Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdn0 37745
Description: Transfer nonzero property from domain to range of projectivity mapd. (Contributed by NM, 12-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdindp.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdindp.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdindp.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdindp.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdindp.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdindp.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdindp.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdindp.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdindp.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdindp.mx (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdn0.o 0 = (0g𝑈)
mapdn0.z 𝑍 = (0g𝐶)
mapdn0.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
mapdn0 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷 ∖ {𝑍}))

Proof of Theorem mapdn0
StepHypRef Expression
1 mapdindp.f . 2 (𝜑𝐹𝐷)
2 mapdn0.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3 eldifsni 4541 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋0 )
42, 3syl 17 . . 3 (𝜑𝑋0 )
5 mapdindp.mx . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
6 sneq 4408 . . . . . . . . 9 (𝐹 = 𝑍 → {𝐹} = {𝑍})
76fveq2d 6438 . . . . . . . 8 (𝐹 = 𝑍 → (𝐽‘{𝐹}) = (𝐽‘{𝑍}))
85, 7sylan9eq 2882 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹 = 𝑍) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑍}))
9 mapdindp.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10 mapdindp.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
11 mapdindp.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
12 mapdn0.o . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑈)
13 mapdindp.c . . . . . . . . . 10 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
14 mapdn0.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (0g𝐶)
15 mapdindp.k . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
169, 10, 11, 12, 13, 14, 15mapd0 37741 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀‘{ 0 }) = {𝑍})
179, 13, 15lcdlmod 37668 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
18 mapdindp.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
1914, 18lspsn0 19368 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ LMod → (𝐽‘{𝑍}) = {𝑍})
2017, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽‘{𝑍}) = {𝑍})
2116, 20eqtr4d 2865 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀‘{ 0 }) = (𝐽‘{𝑍}))
2221adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹 = 𝑍) → (𝑀‘{ 0 }) = (𝐽‘{𝑍}))
238, 22eqtr4d 2865 . . . . . 6 ((𝜑𝐹 = 𝑍) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝑀‘{ 0 }))
2423ex 403 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 = 𝑍 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝑀‘{ 0 })))
25 eqid 2826 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
269, 11, 15dvhlmod 37186 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
272eldifad 3811 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑉)
28 mapdindp.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑈)
29 mapdindp.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
3028, 25, 29lspsncl 19337 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3126, 27, 30syl2anc 581 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3212, 25lsssn0 19305 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ LMod → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑈))
3326, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑈))
349, 11, 25, 10, 15, 31, 33mapd11 37715 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝑀‘{ 0 }) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = { 0 }))
3528, 12, 29lspsneq0 19372 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
3626, 27, 35syl2anc 581 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
3734, 36bitrd 271 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝑀‘{ 0 }) ↔ 𝑋 = 0 ))
3824, 37sylibd 231 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 = 𝑍𝑋 = 0 ))
3938necon3d 3021 . . 3 (𝜑 → (𝑋0𝐹𝑍))
404, 39mpd 15 . 2 (𝜑𝐹𝑍)
41 eldifsn 4537 . 2 (𝐹 ∈ (𝐷 ∖ {𝑍}) ↔ (𝐹𝐷𝐹𝑍))
421, 40, 41sylanbrc 580 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷 ∖ {𝑍}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wne 3000  cdif 3796  {csn 4398  cfv 6124  Basecbs 16223  0gc0g 16454  LModclmod 19220  LSubSpclss 19289  LSpanclspn 19331  HLchlt 35426  LHypclh 36060  DVecHcdvh 37154  LCDualclcd 37662  mapdcmpd 37700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-riotaBAD 35029
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-iin 4744  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-of 7158  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-tpos 7618  df-undef 7665  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-fz 12621  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-0g 16456  df-mre 16600  df-mrc 16601  df-acs 16603  df-proset 17282  df-poset 17300  df-plt 17312  df-lub 17328  df-glb 17329  df-join 17330  df-meet 17331  df-p0 17393  df-p1 17394  df-lat 17400  df-clat 17462  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-submnd 17690  df-grp 17780  df-minusg 17781  df-sbg 17782  df-subg 17943  df-cntz 18101  df-oppg 18127  df-lsm 18403  df-cmn 18549  df-abl 18550  df-mgp 18845  df-ur 18857  df-ring 18904  df-oppr 18978  df-dvdsr 18996  df-unit 18997  df-invr 19027  df-dvr 19038  df-drng 19106  df-lmod 19222  df-lss 19290  df-lsp 19332  df-lvec 19463  df-lsatoms 35052  df-lshyp 35053  df-lcv 35095  df-lfl 35134  df-lkr 35162  df-ldual 35200  df-oposet 35252  df-ol 35254  df-oml 35255  df-covers 35342  df-ats 35343  df-atl 35374  df-cvlat 35398  df-hlat 35427  df-llines 35574  df-lplanes 35575  df-lvols 35576  df-lines 35577  df-psubsp 35579  df-pmap 35580  df-padd 35872  df-lhyp 36064  df-laut 36065  df-ldil 36180  df-ltrn 36181  df-trl 36235  df-tgrp 36819  df-tendo 36831  df-edring 36833  df-dveca 37079  df-disoa 37105  df-dvech 37155  df-dib 37215  df-dic 37249  df-dih 37305  df-doch 37424  df-djh 37471  df-lcdual 37663  df-mapd 37701
This theorem is referenced by:  mapdheq4lem  37807  mapdh6lem1N  37809  mapdh6lem2N  37810  hdmap1l6lem1  37883  hdmap1l6lem2  37884
  Copyright terms: Public domain W3C validator