Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdn0 38797
Description: Transfer nonzero property from domain to range of projectivity mapd. (Contributed by NM, 12-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdindp.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdindp.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdindp.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdindp.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdindp.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdindp.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdindp.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdindp.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdindp.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdindp.mx (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdn0.o 0 = (0g𝑈)
mapdn0.z 𝑍 = (0g𝐶)
mapdn0.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
mapdn0 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷 ∖ {𝑍}))

Proof of Theorem mapdn0
StepHypRef Expression
1 mapdindp.f . 2 (𝜑𝐹𝐷)
2 mapdn0.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3 eldifsni 4714 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋0 )
42, 3syl 17 . . 3 (𝜑𝑋0 )
5 mapdindp.mx . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
6 sneq 4569 . . . . . . . . 9 (𝐹 = 𝑍 → {𝐹} = {𝑍})
76fveq2d 6667 . . . . . . . 8 (𝐹 = 𝑍 → (𝐽‘{𝐹}) = (𝐽‘{𝑍}))
85, 7sylan9eq 2874 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹 = 𝑍) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑍}))
9 mapdindp.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10 mapdindp.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
11 mapdindp.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
12 mapdn0.o . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑈)
13 mapdindp.c . . . . . . . . . 10 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
14 mapdn0.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (0g𝐶)
15 mapdindp.k . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
169, 10, 11, 12, 13, 14, 15mapd0 38793 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀‘{ 0 }) = {𝑍})
179, 13, 15lcdlmod 38720 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
18 mapdindp.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
1914, 18lspsn0 19772 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ LMod → (𝐽‘{𝑍}) = {𝑍})
2017, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽‘{𝑍}) = {𝑍})
2116, 20eqtr4d 2857 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀‘{ 0 }) = (𝐽‘{𝑍}))
2221adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹 = 𝑍) → (𝑀‘{ 0 }) = (𝐽‘{𝑍}))
238, 22eqtr4d 2857 . . . . . 6 ((𝜑𝐹 = 𝑍) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝑀‘{ 0 }))
2423ex 415 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 = 𝑍 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝑀‘{ 0 })))
25 eqid 2819 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
269, 11, 15dvhlmod 38238 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
272eldifad 3946 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑉)
28 mapdindp.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑈)
29 mapdindp.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
3028, 25, 29lspsncl 19741 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3126, 27, 30syl2anc 586 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3212, 25lsssn0 19711 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ LMod → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑈))
3326, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑈))
349, 11, 25, 10, 15, 31, 33mapd11 38767 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝑀‘{ 0 }) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = { 0 }))
3528, 12, 29lspsneq0 19776 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
3626, 27, 35syl2anc 586 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
3734, 36bitrd 281 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝑀‘{ 0 }) ↔ 𝑋 = 0 ))
3824, 37sylibd 241 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 = 𝑍𝑋 = 0 ))
3938necon3d 3035 . . 3 (𝜑 → (𝑋0𝐹𝑍))
404, 39mpd 15 . 2 (𝜑𝐹𝑍)
41 eldifsn 4711 . 2 (𝐹 ∈ (𝐷 ∖ {𝑍}) ↔ (𝐹𝐷𝐹𝑍))
421, 40, 41sylanbrc 585 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷 ∖ {𝑍}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1531  wcel 2108  wne 3014  cdif 3931  {csn 4559  cfv 6348  Basecbs 16475  0gc0g 16705  LModclmod 19626  LSubSpclss 19695  LSpanclspn 19735  HLchlt 36478  LHypclh 37112  DVecHcdvh 38206  LCDualclcd 38714  mapdcmpd 38752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-riotaBAD 36081
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-fal 1544  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-undef 7931  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-0g 16707  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-oppg 18466  df-lsm 18753  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-invr 19414  df-dvr 19425  df-drng 19496  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-lsp 19736  df-lvec 19867  df-lsatoms 36104  df-lshyp 36105  df-lcv 36147  df-lfl 36186  df-lkr 36214  df-ldual 36252  df-oposet 36304  df-ol 36306  df-oml 36307  df-covers 36394  df-ats 36395  df-atl 36426  df-cvlat 36450  df-hlat 36479  df-llines 36626  df-lplanes 36627  df-lvols 36628  df-lines 36629  df-psubsp 36631  df-pmap 36632  df-padd 36924  df-lhyp 37116  df-laut 37117  df-ldil 37232  df-ltrn 37233  df-trl 37287  df-tgrp 37871  df-tendo 37883  df-edring 37885  df-dveca 38131  df-disoa 38157  df-dvech 38207  df-dib 38267  df-dic 38301  df-dih 38357  df-doch 38476  df-djh 38523  df-lcdual 38715  df-mapd 38753
This theorem is referenced by:  mapdheq4lem  38859  mapdh6lem1N  38861  mapdh6lem2N  38862  hdmap1l6lem1  38935  hdmap1l6lem2  38936
  Copyright terms: Public domain W3C validator