Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdn0 41671
Description: Transfer nonzero property from domain to range of projectivity mapd. (Contributed by NM, 12-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdindp.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdindp.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdindp.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdindp.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdindp.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdindp.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdindp.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdindp.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdindp.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdindp.mx (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdn0.o 0 = (0g𝑈)
mapdn0.z 𝑍 = (0g𝐶)
mapdn0.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
mapdn0 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷 ∖ {𝑍}))

Proof of Theorem mapdn0
StepHypRef Expression
1 mapdindp.f . 2 (𝜑𝐹𝐷)
2 mapdn0.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3 eldifsni 4790 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋0 )
42, 3syl 17 . . 3 (𝜑𝑋0 )
5 mapdindp.mx . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
6 sneq 4636 . . . . . . . . 9 (𝐹 = 𝑍 → {𝐹} = {𝑍})
76fveq2d 6910 . . . . . . . 8 (𝐹 = 𝑍 → (𝐽‘{𝐹}) = (𝐽‘{𝑍}))
85, 7sylan9eq 2797 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹 = 𝑍) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑍}))
9 mapdindp.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10 mapdindp.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
11 mapdindp.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
12 mapdn0.o . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑈)
13 mapdindp.c . . . . . . . . . 10 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
14 mapdn0.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (0g𝐶)
15 mapdindp.k . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
169, 10, 11, 12, 13, 14, 15mapd0 41667 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀‘{ 0 }) = {𝑍})
179, 13, 15lcdlmod 41594 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
18 mapdindp.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
1914, 18lspsn0 21006 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ LMod → (𝐽‘{𝑍}) = {𝑍})
2017, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽‘{𝑍}) = {𝑍})
2116, 20eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀‘{ 0 }) = (𝐽‘{𝑍}))
2221adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹 = 𝑍) → (𝑀‘{ 0 }) = (𝐽‘{𝑍}))
238, 22eqtr4d 2780 . . . . . 6 ((𝜑𝐹 = 𝑍) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝑀‘{ 0 }))
2423ex 412 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 = 𝑍 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝑀‘{ 0 })))
25 eqid 2737 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
269, 11, 15dvhlmod 41112 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
272eldifad 3963 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑉)
28 mapdindp.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑈)
29 mapdindp.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
3028, 25, 29lspsncl 20975 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3126, 27, 30syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3212, 25lsssn0 20946 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ LMod → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑈))
3326, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑈))
349, 11, 25, 10, 15, 31, 33mapd11 41641 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝑀‘{ 0 }) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = { 0 }))
3528, 12, 29lspsneq0 21010 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
3626, 27, 35syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
3734, 36bitrd 279 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝑀‘{ 0 }) ↔ 𝑋 = 0 ))
3824, 37sylibd 239 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 = 𝑍𝑋 = 0 ))
3938necon3d 2961 . . 3 (𝜑 → (𝑋0𝐹𝑍))
404, 39mpd 15 . 2 (𝜑𝐹𝑍)
41 eldifsn 4786 . 2 (𝐹 ∈ (𝐷 ∖ {𝑍}) ↔ (𝐹𝐷𝐹𝑍))
421, 40, 41sylanbrc 583 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷 ∖ {𝑍}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cdif 3948  {csn 4626  cfv 6561  Basecbs 17247  0gc0g 17484  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LSpanclspn 20969  HLchlt 39351  LHypclh 39986  DVecHcdvh 41080  LCDualclcd 41588  mapdcmpd 41626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-riotaBAD 38954
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-undef 8298  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-0g 17486  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-oppg 19364  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-nzr 20513  df-rlreg 20694  df-domn 20695  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102  df-lsatoms 38977  df-lshyp 38978  df-lcv 39020  df-lfl 39059  df-lkr 39087  df-ldual 39125  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500  df-lplanes 39501  df-lvols 39502  df-lines 39503  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161  df-tgrp 40745  df-tendo 40757  df-edring 40759  df-dveca 41005  df-disoa 41031  df-dvech 41081  df-dib 41141  df-dic 41175  df-dih 41231  df-doch 41350  df-djh 41397  df-lcdual 41589  df-mapd 41627
This theorem is referenced by:  mapdheq4lem  41733  mapdh6lem1N  41735  mapdh6lem2N  41736  hdmap1l6lem1  41809  hdmap1l6lem2  41810
  Copyright terms: Public domain W3C validator