Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdn0 40535
Description: Transfer nonzero property from domain to range of projectivity mapd. (Contributed by NM, 12-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdindp.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdindp.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdindp.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdindp.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdindp.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdindp.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
mapdindp.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
mapdindp.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdindp.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdindp.mx (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
mapdn0.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
mapdn0.z 𝑍 = (0gβ€˜πΆ)
mapdn0.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
Assertion
Ref Expression
mapdn0 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐷 βˆ– {𝑍}))

Proof of Theorem mapdn0
StepHypRef Expression
1 mapdindp.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
2 mapdn0.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
3 eldifsni 4793 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) β†’ 𝑋 β‰  0 )
42, 3syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  0 )
5 mapdindp.mx . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
6 sneq 4638 . . . . . . . . 9 (𝐹 = 𝑍 β†’ {𝐹} = {𝑍})
76fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (𝐹 = 𝑍 β†’ (π½β€˜{𝐹}) = (π½β€˜{𝑍}))
85, 7sylan9eq 2792 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = 𝑍) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝑍}))
9 mapdindp.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
10 mapdindp.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 mapdindp.u . . . . . . . . . 10 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
12 mapdn0.o . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
13 mapdindp.c . . . . . . . . . 10 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 mapdn0.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (0gβ€˜πΆ)
15 mapdindp.k . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
169, 10, 11, 12, 13, 14, 15mapd0 40531 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜{ 0 }) = {𝑍})
179, 13, 15lcdlmod 40458 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
18 mapdindp.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
1914, 18lspsn0 20618 . . . . . . . . . 10 (𝐢 ∈ LMod β†’ (π½β€˜{𝑍}) = {𝑍})
2017, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π½β€˜{𝑍}) = {𝑍})
2116, 20eqtr4d 2775 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜{ 0 }) = (π½β€˜{𝑍}))
2221adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = 𝑍) β†’ (π‘€β€˜{ 0 }) = (π½β€˜{𝑍}))
238, 22eqtr4d 2775 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = 𝑍) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π‘€β€˜{ 0 }))
2423ex 413 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 = 𝑍 β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π‘€β€˜{ 0 })))
25 eqid 2732 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
269, 11, 15dvhlmod 39976 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
272eldifad 3960 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
28 mapdindp.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
29 mapdindp.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
3028, 25, 29lspsncl 20587 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
3126, 27, 30syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
3212, 25lsssn0 20557 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ { 0 } ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
3326, 32syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ { 0 } ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
349, 11, 25, 10, 15, 31, 33mapd11 40505 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π‘€β€˜{ 0 }) ↔ (π‘β€˜{𝑋}) = { 0 }))
3528, 12, 29lspsneq0 20622 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
3626, 27, 35syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
3734, 36bitrd 278 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π‘€β€˜{ 0 }) ↔ 𝑋 = 0 ))
3824, 37sylibd 238 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 = 𝑍 β†’ 𝑋 = 0 ))
3938necon3d 2961 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 β‰  0 β†’ 𝐹 β‰  𝑍))
404, 39mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  𝑍)
41 eldifsn 4790 . 2 (𝐹 ∈ (𝐷 βˆ– {𝑍}) ↔ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐹 β‰  𝑍))
421, 40, 41sylanbrc 583 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐷 βˆ– {𝑍}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3945  {csn 4628  β€˜cfv 6543  Basecbs 17143  0gc0g 17384  LModclmod 20470  LSubSpclss 20541  LSpanclspn 20581  HLchlt 38215  LHypclh 38850  DVecHcdvh 39944  LCDualclcd 40452  mapdcmpd 40490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 37818
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-undef 8257  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17386  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-cntz 19180  df-oppg 19209  df-lsm 19503  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-lvec 20713  df-lsatoms 37841  df-lshyp 37842  df-lcv 37884  df-lfl 37923  df-lkr 37951  df-ldual 37989  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-llines 38364  df-lplanes 38365  df-lvols 38366  df-lines 38367  df-psubsp 38369  df-pmap 38370  df-padd 38662  df-lhyp 38854  df-laut 38855  df-ldil 38970  df-ltrn 38971  df-trl 39025  df-tgrp 39609  df-tendo 39621  df-edring 39623  df-dveca 39869  df-disoa 39895  df-dvech 39945  df-dib 40005  df-dic 40039  df-dih 40095  df-doch 40214  df-djh 40261  df-lcdual 40453  df-mapd 40491
This theorem is referenced by:  mapdheq4lem  40597  mapdh6lem1N  40599  mapdh6lem2N  40600  hdmap1l6lem1  40673  hdmap1l6lem2  40674
  Copyright terms: Public domain W3C validator