pm2.61dane 3047	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ∖ cdif 3903  {csn 4591  {cpr 4593  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17293  +_gcplusg 17334  0_gc0g 17516  LModclmod 21033  LSpanclspn 21144  LVecclvec 21275

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-0g 17518  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-submnd 18881  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-sbg 19051  df-subg 19235  df-cntz 19433  df-lsm 19752  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-ring 20363  df-oppr 20467  df-dvdsr 20487  df-unit 20488  df-invr 20518  df-drng 20881  df-lmod 21035  df-lss 21105  df-lsp 21145  df-lvec 21276

This theorem is used by:  mapdh6dN  42573  mapdh6hN  42577  hdmap1l6d  42647  hdmap1l6h  42651