Theorem mapdindp1 42594

Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 1-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdindp1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
mapdindp1.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
mapdindp1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
mapdindp1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
mapdindp1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
mapdindp1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.W	⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.e	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
mapdindp1.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdindp1.f	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
mapdindp1	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))

Proof of Theorem mapdindp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdindp1.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2		eldifsni 4753	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
4		mapdindp1.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lveclmod 21291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		mapdindp1.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
8		mapdindp1.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9	7, 8	lspsn0 21193	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
10	6, 9	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
11	10	eqeq2d 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{ 0 }) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = { 0 }))
12	1	eldifad 3911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
13		mapdindp1.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
14	13, 7, 8	lspsneq0 21197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
15	6, 12, 14	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
16	11, 15	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{ 0 }) ↔ 𝑋 = 0 ))
17	16	necon3bid 2999	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{ 0 }) ↔ 𝑋 ≠ 0 ))
18	3, 17	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{ 0 }))
19	18	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{ 0 }))
20		sneq 4594	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 + 𝑍) = 0 → {(𝑌 + 𝑍)} = { 0 })
21	20	fveq2d 6883	. . . 4 ⊢ ((𝑌 + 𝑍) = 0 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{ 0 }))
22	21	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{ 0 }))
23	19, 22	neeqtrrd 3029	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
24		mapdindp1.ne	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
25	24	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
26		mapdindp1.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
27	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
28	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
29		mapdindp1.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
30	29	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
31		mapdindp1.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
32	31	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
33		mapdindp1.W	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
34	33	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
35		mapdindp1.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
36	35	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
37		mapdindp1.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
38	37	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
39		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 )
40	13, 26, 7, 8, 27, 28, 30, 32, 34, 36, 25, 38, 39	mapdindp0 42593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{𝑌}))
41	25, 40	neeqtrrd 3029	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
42	23, 41	pm2.61dane 3042	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∖ cdif 3896  {csn 4584  {cpr 4586  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17302  +_gcplusg 17343  0_gc0g 17525  LModclmod 21045  LSpanclspn 21156  LVecclvec 21287

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-0g 17527  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-subg 19247  df-cntz 19445  df-lsm 19764  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-oppr 20479  df-dvdsr 20499  df-unit 20500  df-invr 20530  df-drng 20893  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-lvec 21288

This theorem is used by:  mapdh6dN  42613  mapdh6hN  42617  hdmap1l6d  42687  hdmap1l6h  42691