Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdindp1 41095
Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 1-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
mapdindp1.p + = (+gβ€˜π‘Š)
mapdindp1.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
mapdindp1.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
mapdindp1.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
mapdindp1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdindp1.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdindp1.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdindp1.W (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdindp1.e (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑍}))
mapdindp1.ne (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
mapdindp1.f (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
Assertion
Ref Expression
mapdindp1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}))

Proof of Theorem mapdindp1
StepHypRef Expression
1 mapdindp1.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
2 eldifsni 4786 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) β†’ 𝑋 β‰  0 )
31, 2syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  0 )
4 mapdindp1.w . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
5 lveclmod 20950 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
7 mapdindp1.o . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π‘Š)
8 mapdindp1.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
97, 8lspsn0 20851 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘β€˜{ 0 }) = { 0 })
106, 9syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{ 0 }) = { 0 })
1110eqeq2d 2735 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{ 0 }) ↔ (π‘β€˜{𝑋}) = { 0 }))
121eldifad 3953 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
13 mapdindp1.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
1413, 7, 8lspsneq0 20855 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
156, 12, 14syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
1611, 15bitrd 279 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{ 0 }) ↔ 𝑋 = 0 ))
1716necon3bid 2977 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{ 0 }) ↔ 𝑋 β‰  0 ))
183, 17mpbird 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{ 0 }))
1918adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{ 0 }))
20 sneq 4631 . . . . 5 ((π‘Œ + 𝑍) = 0 β†’ {(π‘Œ + 𝑍)} = { 0 })
2120fveq2d 6886 . . . 4 ((π‘Œ + 𝑍) = 0 β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) = (π‘β€˜{ 0 }))
2221adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) = (π‘β€˜{ 0 }))
2319, 22neeqtrrd 3007 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}))
24 mapdindp1.ne . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
2524adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
26 mapdindp1.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
274adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
281adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
29 mapdindp1.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
3029adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
31 mapdindp1.z . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
3231adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
33 mapdindp1.W . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
3433adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
35 mapdindp1.e . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑍}))
3635adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑍}))
37 mapdindp1.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
3837adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
39 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 )
4013, 26, 7, 8, 27, 28, 30, 32, 34, 36, 25, 38, 39mapdindp0 41094 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
4125, 40neeqtrrd 3007 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}))
4223, 41pm2.61dane 3021 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932   βˆ– cdif 3938  {csn 4621  {cpr 4623  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  0gc0g 17390  LModclmod 20702  LSpanclspn 20814  LVecclvec 20946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18710  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-subg 19046  df-cntz 19229  df-lsm 19552  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-drng 20585  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-lvec 20947
This theorem is referenced by:  mapdh6dN  41114  mapdh6hN  41118  hdmap1l6d  41188  hdmap1l6h  41192
  Copyright terms: Public domain W3C validator