Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdn0 41131
Description: Transfer nonzero property from domain to range of projectivity mapd. (Contributed by NM, 12-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdindp.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdindp.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdindp.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdindp.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdindp.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdindp.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
mapdindp.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
mapdindp.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdindp.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdindp.mx (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
mapdn0.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
mapdn0.z 𝑍 = (0gβ€˜πΆ)
mapdn0.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
Assertion
Ref Expression
mapdn0 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐷 βˆ– {𝑍}))

Proof of Theorem mapdn0
StepHypRef Expression
1 mapdindp.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
2 mapdn0.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
3 eldifsni 4789 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) β†’ 𝑋 β‰  0 )
42, 3syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  0 )
5 mapdindp.mx . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
6 sneq 4634 . . . . . . . . 9 (𝐹 = 𝑍 β†’ {𝐹} = {𝑍})
76fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (𝐹 = 𝑍 β†’ (π½β€˜{𝐹}) = (π½β€˜{𝑍}))
85, 7sylan9eq 2787 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = 𝑍) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝑍}))
9 mapdindp.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
10 mapdindp.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 mapdindp.u . . . . . . . . . 10 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
12 mapdn0.o . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
13 mapdindp.c . . . . . . . . . 10 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 mapdn0.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (0gβ€˜πΆ)
15 mapdindp.k . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
169, 10, 11, 12, 13, 14, 15mapd0 41127 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜{ 0 }) = {𝑍})
179, 13, 15lcdlmod 41054 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
18 mapdindp.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
1914, 18lspsn0 20885 . . . . . . . . . 10 (𝐢 ∈ LMod β†’ (π½β€˜{𝑍}) = {𝑍})
2017, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π½β€˜{𝑍}) = {𝑍})
2116, 20eqtr4d 2770 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜{ 0 }) = (π½β€˜{𝑍}))
2221adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = 𝑍) β†’ (π‘€β€˜{ 0 }) = (π½β€˜{𝑍}))
238, 22eqtr4d 2770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = 𝑍) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π‘€β€˜{ 0 }))
2423ex 412 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 = 𝑍 β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π‘€β€˜{ 0 })))
25 eqid 2727 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
269, 11, 15dvhlmod 40572 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
272eldifad 3956 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
28 mapdindp.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
29 mapdindp.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
3028, 25, 29lspsncl 20854 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
3126, 27, 30syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
3212, 25lsssn0 20825 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ { 0 } ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
3326, 32syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ { 0 } ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
349, 11, 25, 10, 15, 31, 33mapd11 41101 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π‘€β€˜{ 0 }) ↔ (π‘β€˜{𝑋}) = { 0 }))
3528, 12, 29lspsneq0 20889 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
3626, 27, 35syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
3734, 36bitrd 279 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π‘€β€˜{ 0 }) ↔ 𝑋 = 0 ))
3824, 37sylibd 238 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 = 𝑍 β†’ 𝑋 = 0 ))
3938necon3d 2956 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 β‰  0 β†’ 𝐹 β‰  𝑍))
404, 39mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  𝑍)
41 eldifsn 4786 . 2 (𝐹 ∈ (𝐷 βˆ– {𝑍}) ↔ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐹 β‰  𝑍))
421, 40, 41sylanbrc 582 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐷 βˆ– {𝑍}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935   βˆ– cdif 3941  {csn 4624  β€˜cfv 6542  Basecbs 17173  0gc0g 17414  LModclmod 20736  LSubSpclss 20808  LSpanclspn 20848  HLchlt 38811  LHypclh 39446  DVecHcdvh 40540  LCDualclcd 41048  mapdcmpd 41086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-riotaBAD 38414
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-0g 17416  df-mre 17559  df-mrc 17560  df-acs 17562  df-proset 18280  df-poset 18298  df-plt 18315  df-lub 18331  df-glb 18332  df-join 18333  df-meet 18334  df-p0 18410  df-p1 18411  df-lat 18417  df-clat 18484  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-submnd 18734  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-subg 19071  df-cntz 19261  df-oppg 19290  df-lsm 19584  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-oppr 20266  df-dvdsr 20289  df-unit 20290  df-invr 20320  df-dvr 20333  df-drng 20619  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-lsp 20849  df-lvec 20981  df-lsatoms 38437  df-lshyp 38438  df-lcv 38480  df-lfl 38519  df-lkr 38547  df-ldual 38585  df-oposet 38637  df-ol 38639  df-oml 38640  df-covers 38727  df-ats 38728  df-atl 38759  df-cvlat 38783  df-hlat 38812  df-llines 38960  df-lplanes 38961  df-lvols 38962  df-lines 38963  df-psubsp 38965  df-pmap 38966  df-padd 39258  df-lhyp 39450  df-laut 39451  df-ldil 39566  df-ltrn 39567  df-trl 39621  df-tgrp 40205  df-tendo 40217  df-edring 40219  df-dveca 40465  df-disoa 40491  df-dvech 40541  df-dib 40601  df-dic 40635  df-dih 40691  df-doch 40810  df-djh 40857  df-lcdual 41049  df-mapd 41087
This theorem is referenced by:  mapdheq4lem  41193  mapdh6lem1N  41195  mapdh6lem2N  41196  hdmap1l6lem1  41269  hdmap1l6lem2  41270
  Copyright terms: Public domain W3C validator