Theorem mapdindp1 41829

Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 1-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdindp1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
mapdindp1.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
mapdindp1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
mapdindp1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
mapdindp1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
mapdindp1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.W	⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.e	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
mapdindp1.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdindp1.f	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
mapdindp1	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))

Proof of Theorem mapdindp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdindp1.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2		eldifsni 4743	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
4		mapdindp1.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lveclmod 21050	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		mapdindp1.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
8		mapdindp1.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9	7, 8	lspsn0 20951	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
10	6, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
11	10	eqeq2d 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{ 0 }) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = { 0 }))
12	1	eldifad 3911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
13		mapdindp1.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
14	13, 7, 8	lspsneq0 20955	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
15	6, 12, 14	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
16	11, 15	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{ 0 }) ↔ 𝑋 = 0 ))
17	16	necon3bid 2974	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{ 0 }) ↔ 𝑋 ≠ 0 ))
18	3, 17	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{ 0 }))
19	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{ 0 }))
20		sneq 4587	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 + 𝑍) = 0 → {(𝑌 + 𝑍)} = { 0 })
21	20	fveq2d 6835	. . . 4 ⊢ ((𝑌 + 𝑍) = 0 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{ 0 }))
22	21	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{ 0 }))
23	19, 22	neeqtrrd 3004	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
24		mapdindp1.ne	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
25	24	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
26		mapdindp1.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
27	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
28	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
29		mapdindp1.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
30	29	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
31		mapdindp1.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
32	31	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
33		mapdindp1.W	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
34	33	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
35		mapdindp1.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
36	35	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
37		mapdindp1.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
38	37	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
39		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 )
40	13, 26, 7, 8, 27, 28, 30, 32, 34, 36, 25, 38, 39	mapdindp0 41828	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{𝑌}))
41	25, 40	neeqtrrd 3004	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
42	23, 41	pm2.61dane 3017	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   ∖ cdif 3896  {csn 4577  {cpr 4579  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17130  +_gcplusg 17171  0_gc0g 17353  LModclmod 20803  LSpanclspn 20914  LVecclvec 21046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-ress 17152  df-plusg 17184  df-mulr 17185  df-0g 17355  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-submnd 18702  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19046  df-cntz 19239  df-lsm 19558  df-cmn 19704  df-abl 19705  df-mgp 20069  df-rng 20081  df-ur 20110  df-ring 20163  df-oppr 20265  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-drng 20656  df-lmod 20805  df-lss 20875  df-lsp 20915  df-lvec 21047

This theorem is referenced by:  mapdh6dN  41848  mapdh6hN  41852  hdmap1l6d  41922  hdmap1l6h  41926