Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdn0 40182
Description: Transfer nonzero property from domain to range of projectivity mapd. (Contributed by NM, 12-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdindp.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdindp.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdindp.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdindp.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdindp.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdindp.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
mapdindp.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
mapdindp.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdindp.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdindp.mx (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
mapdn0.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
mapdn0.z 𝑍 = (0gβ€˜πΆ)
mapdn0.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
Assertion
Ref Expression
mapdn0 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐷 βˆ– {𝑍}))

Proof of Theorem mapdn0
StepHypRef Expression
1 mapdindp.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
2 mapdn0.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
3 eldifsni 4754 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) β†’ 𝑋 β‰  0 )
42, 3syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  0 )
5 mapdindp.mx . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
6 sneq 4600 . . . . . . . . 9 (𝐹 = 𝑍 β†’ {𝐹} = {𝑍})
76fveq2d 6850 . . . . . . . 8 (𝐹 = 𝑍 β†’ (π½β€˜{𝐹}) = (π½β€˜{𝑍}))
85, 7sylan9eq 2793 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = 𝑍) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝑍}))
9 mapdindp.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
10 mapdindp.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 mapdindp.u . . . . . . . . . 10 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
12 mapdn0.o . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
13 mapdindp.c . . . . . . . . . 10 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 mapdn0.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (0gβ€˜πΆ)
15 mapdindp.k . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
169, 10, 11, 12, 13, 14, 15mapd0 40178 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜{ 0 }) = {𝑍})
179, 13, 15lcdlmod 40105 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
18 mapdindp.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
1914, 18lspsn0 20513 . . . . . . . . . 10 (𝐢 ∈ LMod β†’ (π½β€˜{𝑍}) = {𝑍})
2017, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π½β€˜{𝑍}) = {𝑍})
2116, 20eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜{ 0 }) = (π½β€˜{𝑍}))
2221adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = 𝑍) β†’ (π‘€β€˜{ 0 }) = (π½β€˜{𝑍}))
238, 22eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = 𝑍) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π‘€β€˜{ 0 }))
2423ex 414 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 = 𝑍 β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π‘€β€˜{ 0 })))
25 eqid 2733 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
269, 11, 15dvhlmod 39623 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
272eldifad 3926 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
28 mapdindp.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
29 mapdindp.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
3028, 25, 29lspsncl 20482 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
3126, 27, 30syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
3212, 25lsssn0 20452 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ { 0 } ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
3326, 32syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ { 0 } ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
349, 11, 25, 10, 15, 31, 33mapd11 40152 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π‘€β€˜{ 0 }) ↔ (π‘β€˜{𝑋}) = { 0 }))
3528, 12, 29lspsneq0 20517 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
3626, 27, 35syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
3734, 36bitrd 279 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π‘€β€˜{ 0 }) ↔ 𝑋 = 0 ))
3824, 37sylibd 238 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 = 𝑍 β†’ 𝑋 = 0 ))
3938necon3d 2961 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 β‰  0 β†’ 𝐹 β‰  𝑍))
404, 39mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  𝑍)
41 eldifsn 4751 . 2 (𝐹 ∈ (𝐷 βˆ– {𝑍}) ↔ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐹 β‰  𝑍))
421, 40, 41sylanbrc 584 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐷 βˆ– {𝑍}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3911  {csn 4590  β€˜cfv 6500  Basecbs 17091  0gc0g 17329  LModclmod 20365  LSubSpclss 20436  LSpanclspn 20476  HLchlt 37862  LHypclh 38497  DVecHcdvh 39591  LCDualclcd 40099  mapdcmpd 40137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-riotaBAD 37465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-undef 8208  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-0g 17331  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246  df-p0 18322  df-p1 18323  df-lat 18329  df-clat 18396  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-cntz 19105  df-oppg 19132  df-lsm 19426  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-drng 20221  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lsp 20477  df-lvec 20608  df-lsatoms 37488  df-lshyp 37489  df-lcv 37531  df-lfl 37570  df-lkr 37598  df-ldual 37636  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-llines 38011  df-lplanes 38012  df-lvols 38013  df-lines 38014  df-psubsp 38016  df-pmap 38017  df-padd 38309  df-lhyp 38501  df-laut 38502  df-ldil 38617  df-ltrn 38618  df-trl 38672  df-tgrp 39256  df-tendo 39268  df-edring 39270  df-dveca 39516  df-disoa 39542  df-dvech 39592  df-dib 39652  df-dic 39686  df-dih 39742  df-doch 39861  df-djh 39908  df-lcdual 40100  df-mapd 40138
This theorem is referenced by:  mapdheq4lem  40244  mapdh6lem1N  40246  mapdh6lem2N  40247  hdmap1l6lem1  40320  hdmap1l6lem2  40321
  Copyright terms: Public domain W3C validator